散射体
在一定入射角范围内 有较好的吸波效果， 吸收边界
散射体
这就要求吸收边界离
开散射体要有足够的 场区 2 距离。图5.6示出网格
空间的场区划分。
场区 1 图 56 网格空间场区划分
连接边界
场区1位于计算 网格空间内部，散 吸收边界
散射体
连接边界
射体设置在其中，
散射体
场区1中有入射波
及散射波。该区称 场区 2
H2 z|i|1/2, j 1/2,k
H 2 z|i1/2, j 1/2,k r
E n1 |i, j1/2,k
/ t / t
/2 /2
En |i, j 1/2,k
1
/ t
/2
n1
n 1
n 1
n 1
H 2 r|i, j1/2,k 1/2
H 2 r|i, j 1/2,k 1/2 z
一、计算机仿真中应用周期性边界条件
微纳光学领域内的光子晶体（Photonic Crystal） 、表面等离子体激元（Surface Plasmon）列阵结 构及超材料（Metamaterial）等； 这几种结构均由空间上周期性重复的散射体构成， 当计算透射率及能带结构时，常常可采用Floquet 周期边界将结构简化。
为精确地模拟散射体的形状和结构，网格单 元取得越小越好。但网格总数增加，计算机存 储和CPU时间也会随之增加。
解决这一问题的一般原则是，在基本满足计算 精度要求的情况下，尽量节省存储空间和计算 时间。与此同时，网格的空间步长对计算误差 也有影响。
从色散角度考虑，一般要求满足 s min / 10 。
H2 z|i|1/2, j 1/2,k
H 2 z|i1/2, j 1/2,k r
C n1 E E r H |ia, j1/ 2,k
n1 |ia, j1/ 2,k
n1/ 2
iz |ia1/ 2, j1/ 2,k
C=2.0t/(2.00r +t )
E n1 z|i, j,k 1/2
/ /
超材料能带结构计算
作为压电传感器件的声表面波器件（Surface Acoustic Wave, SAW）的本征频率分析。
飞机、轮船、风力发电机中的涡轮机，或是旋转电 机结构往往具有旋转对称性，在进行电磁场或振动 模态分析时，可采用Cyclic Symmerty类型周期性 边界简化。
二、周期性边界条件的实现
另一方面，可以通过散射体对脉冲波的响应 了解散射体宽频带的散射特性。由于脉冲信号 包含较宽的频谱，通过Fourier变换，获得其宽 带散射特性。这种宽带特性的获得只需计算程 序的一次运行，体现了FDTD法的优点。
为研究散射体对电磁脉冲的响应，希望入射
脉冲有较宽的频谱。尤其是频谱变化平缓且又 具有陡峭的截止特性。Gauss脉冲具有这样的 特性，其随时间的变化规律为：
首先计算边界上的入射场； 设边界上为总场； 圆柱面（i＝ia，j=0 : ny, k=ka : kb）：
E n1 |i, j1/2,k
/ t / t
/2 /2
En |i, j 1/2,k
1
/ t
/2
n1
n 1
n 1
n 1
H 2 r|i, j1/2,k 1/2
H 2 r|i, j 1/2,k 1/2 z
11
11
Hx
(i,
jm
2
,k
) 2
Hx
(i,
2
,k
) 2
Hz
(i
1 2
,
jm
1 2
,
k)
Hx
(i
1 2
,
1 2
,
k)
其他边界的情况依此类推。
仿真结果
5.8 总场-散射场区的连接边界条件
1. 连接边界条件的原理与实现
入射波与物体作用产生散射波，散射波与入射波之 和为总场；
在有些问题中总场正是需要计算的场，例如在吸收 和透射等这类问题
§5.9 FDTD 法在电磁散射中的应用
1. 网格空间与散射体模拟
散射体模拟是 FDTD法计算电磁散射问题的
关键，只有足够精确地对散射体几何形状，结构组
成及其物质特性（ ,, ）进行模拟的基础上，才
有可能求其散射特性。
在散射体模型建模过程中应注意选取网格单 元的空间步长，要使构成模型外层网格尽量与 散射体边界重合。
将超材料在yz平面无限扩展成为无穷大, 在yz平面上 , 选定材料结构中的一个单元为研究对象; 并设金属丝为理想导体, 其周围采用周期性边界条件 (PBC). 波的入射方向沿x方向,可根据研究的需要来 决定所选的周期数。
yz x
PBC与PML的结合
整个计算区域由3部分组成:
一部分为自由空间,εr=μr=1;
3. 弗洛奎特周期性边界（Floquet periodicity），源 和目标边界上场值相差一个相位因子，相位因子由波 矢和边界相对距离确定。Continuity和 Antiperiodicity边界可以认为是Floquet periodicity 边界在位相分别为0和π情况下的两个特例。
4. 循环对称性边界（Cyclic Symmetry），源和目标边 界上场值相差一个相位因子，相位因子由计算域所对 应的扇形角和角向模式数决定。
yz x
选择在yz平面上的一个周期单元，周围用PBC截断； 设y方向上的周期长度为ay，z方向上的周期长度为az ，根据Floquet定理，在周期性边界（PBC）上有： 磁场边界
Hx (x, y ay , z) Hx (x, y, z)exp( jkyay )
H x (x, y, z az ) H x (x, y, z) exp( jkzaz )
Ez (x, y ay , z) Ez (x, y, z)exp( jkyay ) Ey (x, y, z az ) Ey (x, y, z)exp( jkzaz )
设电磁波沿x方向垂直入射，则ky=kz=0; 上述公式简化为：
Hx (x, y ay , z) Hx (x, y, z) Hx (x, y, z az ) Hx (x, y, z) Hz (x, y ay , z) Hz (x, y, z) Hy (x, y, z az ) Hy (x, y, z)
可以看作是如果去掉周边环境，保持该系统应该附 加的条件，也可以看作是由部分的性质来推广表达 全局的性质。
主要用于数学建模和计算机仿真中，将具有时空周 期性的物理问题简化为单元进行处理。
常见周期性边界条件
1. 连续性周期边界（Continuity），源和目标边界上的 场值相等；
2. 反对称周期边界（Antiperiodicity），源和目标边界 上场值符号相反；
计算电磁学
Computational Electromagnetism
第5章 时域有限差分法（FDTD）（三）
张洪欣 电子工程学院
5.7 周期性吸收边界条件
周期性边界条件
周期性边界条件（Periodic Boundary Conditions, PBC）是边界条件的一种，反映的是 如何利用边界条件替代所选部分（系统）受到周边 （环境）的影响。
d k incrcomp , kinc x sin cos y sin sin z cos
其中 k inc 为连接边界上的场分量的波矢，rcomp 是连接边 界上的点到波源的距离矢量。
Ei(d) (d int(d))Ei(m0 int(d) 1) 1(d int(d))Ei(m0 int(d))
t t
/ /
2 2
En z|i, j,k 1/2
/
1
t
/
2
n1
n1
1 2r(i)
1
r
n 1
H2 |i1/2, j,k 1/2
1 2r(i)
1
r
n 1
H2 |i1/2, j,k 1/2
H H 2 r|i, j1/2,k 1/2
2 r|i, j1/2,k 1/2
r(i)
E n1 z |ia, j1/ 2,k
Hz (x, y ay , z) Hz (x, y, z)exp( jkyay ) Hy (x, y, z az ) Hy (x, y, z)exp( jkzaz )
电场边界
Ex (x, y ay , z) Ex (x, y, z)exp( jkyay )
Ex (x, y, z az ) Ex (x, y, z) exp( jkzaz )
而散射场区中边界网格点的总场值和总场区中网格边 界网格点的散射场值并不存在，所以需要对总场-散 射场连接面上的场值进行修正。
下面给出柱坐标系下总场-散射场区连接边界条件。
以柱面边界上的电场为例，在计算时要用到圆柱面外 散射场区的磁场Ht， 由于Ht=Hs+Hi，可以把总场用散射场和入射场之和来 代替并带入FDTD方程进行计算。
但是在某些问题中需要的却是散射场，这时就有必 要把散射场分离出来。
角标t，s，i分别表示总场，散射场和入射场；
Et=Es+Ei Es=Et-Ei
Ht=Hs+Hi Hs=Ht-Hi
连接边界条件:
(l)最直接的好处就是为散射场的计算提供了 方便； (2)使散射体的设置变得比较简单； (3)分区计算可以增大动态范围. (4）可以设置任意的入射平面波。
一部分为支撑理想导体的印制板, εr、μr为印制板 的相对介电常数和磁导率;
还有一部分是理想导体,在理想导体表面,电场的切 向分量为零,在理想导体内部,电场和磁场的各个分 量均为零.
在计算区域的周期性边界(PBC)上,既可以全部采用 为电场边界,也可以全部采用为磁场边界,或一部分 为电场边界,一部分为磁场边界。