第4节单_摆一、单摆组成 要求细线 摆线看成是不可伸长，且没有质量的细线 小球摆球看成是没有大小只有质量的质点单摆是理想化模型：忽略在摆动过程中所受到的阻力，实验中尽量选择质量大、体积小的小球和尽量细不可伸长的线。
二、单摆的回复力1．回复力的提供：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力。
2．回复力的特点：在偏角很小时，单摆所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总指向平衡位置，即F ＝－mg lx 。
3．单摆的运动规律：单摆在偏角很小时做简谐运动，其振动图像遵循正弦函数规律。
三、单摆的周期1．定性探究单摆的振幅、质量、摆长对周期的影响 (1)探究方法：控制变量法。
(2)实验结论1.在摆角小于5°的情况下，单摆的自由振动是简谐运动。
2．单摆是理想化模型：忽略在摆动过程中所受到的阻力，摆线看成是不可伸长，且没有质量的细线。
3．单摆的回复力是由摆球的重力沿运动方向的分力提供，与摆球偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置。
4．荷兰物理学家惠更斯首先提出单摆的周期公式T ＝2πlg，利用周期公式可以测定当地的重力加速度。
①单摆振动的周期与摆球的质量无关。
②振幅较小时，周期与振幅无关。
③摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短。
2．定量探究单摆的周期与摆长的关系(1)周期的测量：用停表测出单摆N (30～50)次全振动的时间t ，利用T ＝tN计算它的周期。
(2)摆长的测量：用刻度尺测出细线长度l 0，用游标卡尺测出小球直径D ，利用l ＝l 0＋D2求出摆长。
(3)数据处理：改变摆长，测量不同摆长及对应周期，作出T l 、T l 2或T l 图像，得出结论。
3．周期公式(1)公式的提出：周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的。
(2)公式：T ＝2πlg，即T 与摆长l 的二次方根成正比，与重力加速度g 的二次方根成反比。
4．周期公式的应用由单摆周期公式可得g ＝4π2lT2，只要测出单摆的摆长l 和周期T 就可算出当地的重力加速度。
1．自主思考——判一判(1)制作单摆的细线弹性越大越好。
(×) (2)制作单摆的细线越短越好。
(×) (3)制作单摆的摆球越大越好。
(×)(4)单摆的周期与摆球的质量有关，质量越大，周期越小。
(×) (5)单摆的回复力等于摆球所受合力。
(×) 2．合作探究——议一议(1)由于单摆的回复力是由摆球的重力沿切线方向的分力提供的，那么是否摆球的质量越大，回复力越大，单摆摆动得越快，周期越小？提示：不是。
摆球摆动的加速度除了与回复力有关外，还与摆球的质量有关，即a ∝F m，所以摆球质量增大后，加速度并不增大，其周期由T ＝2πlg决定，与摆球的质量无关。
(2)多多观察，写出生活中你能遇到哪些单摆模型。
提示：坐钟、牛顿摆、秋千等。
对单摆回复力及运动特征的理解1．单摆的回复力图1141(1)单摆受力：如图1141所示，受细线拉力和重力作用。
(2)向心力来源：细线拉力和重力沿径向的分力的合力。
(3)回复力来源：重力沿圆弧切线方向的分力F ＝mg sin θ提供了使摆球振动的回复力。
2．单摆做简谐运动的推证在偏角很小时，sin θ≈xl ，又回复力F ＝mg sin θ，所以单摆的回复力为F ＝－mg lx (式中x 表示摆球偏离平衡位置的位移，l 表示单摆的摆长，负号表示回复力F 与位移x 的方向相反)，由此知回复力符合F ＝－kx ，单摆做简谐运动。
1．下列有关单摆运动过程中的受力，说法正确的是( ) A ．单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力 B ．单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力 C ．单摆经过平衡位置时合力为零D ．单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力解析：选B 单摆运动是在一段圆弧上运动，因此单摆运动过程不仅有回复力，而且有向心力，即单摆的合外力不仅要提供回复力，而且要提供向心力，故选项A 错误；单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力，而不是摆线拉力的分力，故选项B正确，D错误；单摆经过平衡位置时，回复力为零，向心力最大，故其合外力不为零，所以选项C错误。
2.一单摆做小角度摆动，其振动图像如图1142所示，以下说法正确的是( )图1142A．t1时刻摆球速度最大，摆球的回复力最大B．t2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小C．t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最小D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大解析：选D 在t1时刻和t3时刻摆球的位移最大，回复力最大，速度为零，A、C均错误；在t2时刻和t4时刻摆球在平衡位置，速度最大，悬线拉力最大，回复力为零，故B错误，D正确。
对单摆周期公式的理解1．摆长l(1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度，即l＝L＋d2，L为摆线长，d为摆球直径。
(2)等效摆长。
图1143(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l·sinα，这就是等效摆长，其周期T＝2π l sin αg。
图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效。
图11432．重力加速度g若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g 由单摆所处的空间位置决定，即g ＝GMR2，式中R 为物体到地心的距离，M 为地球的质量，g 随所在位置的高度的变化而变化。
另外，在不同星球上M 和R 也是变化的，所以g 也不同，g ＝9.8 m/s 2只是在地球表面附近时的取值。
[典例] 有一单摆，其摆长l ＝1.02 m ，已知单摆做简谐运动，单摆振动30次用的时间t ＝60.8 s ，试求：(1)当地的重力加速度是多大？(2)如果将这个单摆改为秒摆，摆长应怎样改变？改变多少？ [思路点拨](1)单摆的周期T 与t 的关系：T ＝t n。
(2)秒摆的周期为2 s 。
[解析] (1)当单摆做简谐运动时，其周期公式T ＝2πl g， 由此可知g ＝4π2l T 2，只要求出T 值代入即可。
因为T ＝t n ＝60.830 s ＝2.027 s ，所以g ＝4π2lT 2＝4×3.142×1.022.0272m/s 2＝9.79 m/s 2。
(2)秒摆的周期是2 s ，设其摆长为l 0，由于在同一地点重力加速度是不变的，根据单摆的振动规律有：T T 0＝l l 0， 故有：l 0＝T 02l T 2＝22×1.022.0272 m ＝0.993 m 。
所以其摆长要缩短Δl ＝l －l 0＝1.02 m －0.993 m ＝0.027 m 。
[答案] (1)9.79 m/s 2(2)缩短 0.027 m计算单摆的周期的两种方法计算单摆的周期有两种方法，一是依据T ＝2πl g ，二是根据T ＝tN。
第一种方法利用了单摆的周期公式，计算的关键是正确确定摆长。
第二种方法利用了粗测周期的一种方法，周期的大小虽然不取决于t 和N ，但利用该种方法计算周期，会受到时间t 和振动次数N 测量的准确性的影响。
1．甲、乙两个单摆摆长相等，将两个单摆的摆球由平衡位置拉开，使摆角α甲>α乙(α甲、α乙都小于5°)，在同一地点由静止开始同时释放，则( ) A ．甲先到达平衡位置 B ．乙先到达平衡位置 C ．甲、乙同时到达平衡位置D ．无法判断解析：选C 由单摆的周期公式T ＝2πlg，可知周期T 与l 、g 有关，与质量、摆动的幅度无关，当在同一地点释放时，周期只与摆长有关，故同时释放，同时到达平衡位置。
2．一个单摆，在第一个行星上的周期为T 1，在第二个行星上的周期为T 2，若这两个行星的质量之比为M 1∶M 2＝4∶1，半径之比R 1∶R 2＝2∶1，则( )A ．T 1∶T 2＝1∶1B ．T 1∶T 2＝4∶1C ．T 1∶T 2＝2∶1D ．T 1∶T 2＝1∶2解析：选A 单摆的周期公式为T ＝2πl g ，同一单摆即有T ∝1g，又据万有引力定律mg ＝G Mm R 2，有g ＝GMR 2，因此T ∝R 2M，故T 1∶T 2＝R 12M 2M 1R 22＝4×14×1＝1∶1，故A 正确。
3.一个单摆的摆长为l ，在其悬点O 的正下方0.19 l 处有一钉子P (如图1144所示)，现将摆球向左拉开到A ，使摆线偏角θ<5°，放手后使其摆动，摆动到B 的过程中摆角也小于5°，求出单摆的振动周期。
图1144解析：释放后摆球到达右边最高点B 处，由机械能守恒可知B 和A 等高，则摆球始终做简谐运动。
单摆做简谐运动的摆长有所变化，它的周期为两个不同单摆的半周期的和。
小球在左边的周期为T 1＝2πl g小球在右边的周期为T 2＝2π 0.81lg则整个单摆的周期为T ＝T 12＋T 22＝πlg＋π 0.81 lg＝1.9πl g。
答案：1.9πlg实验：用单摆测定重力加速度1．实验原理单摆在偏角很小(小于5°)时的摆动，可以看成是简谐运动。
其固有周期为T ＝2πlg，由此可得g ＝4π2lT2。
据此，只要测出摆长l 和周期T ，即可计算出当地的重力加速度值。
2．实验器材摆球1个(穿有中心孔)、秒表、物理支架、米尺或钢卷尺、游标卡尺、细线等。
3．实验步骤(1)做单摆：将线的一端穿过小球的小孔，并打一比孔大的结。
然后把线的上端用铁夹固定于铁架台上，在平衡位置处做上标记。
(2)测摆长：用毫米刻度尺测出摆线长度l 线，用游标卡尺测量出摆球的直径d ，则单摆的摆长l ＝l 线＋d2。
(3)测周期：将单摆从平衡位置拉开一个小于5°的角，然后释放摆球，当单摆振动稳定后，过最低位置时开始用秒表计时，测量N 次(一般取30～50次)全振动的时间t ，则周期T ＝t N。
(4)变摆长：将单摆的摆长变短(或变长)，重复实验三次，测出相应的摆长l 和周期T 。
4．数据处理(1)平均值法：每改变一次摆长，将相应的l 和T 代入公式中求出g 值，最后求出g 的平均值。
设计如下所示实验表格 实验次数摆长l /m周期T /s重力加速度g /(m·s －2)重力加速度g 的平均值/(m·s －2)1 g ＝g 1＋g 2＋g 3323(2)图像法：由T ＝2πl g 得T 2＝4π2gl ，作出T 2l 图像，即以T 2为纵轴，以l 为横轴。