y p (t ) Pe ,
t
y p (t ) Pe ,
t
y p (t ) Pet , f (t ) 2et ,
P 5P 6P 2, 故P 1 整理得： 所以微分方程的特解为： y p (t ) et
则微分方程的全解为：
y(t ) yh (t ) y p (t ) C1e2t C2e3t et
解：选新变量y1(t)，其冲激响应为h1(t),满足方程
(t ) 5 y1 (t ) 6 y1 (t ) f (t ) y1
设其冲激响应为h1(t),则原方程的冲激响应为
h(t ) h1(t ) 2h1(t ) 3h1 (t )
由于 所以
h1 (t ) (e2t e3t ) (t )
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5.冲激函数匹配法
目的：
用来求解初始值，求（0＋）和（0－）时刻值
的关系。
应用条件： 如果微分方程右边包含δ（t）及其各阶导
数，那么（0＋）时刻的值不一定等于（0－） 时刻的值。 原理： 利用t＝0时刻方程两边的δ（t）及各阶导数 应该平衡的原理来求解（0＋）
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0 0
即h(0 ) 1 h(0 ) 1
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（2）再求冲激响应。
由δ(t)的性质知，对t>0时，有 h(t ) 5h(t ) 6h(t ) 0 故系统的冲激响应为一齐次解。 微分方程的特征根为-2，-3。故系统的冲激响应为
h(t)=(C1e-2t + C2e-3t)ε(t)
e t
(Cr 1t r 1 Cr 2t r 2 C1t C0 )et
et [C cos(t ) D sin(t )]或A cos(t ),其中Ae j C jD
r 1 r 2 t r重共轭复根 [ Ar 1t cos(t r 1 ) Ar 2t cos(t r 2 ) A0 cos(t 0 )]e
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解：（1）零输入响应。设零输入响应yzi(t), 激励为0 ， 初值为
yzi (0 ) y(0 ) 2, y zi (0 ) y (0 ) 2
根据特征根求得通解为： yzi (t ) C1e2t C2et 解得系数为
C1 0 C2 2
0 0
于是由上式得 [yzs (0 ) yzs (0 )] 3[yzs (0 ) y zs (0 )] 2 因为yzs(0+) = yzs(0-) ， 所以
yzs (0 ) yzs (0 ) 2, yzs (0 )= yzs (0 )+2=2
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主讲教师：陈哲云
青岛理工大学计算机工程学院
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第二章 2.1
连续系统的时域分析 LTI连续系统的响应
2.2
2.3
冲激响应和阶跃响应
卷积积分
2.4
卷积积分的性质
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2.1 LTI连续系统的响应
• 微分方程的经典解
• 零输入响应与零状态响应
• 全响应
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再求零状态响应。 对t>0时，有 y zs (t ) 3 yzs (t ) 2 yzs (t ) 6
不难求得其齐次解为Czs1e-t + Czs2e-2t，其特解为常数3，
于是有yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e-2t + 3 代入初始值求得yzs(t)= – 4e-t + e-2t + 3 ，t>0 （3）全响应 y(t) = yzi(t) + yzs(t)=-2e-t+e-2t+3, t >0
②由于激励为零，所以零输入的初始值：
③利用初值确定出积分常数C1，C2， …，Cn，代入通解 表达式，即得yzi(t) 。
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3、零状态响应
（1）即求解对应非齐次微分方程的解。
（2）求yzs(t)的基本步骤 ①求系统的特征根，写出的通解表达式yzsh(t)。
②根据f(t)的形式，确定特解形式，代入方程解得特解yzsp(t)
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例2.1-2：描述某系统的微分方程为
y(t ) 3 y(t ) 2 y(t ) 2 f (t) 6f(t)
已知 y(0 ) 2, y(0 ) 2, f (t ) (t ) 求该系统的零输入响应，零状态响应和全响应。
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(t ) ut
g t h(t ) LTI 系统 H {x(0)}={0}
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例2.2-1 描述某系统的微分方程为
y(t ) 5 y(t ) 6 y(t ) f(t)
求其冲激响应h(t)。
解：根据h(t)的定义有
h(t ) 5h(t ) 6h(t ) (t)
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4.关于 0- 和 0+ 初始值
（1）0－ 状态和 0＋ 状态 – 0－ 状态称为零输入时的初始状态。即初始值是由系统的储 能产生的； – 0＋ 状态称为加入输入后的初始状态。即初始值不仅有系统
的储能，还受激励的影响。
（2）从 0－ 状态到 0＋ 状态的跃变 – 系统的初始值从0－ 状态到 0＋ 状态有没有跳变决定于微分 方程右端自由项是否包含(t)及其各阶导数。若初值发生跃 变，由 0－ 状态求 0＋ 状态的值，可用冲激函数匹配法。
LTI的全响应：y(t) = yzi(t) + yzs(t)
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2、零输入响应解法
（1）即求解对应齐次微分方程的解。 （2）求yzi(t)的基本步骤 ①求系统的特征根，写出yzi(t)的通解表达式。 比如，若特征方程的根为n个单根，则通解为
y zi (t ) C1e1t C2e2t ... Cn ent
(t )
HLTI系统 {x(0)}={0}
g t
g (t )
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例2.2-3：如图所示的LTI系统，求其阶跃响应。
1
f (t )
x(t )

3
x(t )

x(t ) 2

y(t )
2
解：由
f (t ) x(t ) 3x(t ) 2 x(t ) y (t） x(t ) 2 x(t )
代入得
yzi (t ) 2et , t 0
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（2）零状态响应。 先求初值yz 。 s (0 )和yzs (0 )
将f(t)=ε(t)代入方程得
y zs (t ) 3 yzs (t ) 2 yzs (t ) 2 (t) 6 (t)
数。
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三、全响应
全响应 = 自由响应 ＋ 强迫响应
=
零输入响应 ＋ 零状态响应
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2.2 冲激响应和阶跃响应
一．冲激响应
1．定义
系统在单位冲激信号δ(t) 作用下产生的零状态响应，称为 单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h(t)表示。
③求初值： 若方程右边无冲激函数及其各阶导数，则其初值为
( j) yzs (0 ) 0, j 0,1,..., n 1
④写出零状态响应表达式 yzs (t ) yzsh (t ) yzsp (t ).
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( j) 否则，根据冲激函数匹配法求得 yzs (0 ) ，确定积分常数C1， C2， …，Cn
(1)
由冲激函数匹配法知， 应包含 2 (t ) ，从 y zs (t )
而 y 在t= 0处将发生跃变，即 y zs (0 ) yzs (0 ) 。 zs ( )
但 y 不含冲激函数，否则 y 将含有 (t ) 项。 zs (t ) zs (t )
由于 y 中不含δ(t)，故yzs(t)在t=0处是连续的。 zs (t )
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不同激励对应的特解
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例2.1-1：描述某LTI系统的微分方程为
y(t ) 5 y(t ) 6 y(t ) f (t )
求输入 f (t ) 2et , t 0; y(0) 2, y(0) 1 时的全解。 解：齐次解yh(t)
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其中待定常数C1,C2由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2， y’(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1 解得 C1 = 3 ，C2 = – 2
最后得全解
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二、零输入响应和零状态响应
1、定义：
（1）零输入响应yzi(t) ：没有外加激励信号的作用，只有起始状 态所产生的响应。 （2）零状态响应yzs(t) ：不考虑起始时刻系统储能的作用，由 系统外加激励信号所产生的响应。
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一、微分方程的经典解
微分方程的解：y(t)= yh(t)+ yp(t)
其中， y(t): 完全解。 yh(t): 齐次解。由微分方程的特征根确定。 yp(t): 特解。与激励函数的形式有关。