初中数学十字相乘法因式分解
要点：
一、2()x p q x pq +++型的因式分解
特点是：（1）二次项的系数是1（2）常数项是两个数之积（3）一次项系数是常数的两个因数之和。

对这个式子先去括号，得到：
pq x q p x +++)(2)()(22pq qx px x pq qx px x +++=+++=
))(()()(q x p x p x q p x x ++=+++=
利用此式的结果可以直接将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。

二、一般二次三项式2ax bx c ++的分解因式
大家知道，2112212122112()()()a x c a x c a a x a c a c x c c ++=+++。

反过来，就可得到：2121221121122()()()a a x a c a c x c c a x c a x c +++=++
我们发现，二次项系数a 分解成12a a ，常数项c 分解成12c c ，把1212,,,a a c c 写成1122
a c a c ⨯，这里按斜线交叉相乘，再相加，就得到1221a c a c +，那么2ax bx c ++就可以分解成1122()()a x c a x c ++.
这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法。

【典型例题】
[例1] 把下列各式分解因式。

（1）232++x x （2）672+-x x
[例2] 把下列各式因式分解。

（1）22-+x x （2）1522--x x
注意：
（1）当常数项是正数时，它分解成两个同号因数，它们和一次项系数的符号相同。

（2）当常数项是负数时，它分解成两个异号因数，其中绝对值较大的因数和一次项系数的符号相同。

[例3] 把下列各式因式分解。

（1）3722+-x x （2）5762--x x （3）22865y xy x -+
[例4] 将40)(3)(2----y x y x 分解因式。

[例5] 把222265x y x y x --分解因式。

[例6] 将xy y x 168155-分解因式。

模拟试题
一. 填空题：
1. =--2832x x （ ）（ ）
2. =--22352y xy x )7(y x -（ ）
3. =+-22144320y xy x )74(y x -（ ）
4. =+-519182x x （ ）（12-x ）
5. =++-6113522mn n m －（ ）（ ）
6. =--235116a a （ ）（ ）
7. =-+652x kx （23-x ）（ ）=k
8. )25)(74(14432y x y x y xy m --=+-，则=m
9. )5)(74(43202n x y x m xy x +-=+-，则=m ，=n
10. 分解因式=++-+16)3(8)3(2242x x x x 。

二. 选择题：
1. 16102++x x 分解因式为（ ）
A. )8)(2(++x x
B. )8)(2(+-x x
C. )8)(2(-+x x
D. )8)(2(--x x 2. 223013y xy x --分解为（ ）
A. )10)(3(y x y x --
B. )2)(15(y x y x -+
C. )3)(10(y x y x ++
D. )2)(15(y x y x +-
3. 把352962+-x x 分解因式为（ ）
A. )53)(72(--x x
B. )52)(73(--x x
C. )52)(73(+-x x
D. )53)(72(+-x x
4. 把22244n mn m x -+-分解因式为（ ）
A. )2)(2(n m x n m x +-++
B. )2)(2(n m x n m x +--+
C. )2)(2(n m x n m x +---
D. )2)(2(n m x n m x -+++ 5. 在下列二次三项式中，不是pq x q p x +++)(2型式子的是（ ）
A. 20122++x x
B. 10092++x x
C. 14132--x x
D. 5292-+x x
三. 解答题：
1. 将下列各式因式分解。

（1）652-+x x （2）302--x x （3）144302++x x 1）
（3）21118x x ++ （4）22526a a -+ （5）2232x xy y -+
2. 将下列各式因式分解。

（1）171824-+-m m （2）42242073y y x x -- （3）23145b b +-
（4）223x x -- （5）2257x x +- （6）2321a a --
3. 因式分解。

（1）24)7(10)7(222--+-x x x x （2）2222224)()(2z y z y x x +++-
4. 已知028471522=+-y xy x ，求
y x 的值。

5. 已知0622=--b ab a （0≠a ，0≠b ），求
b
a a
b +的值。

6. 已知0262922=++-+b a b a ，求b a 32-的值。

试题答案
一.
1. 7-x ；4+x
2. y x 5+
3. y x 25-
4. 59-x
5. 35-mn ；27+mn
6. a 72-；a 53+
7. 32+x ；6
8. 220x 9. 214y ；y 2- 10. 2
222)23()2()1(-+++x x x x 二.
1. A
2. D
3. B
4. B
5. B
三.1. 解：
（1）)1)(6(652-+=-+x x x x （2）)5)(6(302+-=--x x x x
（3）)6)(24(144302++=++x x x x
2. 解：（1）)1)(17()1718(1718222424---=+--=-+-m m m m m m )1)(1)(17(2-+--=m m m
（2）)53)(2)(2()53)(4(20732222224224y x y x y x y x y x y y x x +-+=+-=--
（3）)2)(2)(2()2)(4()82(822222435+-+=+-=--=--x x x x x x x x x x x x x
3. 解：（1）)73)(52()356(356222424+-=--=--++n n k n n k k k n k n a a a a a a a a a
（2）)54)(12(8
1)5148(8854722++=++1=++x x x x x x 4. 解：
（1）)27)(127(24)7(10)7(22222--+-=--+-x x x x x x x x )27)(4)(3(2----=x x x x
（2）2
22222222222224)()]([)()(2z y x z y x z y z y x x --=+-=+++-
5. 解：028471522=+-y xy x 0)45)(73(=--y x y x ∴ y x 37=或y x 54= 当y x 3
7=时，（1）3737==y y y x （2）当5
4=x y 时，5454==y y y x 6. 解：0622=--b ab a 0)2)(3(=+-b a b a b a 3= b a 2-=
当b a 3=时，3
1333133=+=+=+b b b b b a a b 当b a 2-=时，2
1222122-=--=-+-=+b b b b b a a b 7. 解：0262922=++-+b a b a 0)169()12(22=++++-b b a a
0)13()1(22=++-b a 1=a 3
1-=b 312)31(31232=+=--⨯=-b a。