2017-2018学年江苏省泰州市姜堰二中高考数学四模试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B={x|1＜x≤3}，则A∪B=_______．2．已知i为虚数单位，复数z=2i+，则复数z的模为_______．3．“∃x≥0，使x（x+3）≥0”的否定是_______．4．执行如图程序：输出的结果S是_______．5．在圆x2+y2=4所围成的区域内随机取一个点P（x，y），则|x|+y≤0的概率为_______．6．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为_______．7．函数f（x）=6cos2+sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形，则ω=_______．8．已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组则tan∠AOB的最大值等于_______．9．x≥0，y＞0，x+y≤2，则+最小值_______．10．已知sin（+α）+sinα=，则sin（α+）的值是_______．11．设点P为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）上一点，F1，F2分别是左右焦点，I是△PF1F2的内心，若△IPF1，△IPF2，△IF1F2的面积S1，S2，S3满足2（S1﹣S2）=S3，则双曲线的离心率为_______．12．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为_______．13．已知O为△ABC的垂心，且+2+3=，则A角的值为_______．14．设各项均为正整数的无穷等差数列{a n}，满足a54=4028，且存在正整数k，使a1，a54，a k成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为_______．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，BC=CC1=4，D是A1C1中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面B1CD；（Ⅱ）求点B到平面B1CD的距离．16．已知△ABC中，，记．（1）求f（x）解析式及定义域；（2）设g（x）=6m•f（x）+1，，是否存在正实数m，使函数g（x）的值域为？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．17．如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（0＜2θ＜π），其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切，且与OA、OB相切．（1）求半径较大的花坛⊙P的半径（用θ表示）；（2）求半径较小的花坛⊙Q的半径的最大值．18．已知椭圆+=1（a＞b＞0）上顶点A（0，2），右焦点F（1，0），设椭圆上任一点到点M（0，6）的距离为d．（1）求d的最大值；（2）过点F的直线交椭圆于点S，T两点，P为准线l上一动点．①若PF⊥ST，求证：直线OP平分线段ST；②设直线PS，PF，PT的斜率分别为k1，k2，k3，求证：k1，k2，k3成等差数列．19．已知函数f（x）=alnx+（x﹣c）|x﹣c|，a＜0，c＞0．（1）当a=﹣，c=时，求函数f（x）的单调区间；（2）当c=+1时，若f（x）≥对x∈（c，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（3）设函数f（x）的图象在点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2））两处的切线分别为l1、l2．若x1=，x2=c，且l1⊥l2，求实数c的最小值．20．已知有穷数列{a n}各项均不相等，将{a n}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{P n}，称{P n}为{a n}的“序数列”，例如数列：a1，a2，a3满足a1＞a3＞a2，则其序数列{P n}为1，3，2．（1）求证：有穷数列{a n}的序数列{P n}为等差数列的充要条件是有穷数列{a n}为单调数列；（2）若项数不少于5项的有穷数列{b n}，{c n}的通项公式分别是b n=n•（）n（n∈N*），c n=﹣n2+tn（n∈N*），且{b n}的序数列与{c n}的序数列相同，求实数t的取值范围；}的序数列单调减，（3）若有穷数列{d n}满足d1=1，|d n+1﹣d n|=（）n（n∈N*），且{d2n﹣1{d2n}的序数列单调递增，求数列{d n}的通项公式．附加题[选修4-1：几何证明选讲]（任选两个）21．如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点D，AC⊥CD，DE⊥AB，C、E为垂足，连接AD，BD．若AC=4，DE=3，求BD的长．附加题[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵M=，N=，试求曲线y=sinx在矩阵（MN）﹣1变换下的函数解析式．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l：（t为参数）恒经过椭圆C：（φ为参数）的右焦点F．（1）求m的值；（2）当α=时直线l与椭圆C相交于A，B两点，求FA•FB的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知正实数a，b，c满足a+b2+c3=1，求证：≥27．解答题25．自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了20014周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望．26．在数列|a n|中，a1=t﹣1，其中t＞0且t≠1，且满足关系式：a n+1（a n+t n﹣1）=a n（t n+1﹣1），（n∈N+）（1）猜想出数列|a n|的通项公式并用数学归纳法证明之；（2）求证：a n+1＞a n，（n∈N+）．2016年江苏省泰州市姜堰二中高考数学四模试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．1．已知集合A={x|x2﹣x﹣2≤0}，集合B={x|1＜x≤3}，则A∪B={x|﹣1≤x≤3} ．【考点】并集及其运算．【分析】求解一元二次不等式化简集合A，然后直接利用并集运算得答案．【解答】解：由x2﹣x﹣2≤0，解得﹣1≤x≤2．∴A={x|﹣1≤x≤2}，又集合B={x|1＜x≤3}，∴A∪B={x|﹣1≤x≤3}，故答案为：{x|﹣1≤x≤3}，2．已知i为虚数单位，复数z=2i+，则复数z的模为．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算性质、复数模的计算公式即可得出．【解答】解：复数z=2i+=2i+=2+i，则复数|z|==．故答案为：．3．“∃x≥0，使x（x+3）≥0”的否定是∀x≥0，x（x+3）＜0．【考点】的否定．【分析】根据“∃x≥0，使x（x+3）≥0”是特称，其否定为全称，即∀x≥0，使x（x+3）＜0，从而得到答案．【解答】解：∵“∃x≥0，使x（x+3）≥0”是特称∴否定为∀x≥0，x（x+3）＜0，故答案为：∀x≥0，x（x+3）＜04．执行如图程序：输出的结果S是880．【考点】循环结构．【分析】模拟执行程序代码，依次写出每次循环得到的S，I的值，当I=10时，结束循环，从而得解．【解答】解：模拟执行程序代码，可得S=1，I=1，执行循环体，S=2，I=4，执行循环体，S=10I=7，执行循环体，S=80I=10，执行循环体，S=880输出S的值为880．故答案为：880．5．在圆x2+y2=4所围成的区域内随机取一个点P（x，y），则|x|+y≤0的概率为．【考点】几何概型．【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出（x，y）对应图形的面积，及满足条件|x|+y≤0的点对应的图形的面积，然后再结合几何概型的计算公式进行求解．【解答】解：如图所示，满足条件|x|+y≤0”的区域为图中扇形的面积即阴影部分的面积，∵|x|+y≤0，∴扇形的圆心角为90°，∵R=2，=×4π=π，圆的面积为4π，∴S阴影故|x|+y≤0的概率为=，故答案为：6．底面边长和高都为2的正四棱锥的表面积为4+4．【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】由已知中正四棱锥的底面边长为2，高为2，求出棱锥的侧高，进而求出棱锥的侧面积，加上底面积后，可得答案．【解答】解：如下图所示：正四棱锥S﹣ABCD中，AB=BC=CD=AD=2，S0=2，E为BC中点，在Rt△SOE中，OE=AB=1，则侧高SE==，故棱锥的表面积S=2×2+4×（×2×）=4+4．故答案为：4+4．7．函数f（x）=6cos2+sinωx﹣3（ω＞0）在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B，C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形，则ω=．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】由降幂公式和三角恒等变换公式化简f（x），由正三角形知道高和底，由此知道周期，得到ω．【解答】解：∵f（x）=6cos2+sinωx﹣3（ω＞0）=3cosωx+sinωx=2sin（ωx+），∵△ABC为正三角形，∴△ABC的高为2，BC=4，∴周期T=8，∵T==8∴ω=．8．已知O为坐标原点，A，B两点的坐标均满足不等式组则tan∠AOB的最大值等于．【考点】简单线性规划．【分析】先根据约束条件画出可行域，只需求出A，B在图中的位置，∠AOB最大，即tan ∠AOB最大即可．【解答】解：作出可行域，则A、B在图中所示的位置时，∠AOB最大，即tan∠AOB最大，由题意可得A（1，2），B（2，1）∴K OA=tan∠AOM=2，K OB=tan∠BOM=∵∠AOB=∠AOM﹣∠BOM，∴tan∠AOB=tan（∠AOM﹣∠BOM）===，所以tan∠AOB的最大值为，故答案为：．9．x≥0，y＞0，x+y≤2，则+最小值．【考点】基本不等式．【分析】由条件可得[（x+2y）+（2x+y）]（+）=5++，运用基本不等式和不等式的性质，即可得到所求最小值．【解答】解：x≥0，y＞0，x+y≤2，可得[（x+2y）+（2x+y）]（+）=5++≥5+2=9，可得+≥=≥当且仅当2（2x +y ）=x +2y ，即x=0，y=2时，取得最小值．故答案为：．10．已知sin （+α）+sin α=，则sin （α+）的值是 ﹣ ．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式，求得sin （α+）的值，再利用诱导公式求得sin （α+）=﹣sin （α+）的值．【解答】解：∵sin （+α）+sin α=cos α+sin α+sin α=（cos α+sin α）=sin （α+）=，∴sin （α+）=，故sin （α+）=﹣sin （α+）=﹣，故答案为：﹣．11．设点P 为双曲线﹣=1（a ＞0，b ＞0）上一点，F 1，F 2分别是左右焦点，I 是△PF 1F 2的内心，若△IPF 1，△IPF 2，△IF 1F 2的面积S 1，S 2，S 3满足2（S 1﹣S 2）=S 3，则双曲线的离心率为 2 ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先根据题意作出示意图，利用平面几何的知识利用三角形面积公式，代入已知式2（S 1﹣S 2）=S 3，化简可得|PF 1|﹣|PF 2|=|F 1F 2|，再结合双曲线的定义与离心率的公式，可求出此双曲线的离心率．【解答】解：如图，设圆I 与△PF 1F 2的三边F 1F 2、PF 1、 PF 2分别相切于点E 、F 、G ，连接IE 、IF 、IG ， 则IE ⊥F 1F 2，IF ⊥PF 1，IG ⊥PF 2，它们分别是△IF 1F 2，△IPF 1，△IPF 2的高，∴S 1=|PF 1|•|IF |=|PF 1|r ， S 2=|PF 2|•|IG |=|PF 2|r ，S3=|F1F2|•|IE|=|F1F2|r，其中r是△PF1F2的内切圆的半径．∵S1﹣S2=S3，∴|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|，两边约去得：|PF1|﹣|PF2|=|F1F2|，根据双曲线定义，得|PF1|﹣|PF2|=2a，|F1F2|=2c，∴2a=c⇒离心率为e==2．故答案为：2．12．已知函数f（x）=x|x﹣a|，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则实数a的取值范围为[3，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】根据凸函数和凹函数的定义，作出函数f（x）的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：满足条件有的函数为凸函数，f（x）=，作出函数f（x）的图象，由图象知当x≤a时，函数f（x）为凸函数，当x≥a时，函数f（x）为凹函数，若对任意x1∈[2，3]，x2∈[2，3]，x1≠x2恒有，则a≥3即可，故实数a的取值范围是[3，+∞），故答案为：[3，+∞）13．已知O为△ABC的垂心，且+2+3=，则A角的值为．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】取AC，BC的中点分别为E，F；化简可得2+4=0，从而记||=x，则||=2x，|AB|=6x，|AC|=|EC|=，|EH|=2xcosA，从而可得=cosA，从而解得．【解答】解：∵+2+3=，∴++2+2=，取AC，BC的中点分别为E，F；∴2+4=0，记||=x，则||=2x，|AB|=6x，|AC|=|EC|=，|EH|=2xcosA，故=cosA，即=2cosA，解得cosA=或cosA=﹣（舍去），故A=，故答案为：．14．设各项均为正整数的无穷等差数列{a n}，满足a54=4028，且存在正整数k，使a1，a54，a k成等比数列，则公差d的所有可能取值之和为301．【考点】等差数列与等比数列的综合．【分析】由题意和等差数列的通项公式得a1+53d=4028，由d为正整数得a1是53的倍数，由等比中项的性质列出式子：a542=a1a k=4×4×19×19×53×53，对a1分类讨论，分别化简后结合题意可得结论．【解答】解：由题意得a54=4028，则a1+53d=4028，化简得+d=76，∵d为正整数，∴a1是53的倍数，∵a1，a54，a k成等比数列，∴a542=a1a k=4×4×19×19×53×53，且a n是整数，（1）若a1=53，53+53d=4028，解得d=75，此时a k=4×4×19×19×53=53+75（k﹣1），得k=4081，成立，（2）若a1=2×53，106+53d=4028，解得d=74，此时a k=2×4×19×19×53=2×53+74（k﹣1），得k=2886，成立，（3）若a1=3×53，159+53d=4028，解得d=73，此时a k=（4×4×19×19×53）不是整数，舍去，（3）若a1=4×53，212+53d=4028，解得d=72，此时a k=4×19×19×53=4×53+72（k﹣1），得k=1060，成立，（4）若a1=16×53=848，848+53d=4028，得53d=3180，d=60，此时a k=19×19×53=16×53+60（k﹣1），得k不是整数，不成立，（5）若a1=19×53=1007，1007+53d=4028，得53d=3021，d=57，此时a k=4×4×19×53=19×53+57（k﹣1），得k=265，成立，（6）若a1=53×53=2809，2809+53d=4028，得53d=1219，d=23，此时a k=4×4×19×19=53×53+72（k﹣1），得k=129，成立，∴公差d的所有可能取值之和为75+74+72+57+23=301．故答案为：301．二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．15．如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1为正三棱柱，BC=CC1=4，D是A1C1中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面B1CD；（Ⅱ）求点B到平面B1CD的距离．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）设BC1∩B1C于点E，连DE，利用三角形的中位线性质，证明DE∥A1B，即可证明A1B∥平面B1CD；（Ⅱ）利用等体积，求点B到平面B1CD的距离．【解答】证明：（Ⅰ）设BC1∩B1C于点E，连DE，∵在△A1BC1中，D为A1C1的中点，E为BC1的中点，∴DE∥A1B，∵DE⊂平面B1CD，A1B⊄平面B1CD，∴A1B∥平面B1CD．（Ⅱ）解：△B1CD中，B1D=CD==2，B1C=4，∴==4．设点B到平面B1CD的距离为h，则h=，∴h=．16．已知△ABC中，，记．（1）求f（x）解析式及定义域；（2）设g（x）=6m•f（x）+1，，是否存在正实数m，使函数g（x）的值域为？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．【考点】平面向量数量积的运算；正弦函数的定义域和值域；正弦定理．【分析】（1），结合正弦定理，可以表示出BC、AB边的长，根据边长为正，可求出x的取值范围，即定义域，同时我们不难给出求f（x）解析式．（2）由（1）的结论写出g（x）的解析式，并求出g（x）的值域（边界含参数），利用集合相等，边界值也相等，易确定参数的值．【解答】解：（1）由正弦定理有：∴=（2）g（x）=6mf（x）+1=假设存在实数m符合题意，∵，∴．因为m＞0时，的值域为（1，m+1]．又g（x）的值域为，解得；∴存在实数，使函数f（x）的值域恰为．17．如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量2θ（0＜2θ＜π），其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切，且与OA、OB相切．（1）求半径较大的花坛⊙P的半径（用θ表示）；（2）求半径较小的花坛⊙Q的半径的最大值．【考点】三角函数的最值；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（1）设⊙P切OA于M，⊙Q切OA于N，记⊙P、⊙Q的半径分别为r P、r Q．可得|OP|=80﹣r P，由此求得r P的解析式．（2）由|PQ|=r P+r Q，求得r Q=（0＜θ＜）．令t=1+sinθ∈（1，2），求得r Q=80（﹣1﹣+），再利用二次函数的性质求得它的最大值．【解答】解：（1）设⊙P切OA于M，连PM，⊙Q切OA于N，连QN，记⊙P、⊙Q的半径分别为r P、r Q．∵⊙P与⊙O内切，∴|OP|=80﹣r P，∴+r P=80，∴r P=（0＜θ＜）．（2）∵|PQ|=r P+r Q∴|OP|﹣|OQ|=﹣=r P+r Q，∴r Q=（0＜θ＜）．令t=1+sinθ∈（1，2），∴r Q=80•=80（﹣1﹣+），令m=∈（，1），r Q=80（﹣2m2+3m﹣1），∴m=时，有最大值10．18．已知椭圆+=1（a＞b＞0）上顶点A（0，2），右焦点F（1，0），设椭圆上任一点到点M（0，6）的距离为d．（1）求d的最大值；（2）过点F的直线交椭圆于点S，T两点，P为准线l上一动点．①若PF⊥ST，求证：直线OP平分线段ST；②设直线PS，PF，PT的斜率分别为k1，k2，k3，求证：k1，k2，k3成等差数列．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得b=2，c=1，解得a，可得椭圆的方程，设椭圆上一点（m，n），代入椭圆方程，再由两点的距离公式，化简整理可得n的二次函数，即可得到所求最大值；（2）①当过点F（1，0）的直线的斜率不存在，显然成立；当过点F的直线的斜率存在，设为x=my+1，代入椭圆方程4x2+5y2=20，运用韦达定理和中点坐标公式，可得ST的中点Q的坐标，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得n=﹣4m，由直线的斜率公式即可得证；②由①可得k2=，运用两点的斜率公式，计算k1+k3，运用点满足直线方程，化简整理，代入韦达定理，结合等差数列的中项的性质即可得证．【解答】解：（1）由题意可得b=2，c=1，a==，可得椭圆方程为+=1，设椭圆上一点（m，n），可得+=1，即m2=5（1﹣），即有d====，由于﹣2≤n≤2，可得n=﹣2时，d取得最大值8；（2）①证明：当过点F（1，0）的直线的斜率不存在，即为x=1，显然有直线OP平分线段ST；当过点F的直线的斜率存在，设为x=my+1，代入椭圆方程4x2+5y2=20，可得（4m2+5）y2+8my﹣16=0，设S（x1，y1），T（x2，y2），可得y1+y2=﹣，y1y2=﹣，（*）线段ST的中点Q坐标为（，﹣），由椭圆的准线方程可得l：x=5，设P（5，n），即有直线OP的斜率为，由PF⊥ST，可得k PF==﹣m，即n=﹣4m，可得直线OP的斜率和直线OQ的斜率相等，且为﹣，则直线OP平分线段ST；②证明：由①可得k2=，k1+k3=+=+=，代入（*），可得k1+k3==，即有k1+k3=2k2，则k1，k2，k3成等差数列．19．已知函数f（x）=alnx+（x﹣c）|x﹣c|，a＜0，c＞0．（1）当a=﹣，c=时，求函数f（x）的单调区间；（2）当c=+1时，若f（x）≥对x∈（c，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；（3）设函数f（x）的图象在点P（x1，f（x1））、Q（x2，f（x2））两处的切线分别为l1、l2．若x1=，x2=c，且l1⊥l2，求实数c的最小值．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（1）求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系，即可求f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥对x∈（c，+∞）恒成立，则只需求出f（x）的最小值即可；（3）由l1⊥l2知，，得到，分类讨论，再由导数与单调性的关系，即可得到实数c的最小值．【解答】解：函数，求导得．（1）当，时，，若，则恒成立，所以f（x）在上单调减；若，则，令f′（x）=0，解得或（舍），当时，f′（x）＜0，f（x）在上单调减；当时，f′（x）＞0，f（x）在上单调增．所以函数f（x）的单调减区间是，单调增区间是．（2）当x＞c，时，，而，所以当c＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）在（c，1）上单调减；当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）在（1，+∞）上单调增．所以函数f（x）在（c，+∞）上的最小值为，所以恒成立，解得a≤﹣1或a≥1，又由，得a＞﹣2，所以实数a的取值范围是（﹣2，﹣1]．（3）由l1⊥l2知，，而，则，若，则，所以，解得，不符合题意；故，则，整理得，，由c＞0得，，令，则，t＞2，所以，设，则，当时，g′（t）＜0，g（t）在上单调减；当时，g′（t）＞0，g（t）在上单调增．所以，函数g（t）的最小值为，故实数c的最小值为．20．已知有穷数列{a n}各项均不相等，将{a n}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{P n}，称{P n}为{a n}的“序数列”，例如数列：a1，a2，a3满足a1＞a3＞a2，则其序数列{P n}为1，3，2．（1）求证：有穷数列{a n}的序数列{P n}为等差数列的充要条件是有穷数列{a n}为单调数列；（2）若项数不少于5项的有穷数列{b n }，{c n }的通项公式分别是b n =n •（）n （n ∈N *），c n =﹣n 2+tn （n ∈N *），且{b n }的序数列与{c n }的序数列相同，求实数t 的取值范围；（3）若有穷数列{d n }满足d 1=1，|d n+1﹣d n |=（）n （n ∈N *），且{d 2n ﹣1}的序数列单调减，{d 2n }的序数列单调递增，求数列{d n }的通项公式． 【考点】数列的应用． 【分析】（1）由题意，分别证明充分性和必要性．其中，充分性证明即若有穷数列{a n }的序数列{P n }为等差数列，则有穷数列{a n }为单调数列，分别讨论{P n }为递增数列时，数列{a n }的特点是项由大到小依次排列，得到有穷数列{a n }为单调递减数列；同理{P n }为递减数列，有穷数列{a n }为单调递增数列．必要性证明同样需将有穷数列{a n }分为递增和递减来讨论，最后得出其序数列{P n }为等差数列；（2）通过作差法比较相邻两项的大小关系，即b n+1﹣b n =•（）n ，得到当n ≥2时，b n+1＜b n ．所以需要比较第一项的大小所在的位置，计算可以得出b 2＞b 3＞b 1＞b 4的大小关系．由数列{c n }大小关系为c 2＞c 3＞c 1＞c 4＞c 5＞…＞c n ﹣1＞c n ．分别算出c 1=t ﹣1，c 2=2t ﹣4，c 3=3t ﹣9．由列c 2＞c 3＞c 1列不等式并求解得t 的取值范围． （3）因为{d 2n ﹣1}的序数列单调减，即d 2n+1﹣d 2n ﹣1＞0，将其变形可得到d 2n+1﹣d 2n +d 2n ﹣d 2n ﹣1＞0．利用|d 2n+1﹣d 2n |=＜|d 2n ﹣d 2n ﹣1|=可得d 2n ﹣d 2n ﹣1＞0，即d 2n﹣d 2n ﹣1==①，由d 2n+1﹣d 2n ＜0，d 2n+1﹣d 2n ==②整理①②得d n+1﹣d n =．所以可知数列{d n+1﹣d n }是等比数列，则可求其前n 项和为Tn ﹣1=（d 2﹣d 1）+（d 3﹣d 2）+…+（d n ﹣d n ﹣1）=d n ﹣d 1．即可求出数列{d n }的通项公式． 【解答】（1）证明：由题意得， 充分条件：因为有穷数列{a n }的序数列{P n }为等差数列 所以①{P n }为1，2，3，…，n ﹣2，n ﹣1，n 所以有穷数列{a n }为递减数列，②{P n }为n ，n ﹣1，n ﹣2，…，3，2，1 所以有穷数列{a n }为递增数列，所以由①②，有穷数列{a n }为单调数列 必要条件：因为有穷数列{a n }为单调数列 所以①有穷数列{a n }为递减数列则{P n }为1，2，3，…，n ﹣2，n ﹣1，n 的等差数列 ②有穷数列{a n }为递增数列则{P n }为n ，n ﹣1，n ﹣2，…，3，2，1的等差数列 所以由①②，序数列{P n }为等差数列综上，有穷数列{a n }的序数列{P n }为等差数列的充要条件是有穷数列{a n }为单调数列（2）解：由题意得， 因为b n =n •（）n （n ∈N *）所以b n+1﹣b n =•（）n当n ≥2时，b n+1﹣b n ＜0即b n+1＜b nb 2=，b 2=，b 3=，b 4=b 2＞b 3＞b 1＞b 4＞b 5＞…＞b n ﹣1＞b n又因为c n =﹣n 2+tn （n ∈N *），且{b n }的序数列与{c n }的序数列相同 所以c 2＞c 3＞c 1＞c 4＞c 5＞…＞c n ﹣1＞c n 又因为c 1=t ﹣1，c 2=2t ﹣4，c 3=3t ﹣9 所以2t ﹣4＞3t ﹣9＞t ﹣1 所以4＜t ＜5即t ∈（4，5）（3）解：由题意得，d 2n+1﹣d 2n ﹣1＞0 所以d 2n+1﹣d 2n +d 2n ﹣d 2n ﹣1＞0又因为|d 2n+1﹣d 2n |=＜|d 2n ﹣d 2n ﹣1|=所以d 2n ﹣d 2n ﹣1＞0，即d 2n ﹣d 2n ﹣1==①d 2n+1﹣d 2n ＜0，d 2n+1﹣d 2n ==②整理①②得d n+1﹣d n =令数列Bn=d n+1﹣d n 则数列{Bn }是以为首相，为公比的等比数列，所以{Bn }的前n﹣1项和为T n ﹣1==所以d n =d 1+T n ﹣1=附加题[选修4-1：几何证明选讲]（任选两个）21．如图，AB 为⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点D ，AC ⊥CD ，DE ⊥AB ，C 、E 为垂足，连接AD ，BD ．若AC=4，DE=3，求BD 的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】先证明△EDA ∽△DBA ，再证明△ACD ≌△AED ，即可得出结论． 【解答】解：因为CD 与⊙O 相切于点D ，所以∠CDA=∠DBA ，… 又因为AB 为⊙O 的直径，所以∠ADB=90°． 又DE ⊥AB ，所以△EDA ∽△DBA ，所以∠EDA=∠DBA ，所以∠EDA=∠CDA ．…又∠ACD=∠AED=90°，AD=AD ，所以△ACD ≌△AED ． 所以AE=AC=4，所以AD=5，…又=，所以BD=．…附加题[选修4-2：矩阵与变换]22．已知矩阵M=，N=，试求曲线y=sinx 在矩阵（MN ）﹣1变换下的函数解析式．【考点】二阶行列式与逆矩阵．【分析】先求出MN ，从而求出矩阵（MN ）﹣1=，设（x ，y ）是曲线y=sinx 上的任意一点，在矩阵（MN ）﹣1变换下对应的点为（a ，b ），得到x=，y=2b ，由此能求出曲线y=sinx 在矩阵（MN ）﹣1变换下的曲线方程．【解答】解：∵矩阵M=，N=，∴MN==，∵→，∴矩阵（MN ）﹣1=，设（x ，y ）是曲线y=sinx 上的任意一点，在矩阵（MN ）﹣1变换下对应的点为（a ，b ）．则=，∴，即x=，y=2b，代入y=sinx得：2b=sin（a），即b=sin（a）．即曲线y=sinx在矩阵（MN）﹣1变换下的曲线方程为y=sin（x）．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知直线l：（t为参数）恒经过椭圆C：（φ为参数）的右焦点F．（1）求m的值；（2）当α=时直线l与椭圆C相交于A，B两点，求FA•FB的值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）椭圆C：（φ为参数），利用平方关系消去参数化为普通方程，可得右焦点F（1，0）．根据直线l：（t为参数）恒经过点（c，0），可得m．（2）当α=时，直线l的参数方程为：，代入椭圆方程可得：3t2+2t﹣2=0，利用|FA|•|FB|=|t1t2|，即可得出．【解答】解：（1）椭圆C：（φ为参数），消去参数化为： +y2=1，可得右焦点F（1，0）．直线l：（t为参数）恒经过点（1，0），取t=0，则m=1．（2）当α=时，直线l的参数方程为：，代入椭圆方程可得：3t2+2t﹣2=0，∴t1t2=﹣．∴|FA|•|FB|=|t1t2|=．[选修4-5：不等式选讲]24．已知正实数a，b，c满足a+b2+c3=1，求证：≥27．【考点】不等式的证明．【分析】由正实数a，b，c满足a+b2+c3=1，运用三元均值不等式，可得ab2c3≤，再由均值不等式即可得证．【解答】证明：因为正实数a，b，c满足a+b2+c3=1，所以，即，所以，因此．解答题25．自2016年1月1日起，我国全面二孩政策正式实施，这次人口与生育政策的历史性调整，使得“要不要再生一个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决策上避不开的话题．为了解针对产假的不同安排方案形成的生育意愿，某调查机构随机抽取了20014周与16周，估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少？（2）假设从5种不同安排方案中，随机抽取2种不同安排分别作为备选方案，然后由单位根据单位情况自主选择．①求两种安排方案休假周数和不低于32周的概率；②如果用ξ表示两种方案休假周数和．求随机变量ξ的分布及期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由表中信息可知，利用等可能事件概率计算公式能求出当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率和当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率．（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有10种，由此利用列举法能求出其和不低于32周的概率．②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和E（ξ）．【解答】解：（1）由表中信息可知，当产假为14周时某家庭有生育意愿的概率为；当产假为16周时某家庭有生育意愿的概率为…（2）①设“两种安排方案休假周数和不低于32周”为事件A，由已知从5种不同安排方案中，随机地抽取2种方案选法共有（种），其和不低于32周的选法有14、18、15、17、15、18、16、17、16、18、17、18，共6种，由古典概型概率计算公式得…②由题知随机变量ξ的可能取值为29，30，31，32，33，34，35．，，，ξ×0.2+33×0.2+34×0.1+35×0.1=32，…26．在数列|a n|中，a1=t﹣1，其中t＞0且t≠1，且满足关系式：a n+1（a n+t n﹣1）=a n（t n+1﹣1），（n∈N+）（1）猜想出数列|a n|的通项公式并用数学归纳法证明之；（2）求证：a n+1＞a n，（n∈N+）．【考点】用数学归纳法证明不等式．【分析】（1）由原递推式得到，再写出前几项，从而猜想数列|a n|的通项公式，进而利用数学归纳法证明．（2）利用（1）的结论，作差进行比较，故可得证．【解答】解：（1）由原递推式得到，，=猜想得到…下面用数学归纳法证明10当n=1时a1=t﹣1 满足条件20假设当n=k时，则，∴，∴即当n=k +1时，原也成立．由10、20知…（2）==而nt n ﹣（t n ﹣1+t n ﹣2+…+t +1）=（t n ﹣t n ﹣1）+（t n ﹣t n ﹣2）+…+（t n ﹣t ）+（t n ﹣1）=t n ﹣1（t ﹣1）+t n ﹣2（t 2﹣1）+t n ﹣3（t 3﹣1）+…+t （t n ﹣1﹣1）+（t n ﹣1）=故t ＞0，且t ≠1时有a n+1﹣a n ＞0，即a n+1＞a n …2016年9月9日。