单摆 单摆、单摆的回复力1．单摆 用细线悬挂着小球，如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与细线长度相比可以忽略，这样的装置就叫做单摆。

单摆是实际摆的理想化模型。

2．单摆的回复力 (1)回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。

(2)回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F ＝－mg l x 。

(3)单摆的运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图象遵循正弦函数规律。

[辨是非](对的划“√”，错的划“×”)1．单摆在任何情况下的运动都是简谐运动。

(×)2．单摆的回复力是重力和拉力的合力。

(×)3．一根细线一端固定，另一端拴一小球就构成一个单摆。

(×)[释疑难·对点练]1．单摆(1)单摆是实际摆的理想化模型。

(2)实际摆看作单摆的条件①摆线的形变量与摆线长度相比小得多；②悬线的质量与摆球质量相比小得多；③摆球的直径与摆线长度相比小得多。

2．单摆的回复力如图所示，重力G 沿圆弧切线方向的分力G 1＝mg sin θ是沿摆球运动方向的力，正是这个力提供了使摆球振动的回复力：F ＝G 1＝mg sin θ。

3．单摆做简谐运动的推证 在偏角很小时，sin θ≈x l ，又回复力F ＝mg sin θ，所以单摆的回复力为F ＝－mg lx (式中x 表示摆球偏离平衡位置的位移，l 表示单摆的摆长，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反)，由此知回复力符合F＝－kx，单摆做简谐运动。

[试身手]1．(多选)制作一个单摆，合理的做法是( )A．摆线细而长B．摆球小而不太重C．摆球外表面光滑且密度大 D．端点固定且不松动解析：选ACD 根据构成单摆的条件判断，易知A、C、D正确。

单摆的周期1.探究单摆的振幅、位置、摆长对周期的影响(1)探究方法：控制变量法。

(2)实验结论：①单摆振动的周期与摆球质量无关；②振幅较小时周期与振幅无关；③摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短。

2．周期公式荷兰物理学家惠更斯发现单摆的周期T与摆长l的二次方根成正比，与当地的重力加速度g的二次方根成反比，他确定周期公式为：T＝2πl g 。

[辨是非](对的划“√”，错的划“×”)1．荷兰物理学家惠更斯发现单摆振动的周期与振幅无关。

(×) 2．单摆在振幅较小时周期较大。

(×)3．单摆的周期公式都可以用T＝2πlg求解。

(×)[释疑难·对点练] 1．对周期T的理解(1)单摆的周期T＝2πlg为单摆的固有周期，相应地f＝12πgl为单摆的固有频率。

(2)单摆的周期公式在最大偏角小于5°时成立。

(3)周期为2 s的单摆叫秒摆。

2．对单摆周期公式中摆长l和重力加速度g的理解(1)l为单摆的摆长：因为实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长是指从悬点到摆球重心的长度，对于不规则的摆动物体或复合物体，摆长l 是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不一定为摆线的长。

如图所示，摆球可视为质点，各段绳长均为l ，甲、乙摆球做垂直于纸面的小角度摆动，丙图中球在纸面内做小角度摆动，O ′为垂直纸面的钉子，而且OO ′＝13l ，求各摆的周期。

甲：等效摆长l ′＝l sin α，T 甲＝2π l sin αg。

乙：等效摆长l ′＝l sin α＋l ，T 乙＝2πl sin α＋1g 。

丙：摆线摆到竖直位置时，圆心就由O 变为O ′，摆球振动时，半个周期摆长为l ，另半个周期摆长为(l －l 3)，即为23l ，则单摆丙的周期为T 丙＝π l g ＋π 2l 3g。

(2)等效重力加速度g 不一定等于9.8 m/s 2 g 由单摆所在的空间位置决定。

由g ＝G M R2知，g 随所在地球表面的位置和高度的变化而变化，而且纬度越低，高度越高，g 的值就越小，另外，在不同星球上g 也不同。

g 还由单摆系统的运动状态决定，如单摆处在向上加速的升降机中，设加速度为a ，则摆球处于超重状态，沿轨迹圆弧的切向分力变大，则重力加速度的等效值g ′＝g ＋a ，若升降机加速下降，则g ′＝g －a 。

单摆若在轨道上运行的卫星内，摆球完全失重，回复力为零，等效值g ′＝0，摆球不摆动了，周期无穷大。

[试身手]2．甲、乙两个单摆摆长相等，将两个单摆的摆球由平衡位置拉开，使摆角α甲＞α乙(α甲、α乙都小于5°)，在同一地点由静止开始同时释放，则( )A ．甲先到达平衡位置B ．乙先到达平衡位置C ．甲、乙同时到达平衡位置D ．无法判断 解析：选C 由单摆的周期公式T ＝2πl g，可知周期T 只与l 、g 有关，当在同一地点释放时，周期只与摆长有关，故甲、乙同时到达平衡位置，C 正确。

探究单摆周期与摆长的关系1．实验原理图2．定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响(1)探究方法：控制变量法。

(2)实验结论 ①单摆振动的周期与摆球的质量无关；②振幅较小时，周期与振幅无关；③摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短。

3．定量探究单摆的周期与摆长的关系 (1)周期的测量：用停表测出单摆做N (30～50)次全振动所用的时间t ，利用T ＝t N 计算它的周期。

(2)摆长的测量：用刻度尺测出细线长度l 0，用游标卡尺测出小球直径D ，利用l ＝l 0＋D 2求出摆长。

(3)数据处理：改变摆长，测量不同摆长及对应周期，作出T l 、Tl 2或T l 图象，得出结论。

4．周期公式(1)公式的提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。

(2)公式：T ＝2πl g，即T 与摆长l 的二次方根成正比，与重力加速度g 的二次方根成反比。

(3)应用——测重力加速度：由T ＝2πl g 得g ＝4π2l T 2，即只要测出单摆的摆长l 和周期T ，就可以求出当地的重力加速度。

[辨是非](对的划“√”，错的划“×”)1．测量单摆周期时，应在摆球摆到最高处开始计时，并数准全振动的次数。

(×)2．用毫米刻度尺量出放在桌面的细线长l ′，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r ，则摆长l ＝l ′＋r 。

(×)3．小球应该选择体积小、密度大的金属球。

(√)[释疑难·对点练]1．实验所需器材带孔小钢球一个、细线一条(约1 m 长)、铁架台、刻度尺、停表、游标卡尺等。

2．实验步骤(1)做单摆：①让线的一端穿过小球的小孔，然后打一个比小孔大一些的结；②把线的上端用铁夹固定在铁架台上并把铁架台放在实验桌边，使铁夹伸到桌面以外，让摆球自由下垂，在单摆平衡位置处作上标记。

(2)测摆长：用毫米刻度尺量出悬线长l ′，以毫米为单位记录数据；用游标卡尺测量出摆球的直径D ，以毫米为单位记录数据；则l ＝l ′＋D 2，即为单摆的摆长。

(3)测周期：将单摆从平衡位置拉开一个角度，且满足偏角小于5°，然后释放摆球，当单摆摆动稳定后，过平衡位置时用秒表开始计时，测量30～50次全振动的时间。

计算出平均摆动一次的时间，即为单摆的振动周期T 。

(4)秒表的读数方法所测时间超过半分钟时，半分钟的整数倍部分由分针读出，不足半分钟的部分由秒针读出，总时间为两针示数之和。

如图甲所示，小圆刻度盘上分针所指示的刻度数值超过了1.5 min ，指针在1.5 min 和2 min 之间，其分针指示时间数可记为t 1＝1.5 min ，而大圆刻度盘上秒针所指示的刻度线为21.4，故秒针所测得的数值为t 2＝21.4 s ，所测时间读数为：t ＝t 1＋t 2＝1 min 30 s ＋21.4 s ＝1 min 51.4 s 。

图乙的读数是2 min 7.6 s 。

(5)变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复实验三次，测出相应的摆长l 和周期T 。

(6)作图象，探规律。

3．实验操作注意事项(1)悬线顶端不能晃动，需用夹子夹住，保证顶点固定。

(2)摆球在同一平面内振动且摆角小于10°。

(3)选择在摆球摆到平衡位置处开始计时，并数准全振动的次数。

(4)小球自然下垂时，用毫米刻度尺量出悬线长l ′，用游标卡尺测量小球的直径，然后算出摆球的半径r ，则摆长l ＝l ′＋r 。

(5)选用长一米左右的细线。

[试身手]3．(多选)在做“用单摆测定重力加速度”的实验中，以下几点建议中对提高测量结果精确度有利的是( )A ．适当加长摆线B ．质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较大的C ．单摆偏离平衡位置的角度不能太大D ．当单摆经过平衡位置时开始计时，经过一次全振动后停止计时，用此时间间隔作为单摆振动的周期解析：选AC 适当加长摆线有利于测量摆长，使相对误差减小，另外有利于控制摆角不过大，因此选项A正确；质量相同、体积不同的摆球，应选用体积较小的，以减小摆动过程中空气阻力的影响，选项B错误；单摆偏离平衡位置的角度不能太大，因为若偏角太大，单摆的运动就不能看作简谐运动，选项C正确；经过一次全振动后停止计时，所测时间偶然误差过大，应测量多次全振动的时间再求平均值，以减小偶然误差，选项D错误。

对单摆回复力的理解[典例1] 振动的单摆小球通过平衡位置时，关于小球受到的回复力及合力的说法中正确的是( )A．回复力为零，合力不为零，方向指向悬点B．回复力不为零，方向沿轨迹的切线C．合力不为零，方向沿轨迹的切线D．回复力为零，合力也为零[解析]选A 单摆的回复力是摆球的重力沿圆弧切线方向的分力；当摆球运动到平衡位置时，回复力为零，但合力不为零，因为小球还有向心力，方向指向悬点(即指向圆心)。

故A正确。

(1)单摆振动中的回复力不是它受到的合外力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力。

单摆振动过程中，有向心力，这是与弹簧振子的不同之处。

(2)在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合外力也就是回复力。

(3)在平衡位置处时，由于速度不为零，故向心力也不为零，即此时回复力为零，但合外力不为零。

单摆周期的应用[典例2]最大角度由4°减为2°，则单摆振动的( )A．频率不变，振幅不变B．频率不变，振幅改变C．频率改变，振幅不变D．频率改变，振幅改变[解析]选B 单摆的摆长不变时，单摆振动的周期T＝2πlg不变，频率f＝1T不变；摆长不变时，摆角越小，振幅越小，选项B正确。

(1)在运用T＝2πlg时，要注意l和g是否发生变化，如果发生变化，则分别求出不同l和g时对应的周期。

(2)改变单摆振动周期的途径：①改变单摆的摆长；②改变单摆的重力加速度(如改变单摆的位置或让单摆失重或超重)。

(3)明确单摆振动周期与单摆的质量和振幅没有任何关系。

探究影响单摆周期的因素[典例3](1)(多选)他组装单摆时，在摆线上端的悬点处，用一块开有狭缝的橡皮夹牢摆线，再用铁架台的铁夹将橡皮夹紧，如图甲所示。