计算电磁学数值方法的探究13208-2 许嘉晨摘要：本文介绍了计算电磁学数值求解方法的研究进展和状态，对几种富有代表性的算法做了介绍，并比较了各自的优势和不足，其中包括矩量法、有限元法以及时域有限差分方法。

关键词：电磁学数值求解、矩量法、有限元法、时域有限差分法。

1引言计算电磁学是指基于麦克斯韦方程组，建立逼近实际问题的连续型数学模型，合理地利用理想化或工程化假设，准确地给出问题的定解条件（初始条件、边界条件），然后采用相应的数值计算方法，经离散化处理，将连续型数学模型转化为等价的离散型数学模型，应用有效的代数方程组解法，求解出该数学模型的数值解（离散解）。

再经各种后处理过程，得出场域中任意点处的场强，或任意区域的能量、损耗分布，以及各类电磁参数值等，以达到理论分析、工程判断和优化设计等目的。

对计算天线性能，电磁兼容，雷达散射截面和非自由空间的电波传播等问题具有深刻意义。

本文将介绍计算电磁学的研究进展，并重点探究矩量法、有限元法以及时域有限差分方法的基本思路和特点。

2计算电磁学发展1864年，Maxwell在前人理论和实验的基础上建立了统一的电磁场理论，并用数学模型揭示了自然界一切宏观电磁现象所遵循的普遍规律，这就是Maxwell方程组。

笼统而言，所有的宏观电磁问题都可以归结为Maxwell 方程组在各种边界条件下的求解问题。

从整个电磁理论发展的过程来看，可以大概地把它分为2个阶段。

20世纪60年代以前可以称为经典电磁学阶段。

在这个时期，电磁场理论和工程中的许多问题大多采用解析或渐进的方法进行处理，即在11种可分离变量的坐标系中求解Maxwell方程组或其退化形式，最后得到解析解。

这种方法能够得到问题的准确解，而且计算效率比较高，但适用范围较窄，只能求解具有规则边界的简单问题，对任意形状的边界则无能为力或需要很高的数学技巧。

20世纪60年代以后以基于积分方程的矩量法和基于微分方程的差分类方法为代表的数值计算方法的运用标志着计算电磁学阶段的到来，当然这也得益于电子计算机的迅速发展，使大型数值计算成为可能。

相对于经典电磁学而言，数值方法几乎不再受限于边界的约束，能解决各种类型的复杂问题。

经过几十年世界各国学者的研究和发展，计算电磁学已成为现阶段电磁理论的主要组成部分。

当然这种划分也不是绝对的，经典电磁理论的研究也一直在进行着，它是计算电磁学的理论基础，没有它，计算电磁学也不可能得到蓬勃的发展。

计算电磁学之所以能取代经典电磁学而成为现代电磁理论研究的主流，主要得益于计算机硬件和软件的飞速发展以及计算数学的丰富成果。

计算机内存容量不断增大，计算速度不断提高，软件功能不断强大，计算方法不断改进，再加上并行计算机的使用，使得我们能解决的电磁问题越来越大，越来越复杂，因此计算电磁学已经被广泛应用于诸如天线、雷达、电磁兼容等各种电磁领域，具有巨大的实用价值。

3 计算电磁学数值方法概述当前电磁学研究领域十分广泛，电磁学问题的数值求解方法从求解方程的形式看，可以分为两大类，一类是以电磁场问题的积分方程为基础的数值方法——积分方程法（IE），如：矩量法、直接积分法、等效源法、边界元法等；另一类是以电磁场问题的微分方程为基础的数值方法——微分方程法（DE），如：有限差分法、有限元法等。

积分方程法（IE）和微分方程法（DE）相比，有如下特点：共同点：对场问题的处理思想是一致的，即需离散化场域，结果为离散解（数值解）。

不同点：①IE法的求解区域维数比DE法少一维，误差仅限于求解区域的边界，故精度高；②IE 法适宜于求解无限域问题，而DE法用于无限域问题的求解时则要遇到网格截断问题，这个问题直接尚未取得很好的解决；③IE法产生的矩阵是满的，阶数小，DE法所产生的矩阵是稀疏的，但阶数大；④IE法难以处理非均匀非线性和对时变媒质问题，而ED法则可直接用于这类问题。

将两种方法结合起来运用，可以发挥各自的优势，处理较复杂的电磁场问题。

4几种经典的电磁学数值计算方法4．1矩量法矩量法是求解算子方程的有效方法，这些算子通常是微分算子、积分算子或者是两者的组合。

20世纪60年代，R.F.Harrington首先将矩量法用于电磁问题的求解。

目前已经广泛地用于天线分析、微波器件的设计以及复杂目标的雷达散射截面（RCS）的计算。

通常认为矩量法是精度最高的数值方法，因此引起更多的关注。

如今很多商用软件的开发都基于矩量法。

但是，矩量法需要求解稠密的矩阵方程。

对于电大尺寸的散射体，它将十分消耗大量机时及内存。

为了解决这个问题，人们做了很多努力，研发快速计算和有效的存储方法，因此发展了很多有关积分方程的快速求解算法，大力推动了矩量法的应用。

其原理是先将需要求解的微分方程或积分方程写成带有积分算符的算子方程，再将待求函数表示为某一组选用的基函数的线性组合并带入算子方程，最后用一组选定的权函数对所得的方程取矩量就得到一个矩阵方程或代数方程组，然后通过计算机进行大量的数值计算得到数值结果。

矩量法的特点是既适用于求解微分方程又适用于求解积分方程。

其求解过程简单，求解步骤统一，应用起来比较方便，可以达到所需要的精确度。

然而矩量法需要一定的数学技巧如离散化的程度、基函数与权函数的选取、矩阵求解过程等。

矩量法解析部分简单，但计算量很大，即使用高速大容量计算机，计算任务也很繁重。

另外矩量法在求解某些问题如求解波导本征模时存在伪解问题。

4．2有限元法有限元法是一种数值方法，它借助电子计算机获得数学物理边值问题的近似解。

这种发发首先由R.L.Courant于1943年提出，用以求解位势理论中的变分问题。

此后，有限元法获得进一步发展，广泛用于结构分析以及其他领域。

现今，有限元方法已被公认是一种普遍适用的卓越方法，可以解决大量工程和数学问题，包括微波工程和电磁学的复杂问题。

有限元法首次应用于微波工程和电磁学是在1969年，当时P.P.Silvester用它来分析空腔波导中的电磁波传播。

从此该方法的价值很快地被确认，并成功地应用于分析静电场、恒定磁场以及介质加载波导问题。

1974年，K.K.Mei创建了一种有限元和本证展开的组合技术，用来处理诸如电磁辐射和散射等开域问题。

1982年，S.P.Marin发展了另一种有限元和边界积分方程的组合方法，用于求解开域电磁散射问题。

由于棱边矢量有限元的发展，矢量电磁场问题的有限元分析在20世纪80年代取得了重要突破。

这些新的矢量有限元精确地模拟了电磁场的本质，因而消除了传统的节点标量有限元产生的许多缺陷。

自从矢量有限元发展以后，有限元方法成为计算电磁学中一种功能很强的数值技术。

如今它以成为天线和微波器件的主要设计工具。

有限元的基本原理是用许多子域来代表整个连续区域，在子域中未知函数用带有未知系数的简单插值函数来表示，因此无限个自由度的原边值问题被转化为有限个自由度的问题。

其特点是适用于具有复杂边界形状或边界条件、含有复杂媒质的定解问题。

这种方法的各个环节可以实现标准化，得到通用的计算程序而且有较高的计算精度。

但是由于有限元法是区域性解法，分割的元素数和节点数较多，导致需要的初始数据复杂繁多，最终得到的方 程组的元数很大，这使得计算时间长，而且对计算机本身的存储也提出了要求。

4．3时域有限差分法1966年，K.S.Yee 首次提出电磁场数值计算的新方法——时域有限差分法(FDTD)。

经历了二十年的发展FDTD 法才逐渐走向成熟。

上世纪80年代后期以来FDTD 法进入了一个新的发展阶段，即由成熟转为被广泛接受和应用的阶段。

FDTD 法是解决复杂问题的有效方法之一，它对计算机内存容量要求较低、计算速度较快、尤其适用于并行算法。

现在FDTD 法己被广泛应用于天线的分析与设计、目标电磁散射、电磁兼容、微波电路和光路时域分析等多个领域，并且与矩量法与有限元法一起奠定了计算电磁学的基础。

时域有限差分法的原理是以差分原理为基础，直接从Maxwell 方程出发，将其转换为差分方程组，在一定体积内和一段时间上对连续电磁场的数据取样，这样把电磁场连续域内的 问题变为离散系统的问题即用各离散点上的数值解来逼近连续场域内的真实解，因而它是一 种近似的计算方法。

但根据目前计算机的容量和速度，对许多问题可以得到足够高的计算精度。

它的优点是简单直观、容易掌握。

因为它直接由Maxwell 方程出发，不需任何导出方程，避免了使用更多的数学工具。

4．4综述计算电磁学经过数十年的发展，取得了辉煌的成就，目前已形成三足鼎立的局面，矩量法（MoM ）、有限元法（FEM ）、时域有限差分法（FDTD ）。

盛新庆老师在他的著作《计算电磁学要论》中对以上三大算法做出了细致的比较，现将文字摘录如下，以介绍其三者各自的优势和不足：这三种数值方法的不同之本在于它们离散的数学表述形式不同：即矩量法是离散积分方程，有限元法是离散泛函变分，时域有限差分法是直接离散时域偏微分方程。

首先这三种数值方法在如何描述求解域中任意两个离散未知量x ，y 的相互作用时有区别。

矩量法是通过格林函数直接表述这种作用，这种表述是严格的。

而有限元和时域有限差分是通过一系列中间未知量，也就是x 先作用于其相邻未知量1d ，再由1d 传递到1d 的相邻未知量2d ，依次通过一系列中间未知量，最后才作用到y 。

这种表述是近似的，通过的中间变量越多，其误差就越大。

这种误差被称为数值色散误差。

有限元和时域有限差分都有这种数值色散误差，而矩量法不存在。

然由于矩量法任意两未知量都直接相互作用，因而其离散矩阵是满阵。

而有限元和时域有限差分只有相邻未知量才发生直接相互作用，因而有限元的离散矩阵是稀疏阵，时域有限差分随时间推进公式所等效的矩阵也是稀疏阵。

由此可见，有限元法和时域有限差分法相近，而与矩量法较远。

这是因为有限元虽是离散泛函变分，然而泛函变分的实质仍属偏微分方程。

这三种数值方法所得离散方程的性态及求解方式也有不同。

时域有限差分无需求解方程组，只是模拟电磁波的传播，随时间不断往前推进。

只要观察点处的电磁场变化稳定，便可终止推进，结束计算。

其推进所需步数主要取决于电磁波的传播过程，既不能增加，也不能减少。

故就离散方程的性态及求解这一点而论，时域有限差分没有更多可说。

下面要比较的是矩量法和有限元法。

由格林函数式不难看出，两点作用距离越近，其作用就越强，表现在离散矩阵中是离对角线越近的元素，其绝对值一般越大。

这种特征使得矩量法矩阵的条件数一般要大大好于有限元的离散矩阵。

若用迭代法求解方程组，矩量法离散方程的求解收敛速度要远远快于有限元的收敛速度。

由于有快速离散傅里叶变换技术或多层快速多极子技术能大大减少矩量法矩阵与矢量相乘的运算复杂度，迭代法是目前求解矩量法离散方程的主要方法。

虽然有限元离散方程是稀疏阵，然由于条件数太差，若内存足够，一般选直接法，譬如多波前求解方法。