北京市西城区（南区）2012-2013学年下学期高一期末质量检测数学试卷本试卷满分100分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分。

1. 与角－70°终边相同的角是A. 70°B. 110°C. 250°D. 290°2. sin43°cos17°＋cos43°sin17°的值为 A. 21- B. 21 C. 23 D. 23- 3. 已知向量a ＝)1,(x ，b ＝),4(x ，若向量a 和b 方向相同，则实数x 的值是A. －2B. 2C. 0D. 58 4. 函数)3sin(π-=x y 的单调递增区间是 A. )](265,26[Z k k k ∈++-ππππ B. )](2611,265[Z k k k ∈++ππππ C. )](234,23[Z k k k ∈++ππππD. )](23,232[Z k k k ∈++-ππππ 5. 若直线过点（1，1），（2，31+），则此直线的倾斜角的大小为A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°6. 在等差数列}{n a 中，1091=+a a ，则5a 的值为A. 5B. 6C. 8D. 107. 如图所示，M 是△ABC 的边AB 的中点，若b a ==,，则CB ＝A. b a 2-B. b a -2C. b a 2+D. b a +28. 与直线012=+-y x 关于直线1=x 对称的直线的方程是A. 012=-+y xB. 012=-+y xC. 032=-+y xD. 032=-+y x9. 设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，已知23,233243-=-=a S a S ，则公比q 等于A. 3B. 4C. 5D. 610. 已知直线过点A （1，2），且原点到这条直线的距离为1，则这条直线的方程是A. 0543=+-y x 和1=xB. 0534=+-y x 和1=yC. 0543=+-y x 和1=yD. 0534=+-y x 和1=x11. 设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤≤+21y x y y x ，则y x z +=3的最大值为A. －8B. 3C. 5D. 712. 点),(y x P 是函数)25,21(sin 23)(⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=x x x f π图象上的点，已知点Q （2，0），O 为坐标原点，则⋅的取值范围为A. ]0,1[-B. ]2,1[-C. ]3,0[D. ]13,1[--二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分。

把答案填在题中横线上。

13. 如果21cos =α，且α为第四象限角，那么αtan 的值是__________。

14. 在△ABC 中，若===C AC BC ,2,2150°，则△ABC 的面积为__________。

15. 将函数x y 2sin =的图象向左平移)20(πϕϕ<<个单位，得到函数)12sin(+=x y 的图象，则ϕ的值是__________。

16. 102110813412211++++ ＝__________。

17. 已知点)0)(2,(>a a A 到直线03=+-y x 的距离为1，则=a __________。

18. 定义运算符号：“ ”，这个符号表示若干个数相乘，例如：可将1×2×3×…×n 记作∏=∈n i Nn i 1*)(，记 ni i n a T 1==，其中i a 为数列)}({*N n a n ∈中的第i 项。

①若23-=n a n ，则4T ＝__________；②若)(2*2N n n T n ∈=，则n a ＝__________。

三、解答题：本大题共5小题，共46分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

19. （9分）已知向量),2(),2,1(x b a -==。

（Ⅰ）当1-=x 时，求向量a 与b 的夹角的余弦值；（Ⅱ）当)4(b a a +⊥时，求｜b ｜。

20. （9分）设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为c b a ,,，且2,54cos ==b B 。

（Ⅰ）当A ＝30°时，求a 的值；（Ⅱ）当△ABC 的面积为3时，求c a +的值。

21. （9分）已知直线01:,03:21=--=-+y x l y x l 。

（Ⅰ）求过直线1l 与2l 的交点，且垂直于直线012:3=-+y x l 的直线方程； （Ⅱ）过原点O 有一条直线，它夹在1l 与2l 两条直线之间的线段恰被点O 平分，求这条直线的方程。

22. （10分）已知函数R x x x x x x f ∈-+=,2cos 21cos sin 32sin )(2。

（Ⅰ）求)(x f 的最小正周期和值域； （Ⅱ）若)20(00π≤≤x x 为)(x f 的一个零点，求02sin x 的值。

23. （9分）已知等差数列}{n a 中，公差0>d ，其前n 项和为n S ，且满足4542=⋅a a ，1451=+a a 。

（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式及其前n 项和n S ； （Ⅱ）令)(11*2N n a b n n ∈-=，若数列}{n c 满足)(,41*11N n b c c c n n n ∈=--=+。

求数列}{n c 的通项公式n c ； （Ⅲ）求)(9)(*N n c b n n f nn ∈-=的最小值。

【试题答案】一、选择题（每小题3分，共36分）二、填空题（每小题3分，共18分） 13. 3-； 14. 1； 15. 21； 16. 102156- 17. 12-；18. 280，⎪⎩⎪⎨⎧≥-==).2()1(),1(22n n n n a n20. （9分） （Ⅰ）因为54cos =B ，所以53sin =B 。

由正弦定理B b A a sin sin =，可得31030sin =︒a 。

所以35=a 。

（Ⅱ）因为△ABC 的面积53sin ,sin 21==B B ac S ， 所以10,3103==ac ac 。

由余弦定理B ac c a b cos 2222-+=， 得165842222-+=-+=c a ac c a ，即2022=+c a 。

所以40)(,202)(22=+=-+c a ac c a ，所以102=+c a 。

21. （Ⅰ）由⎩⎨⎧=--=-+01,03y x y x 得⎩⎨⎧==1.2y x∵所求的直线垂直于直线012:3=-+y x l ，∴所求直线的斜率为21， ∴所求直线的方程为02=-y x 。

4分 （Ⅱ）如果所求直线斜率不存在，则此直线方程为0=x ，不合题意。

所以设所求的直线方程为kx y =。

所以它与21,l l 的交点分别为)1,11(),13,13(k k k k k k --++。

由题意，得01113=-++kk 。

解得2=k 。

所以所求的直线方程为02=-y x 。

9分因为0>d ，所以 解方程组⎩⎨⎧==+.45,144242a a a a 得⎩⎨⎧==.9,542a a 所以.2,31==d a 所以12+=n a n 。

因为d n n na S n )1(211-+=，所以n n S n 22+=。

所以数列}{n a 的通项公式12+=n a n ，前n 项和公式n n S n 22+=。

4分 （Ⅱ）因为12),(11*2+=∈-=n a N n a b n n n ，所以)1(41+=n n b n 。

因为数列}{n c 满足)1(41,4111+=--=+n n c c c n n ， 所以)111(411nn c c n n --=-+， )111(411nn c c n n --=--， …，… )211(4112-=-c c ， 所以)1(4)111(4111+=+-=-+n n n c c n 。

因为411-=c ，所以)1(4)111(4111+=+-=-+n n n c c n ， 所以)1(411+-=+n c n 。

),1(*N n n ∈≥ 所以nc n 41-=。

6分 （Ⅲ）因为n c n n b c b n n f n n n n 41,)1(41,9)(-=+=-=，所以119)(++=n n n f 。

因为911191119)(-+++=++=n n n n n f ， 所以9111912911191-+⋅+≥-+++n n n n 。

所以959132)(=-≥n f ，当且仅当1191+=+n n ，即2=n 时等号成立。

所以 当2=n 时，)(n f 最小值为95。

9分。