16 16
对于一维问题，如图2所示，假定函数的定义域 为 0 χ 1 ，将定义域分成 M 个宽度相同的子区 间，每个子区间的宽度为 n (n 1, 2, , M )，其中
n 1/ M
17 17
则脉冲基函数为
1(当x位于xn内) Pn ( x) 0(当x不在xn内)
B an 是 M 1 阶矩阵， 矩阵K mn 是 M M 阶矩阵， 是 M M 阶矩阵。
mn
Bmn (Wm N n ) d

9 9
所以矩量法利用基函数和权函数将最初 的本征值问题（式（6.1-1））转换成了矩 阵的本征值问题（式（6.1-6））,通过求 解矩阵方程可到近似解。 [a ] 有非零解,其系 为使矩阵方程（6.1-6） Kmn ] －[ Bmn ] 的行列式必须为零，即 数矩阵 [ det(K mn Bmn ) 0 （6.1-7）
K mn Wm , LN n


(r rm )LN n d
LN n (r rm )
Bmn (Wm , N n ) N n (r rm )
20 20
•例2求表示在图5中的微带片状电容器的电容。
解 设地为电位参考点，加在微带片上的电压 为 U ，根据电容的定义，微带片的电容为:
解
将本征函数近似表示成
a an N n
n 1
11 11
M
选定基函数和权函分别为 n N n x(1 x )
Wm x(1 x m )
将选定的基函数和权函数代入式（6.1-6） 其中:[ K mn ][an ] [ Bmn ][an ]
K mn
2 d m n χ (1 χ ) χ (1 ) d χ 2 0 dχ mn m n 1 1
(r ) a n Pn (r )
n 1 M
1 (r 位于S i中) Pn(r ) 0 (r 不位于S i中)
a 它表示 S 上的电荷密度是均匀的，数值为 采用点配法，权函数为：
i
n
，
Wm ( χ χ m ) ( y ym )
23 23
求得
Kmn [b lg(a a2 b2 ) a lg(b a2 b2 ) b lg b a lg a] 2

1
2
2
Sn ( 2 ph 2 ph) p 1

24 24
2.当 m n 时，求得
K mn 1 [ 4 Sn
n
解方程（6.1-7）可求得 M 个本征值 i (i 1,2,, M ) ,对每一个本征值 i ,由式 （6.1-6）可求得本征矢量 a n i ain
10 10
最后求得相应的本征函数
fi
a
n 1
M
in
Nn
• 例1．求不定解域的本征值问题。
d 2 近似地用三角形基函数的线性组合 来表示，即有
19 19
( χ ) an N n ( χ )
n 1
M
其中: an ( n )
•3.权函数的选择
前已述及，矩量法的第二步是用权函数 Wm求 内积是很困难的，但如果将权数选为 函数， 即 Wm (r rm )
xm xn ym yn
2
2
(1 )[
p 1

p 1Sn
xm xn ym yn 2 ph
2 2
而 Bm Wm ,U 解方程求得电荷密度
U
an k mn 1 Bm
因此微带片上的总电荷为
Q
a
n 1
C Q /U
21 21
其中Q 是微带片上的总电荷。设微带片的 电荷密度为 (r )，微带片上的电压与电荷密度 间满足积分方程：
(r ) U G (r , r ) dS s
1 G(r, r ) 4 1 2 2 ( ) ( y y )


Bmn
1
0
mn(m n 6) χ (1 χ )(1 χ ) d χ 3(m 3)(n 3)(m n 3)
2 m n
12 12
为简单起见，选 M 2 ，则方程（6.1-6）变成
1 3 1 2 1 1 1 30 20 a1 2 a1 4 a 2 8 a 2 1 5 20 105
M
n
S n
将其代入式 C Q / U 即可求得电容值。
25 25
其中
Kmn an Bm
1 2 p 1 K mn I 0 (1 ) I p 4 P 1
Ip
dxdy ( xm x) ( y m y ) 2 ph
2 2
S n
p 0,1,2,
上式是可积的。 1.当 m n 时，求得
待求的函数用脉函数的线组合近似，于是有
( ) an pn ( )
n 1 M
其中: an ( n )
系数an 等于函数 在 处的值，但是 d 对包含二阶导数 d χ的算子不能选脉冲函数作 为基函数，这是因为脉冲函数的二阶导数包 含有对 函数的导数
n
2 2
P 1
(1 )
2 2 2 ( χ χ ) ( y y ) (2 ph)
P 1
其中：
0 0
22 22
采用矩量法求解积分方程,将微带片的宽 和 长 l 分别等分成 i和j 等分,即将微带片分成 M ij 个小矩形的宽为 a ,长为 b ，每个小矩形的面积 为 S n ab 。选用脉冲基函数，将板上的电荷密度 表示成
6 6
在波导壁上 Ez m 0
2 2 K / c k 2 2 z , kz 其中 c 是沿柱状导轴向的传播常
数，这是一典型的本征值问题,本征值 k c2 2 算子 L T ，本征函数 f E z m 。 •矩量法的解体步骤:
• 第一步是将式（6.1-1）中的未知函数 f 近似 表示成函数 N n 的线性组合，即
Wm , L an N n Wm , an N n
n1 n1 M M
（6.1-4）
式（6.1-4）可以重新写成
8 8
a
n 1
M
n
(Wm LNn )d an (Wm Nn )d (m 1,2, , M )
n 1
M
（6.1-5） 将式（6.1-5）写成矩阵的形式 K mn an Bmn an （6.1-6） 其中: K (W LN ) d mn m n
5 5
6.1 矩量法的基本原理
• 首先以有 Ω 域内满足第一类边值条件的本 征值问题为例说明矩量法的基本原理。本 征值问题写成一般的形式为
Lf f
（6.1-1）
其中算子 L 可以是微分算子也可以是积分算子。 在横截面为 Ω 的柱状空心波导中电磁波的传播 规律，即
2 2 K T c Ez m 0
3 3
f f
N
an Bn
n 1
M
• 对于不完备基，误差函数为
d( f , f ) f f
N N
f an Bn
n 1
M
• 通过选择标量系数αn，使得误差与N维基函 数都正交，则为正交投影函数。即
Bn , f f N 0, n 1, 2, ,N
4 4
• 一个三维相量，在三维基下是精确的；在二维基 下，差相量与xoy平面垂直的近似误差最小。
f f a an N n
n 1 M
（6.1-2）
7 7
其中函数 N n 是已知的独立函数，称为基数;an 是未知的待定系数，将式（6.1-2）代入式 （6.1-1）得
L a n N n a n N n
n 1 n 1 M M
（6.1-3）
• 第二步是用权函数Wm（又称检验函数）对式 （6.1-3）两边取内积，即有
0 1 2 1
d χ 1
1/ 2 a 30 5.4772 求得: 11
同理可求得: a21 43.474 因此本征值问题的近似解为:
1 5.4772 χ (1 χ ), 1 10
2 2 43.474 χ (1 χ ) χ (1 2 ), 2 42 3
第六章
矩
量
法
矩量法是由哈林登（Harrington）1968 年提出的，已成功地用于求解许多实际 的电磁问题。本节主要介绍矩量法的基 本原理，包括矩量法的求解步骤，基函 数和权函数的选择。
1 1
几个数学概念
• 泛函：以函数为自变量的函数（以数量为因 变量）。 • 希尔伯特空间：完备的内积空间； • 自伴算子：希尔伯特空间的线性算子， T*=T • 变分：研究求泛函极大值（极小值）的方法 。即求泛函极值的问题。
2 2 sin χ , 9.8696 其精确解是 1 1
14 14
2 2 sin χ, 2 (2 ) 2 39.4784 图1中给出了 的精确解（图中实线）和用矩量
法求得的近似解（图中虚线）的曲线，图中可 以看出两者是非常接近的。
图1 本征值问题的矩量法解与精确解的比较
（6.1-7）
为使上述方程有非零解，其系数矩阵的行列式 必须为零，即本征值心须满足方程
1 3 30 1 2 20 1 2 20 0 4 8 5 105
（6.1-8）
求得两个本征值分别为 1 10, 2 42 。