[巩固层·知识整合]
随机事件的频率与概率
空气质量指数确定，空气质量指数越高，代表空气污染越严重：
空气质
量指数
0～3535～7575～115115～150150～250≥250空气质
量类别
优良
轻度
污染
中度
污染
重度
污染
严重
污染
(1)估计该市一个月内空气受到污染的概率(若空气质量指数大于或等于75，则空气受到污染)；
(2)在空气质量类别为“良”“轻度污染”“中度污染”的监测数据中用分层抽样的方法抽取一个容量为6的样本，若在这6个数据中任取2个数据，求这2
个数据所对应的空气质量的类别不都是轻度污染的概率．
[解](1)空气受到污染的概率P＝12
30＋
4
30＋
2
30＝
18
30＝
3
5.
(2)易知用分层抽样的方法从“良”“轻度污染”“中度污染”的监测数据中抽取的个数分别为2,3,1.
设它们的数据依次为a1，a2，b1，b2，b3，c1，则抽取2个数据的所有基本事件为(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a1，c1)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a2，c1)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b1，c1)，(b2，b3)，(b2，c1)，(b3，c1)，共15种．设“这两天的空气质量类别不都是轻度污染”为事件A，则A中的基本事件数为12，
所以P(A)＝12
15＝
4
5，即这两天的空气质量类别不都是轻度污染的概率为
4
5.
1．概率从数量上反映了随机事件发生的可能性大小．它对大量重复试验来说存在着一种统计规律性，但对单次试验来说，随机事件的发生是随机的．2．解决实际问题时，要注意频率与概率的区别与联系：概率是一个常数，频率是一个变数，它随着试验次数的变化而变化，试验次数越多，频率就越接近于概率．
3．判断一个事件是否是随机事件，关键是看它是否可能发生．
[跟进训练]
1．某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表所示：
投篮次数n 8101520304050
进球次数m 681217253240
进球频率m n
(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约是多少？
[解](1)填入表中的数据依次为0.75,0.80,0.80,0.85,0.83,0.80,0.80.
(2)由于上述频率接近0.80，因此，进球的概率约为0.80.
古典概型
【例2】利用平面直角坐标系求解．
先后抛掷两枚骰子，观察向上的点数，则：
(1)所得点数之和是3的概率是多少？
(2)所得点数之和是3的倍数的概率是多少？
[解]掷一枚骰子的结果有6种．由于第一枚骰子的每一个结果都可与第二枚骰子的任意一个结果配对，组成先后抛掷两枚骰子的一个结果，因此先后抛掷两枚骰子的结果共有36种．
(1)事件“所得点数之和为3”记为A，共有两种结果：“第一枚点数为1，第
二枚点数为2”和“第一枚点数为2，第二枚点数为1”，故所求概率为P(A)＝2 36＝
1
18.
(2)所得点数之和是3的倍数的结果有(1,2)，(1,5)，(2,1)，(2,4)，(3,3)，(3,6)，(4,2)，(4,5)，(5,1)，(5,4)，(6,3)，(6,6)，共12种．
记“向上的点数之和是3的倍数”为事件B，则事件B的结果有12种，故所
求的概率为P(B)＝12
36＝
1
3.
1．古典概型的特点是：有限性和等可能性．
2．对于古典概型概率的计算，关键要分清基本事件的总数n与事件A包含的
基本事件的个数m，再利用公式P(A)＝m
n求出概率．有时需要用列举法把基本事件
一一列举出来，在列举时必须按某一顺序做到不重、不漏．
[跟进训练]
2．某射手在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.24、0.28、0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一次射击中：
(1)射中10环或9环的概率；
(2)至少射中7环的概率；
(3)射中环数不足8环的概率．
[解]设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”的事件分别为A、B、C、D、E，
(1)P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，即射中10环或9环的概率为0.52.
(2)“射中环数小于7环”为“至少射中7环”的对立事件，所以所求事件的概率为1－P (E )＝1－0.13＝0.87.
(3)P (D ＋E )＝P (D )＋P (E )＝0.16＋0.13＝0.29，即射中环数不足8环的概率为0.29.
几何概型
1．几何概型有什么特点？ [提示] 几何概型的特点有：
①试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个； ②每个基本事件出现的可能性相等． 2．古典概型和几何概型的异同是什么？
[提示] 几何概型也是一种概率模型，它与古典概型的区别是：古典概型的试验结果是有限的，而几何概型的试验结果是无限的．
【例3】 向面积为9的△ABC 内投一点P ，求△PBC 的面积小于3的概率． [解] 如图，作AD ⊥BC ，垂足为D ，设ED ＝1
3AD ，则AE ＝23AD .过E 作MN ∥BC ，则MN ＝23BC .
∴S △AMN ＝12MN ·AE ＝12×23BC ×23AD ＝49×12BC ·AD ＝4
9S △ABC .
设事件A ：“△PBC 的面积小于3”，而点P 落在△ABC 内任一点的概率相同，当点P 落在MN 上时，
S △PBC ＝1
3S △ABC ＝3.
当点P 落在线段MN 上部时，S △PBC >1
3S △ABC ＝3. 当P 落在线段MN 下部时，S △PBC <1
3S △ABC ＝3.
∴事件A 的概率只与四边形BCNM 的面积有关，属几何概型．∵S △ABC ＝9，S △AMN ＝4
9S △ABC ＝4，
∴P (A )＝
S △ABC －S △AMN S △ABC
＝9－49＝5
9.
几何概型的概率公式适用于有无限多个试验结果的情况，且每种结果的出现是等可能的.试验的结果发生在一个确定的区域内，由于在确定范围内的等可能性，所以其概率等于该事件构成的子区域占总区域的比例.依这种比例求解，类似古典概型的思路，即事件A 的概率由“构成事件A 的基本事件所占的图形面积(长度、体积)”与“试验的全部结果所占的总面积(长度、体积)”之比来表示.
[跟进训练]
3．在以3为半径的圆内任取一点P 为中点作圆的弦，求弦长超过圆内接等边三角形边长的概率．
[解] 设“弦长超过圆内接等边三角形的边长”为事件A .在以半径为3的圆内任取一点P 的结果有无限个，属于几何概型．如图所示，△BCD 是圆内接等边三角形，再作△BCD 的内切圆．则满足“弦长超过圆内接等边三角形边长”的点P 在等边△BCD 的内切圆内．
可以计算得：等边△BCD 的边长为3，等边△BCD 的内切圆的半径为3
2，所以事件A 构成的区域面积是等边△BCD 的内切圆的面积π×⎝ ⎛⎭
⎪⎫322
＝3
4π，
全部结果构成的区域面积是π×(3)2＝3π， 所以P (A )＝3
4π3π＝1
4，
即弦长超过圆内接等边三角形的边长的概率是1
4.
数形结合思想
(1)求x ＋y ≥0的概率； (2)求x ＋y ＜1的概率； (3)求x 2＋y 2≥1的概率．
[思路探究] 利用平面直角坐标系划归为平面点集求解．
[解]利用平面直角坐标系划归为平面点集求解．如图所示，
满足|x
|≤1，|y|≤1的点组成一个边长为2的正方形，其面积为4.
(1)方程x＋y＝0的图形是直线AC，满足x＋y≥0的点在直
线AC的右上方，即在△ACD内(含边界)，S
△ACD
＝
1
2S正方形ABCD＝2，
所以P(x＋y≥0)＝
2
4＝
1
2.
(2)设E(0,1)，F(1,0)，则x＋y＝1的图形是直线EF，满足x＋y＜1的点在直线EF的左下方，而S五边形ABCFE＝S正方形ABCD－S△EDF＝4－
1
2＝
7
2，
所以P(x＋y＜1)＝
S五边形ABCFE
S正方形ABCD
＝
7
2
4＝
7
8.
(3)满足x2＋y2＝1的点是以原点为圆心的单位圆O，因为S⊙O＝π，所以P(x2＋y2≥1)＝
S正方形ABCD－S⊙O
S正方形ABCD
＝
4－π
4＝1－
π
4.
在解决较为抽象的问题时，借助几何图形，可以直观、清晰地表达出问题的条件或结果，使得抽象问题形象化，从而大大简化问题的求解过程．在几何概型中把概率问题转化为图形的量度问题就是很好的数形结合的典范．本题把满足不等式的点集在坐标平面上找出来，就是把“数”的问题转化为“形”的问题，从而体现了数形结合思想．
[跟进训练]
4．设M＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，任取x，y∈M，x≠y.求x＋y是3的倍数的概率．
[解]利用平面直角坐标系列举，如图所示：
由此可知，基本事件总数n＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45.而x＋y是3
m n＝1 3.
的倍数的情况有m＝15(种)，故所求事件的概率为。