2019北京市西城区高一（上）期末数学2019.1试卷满分：150分考试时间：120分钟A 卷[三角函数与平面向量]本卷满分：100分题号一二三本卷总分171819分数一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.2．函数π()sin()23x f x =+的最小正周期为（）（A）π（B）2π（C）4π（D）6π3．如果向量(0,1)=a ，(2,1)=-b ，那么2+=|a b |（）（A）6（B）5（C）4（D）34．πsin()2cos()αα-=-（）（A）tan α（B）tan α-（C）1（D）1-5．已知函数sin y x =和cos y x =在区间I 上都是减函数，那么区间I 可以是（）（A）π(0,)2（B）π(,π)2（C）3π(π,)2（D）3π(,2π)26．如图，在△ABC 中，D 是BC 上一点，则AB BC AD +-=（）（A）B D （B）D B（C）C D（D）D C8．设[0,2π)α∈，则使1sin 2α>成立的α的取值范围是（）（A）π2π(,)33（B）π5π(,)66（C）π4π(,)33（D）7π11π(,)669．已知函数111()sin()f x A x ωϕ=+，222()sin()g x A x ωϕ=+，其图象如下图所示．为得到函数()g x 的图象，只需先将函数()f x 图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再（A）向右平移π6个单位（B）向右平移π3个单位（C）向左平移π6个单位（D）向左平移π3个单位10．在△ABC 中，π2A =，2A B =，1A C =．D 是BC 边上的动点，则AD BC ⋅ 的取值范围是（）（A）[4,1]-（B）[1,4]（C）[1,4]-（D）[4,1]--二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.把答案填在题中横线上.11．若1cos 2θ=-，且θ为第三象限的角，则tan θ=______．12．已知向量(1,2)=a ．与向量a 共线的一个非零向量的坐标可以是______．13．如果πtan()0(0)3x x +=>，那么x 的最小值是______．14．如图，已知正方形ABCD ．若AD AB AC λμ−−→−−→−−→=+，其中λ，μ∈R ，则λμ=______．15．在直角坐标系xOy 中，已知点(3,3)A ，(5,1)B ，(2,1)P ，M 是坐标平面内的一点．①若四边形APBM 是平行四边形，则点M 的坐标为______；②若2PA PB PM −−→−−→−−→+=，则点M 的坐标为______．16．设函数π()sin()3f x x ω=+．若()f x 的图象关于直线6x π=对称，则ω的取值集合是_____.三、解答题：本大题共3小题，共36分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）已知(0,)2απ∈，且3sin 5α=．（Ⅰ）求πsin()4α-的值；（Ⅱ）求2πcos tan()24αα++的值．18．（本小题满分12分）函数()sin()f x A x ωϕ=+的部分图象如图所示，其中0,0,||πA ωϕ>><．（Ⅰ）求()f x 的解析式；（Ⅱ）求()f x 在区间[,]2ππ上的最大值和最小值；（Ⅲ）写出()f x 的单调递增区间．在直角坐标系xOy 中，已知点(1,0)A -，B ，(cos ,sin )C θθ，其中[0,]2θπ∈．（Ⅰ）求AC BC ⋅的最大值；（Ⅱ）是否存在[0,]2θπ∈，使得△ABC 为钝角三角形？若存在，求出θ的取值范围；若不存在，说明理由．B 卷[学期综合]本卷满分：50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上．1．若集合{|03}A x x =<<，{|12}B x x =-<<，则A B = _____．2．函数21()log f x x=的定义域为_____.3．已知三个实数123a =，b =，3log 2c =．将,,a b c 按从小到大排列为_____．4．里氏震级M 的计算公式为：0lg lg M A A =-，其中00.005A =是标准地震的振幅，A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅．在一次地震中，测震仪记录的地震曲线的最大振幅是500，则此次地震的里氏震级为_____级；8级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的_____倍．5．已知函数21,2,(),3.x x x c f x x c x -⎧+-⎪=⎨<⎪⎩≤≤≤若0c =，则()f x 的值域是____；若()f x 的值域是1[,2]4-，则实数c 的取值范围是_____．二、解答题：本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.6．（本小题满分10分）已知函数2()1xf x x =-．（Ⅰ）证明：()f x 是奇函数；（Ⅱ）判断函数()f x 在区间(1,1)-上的单调性，并用函数单调性的定义加以证明．题号一二本卷总分678分数已知函数2()f x ax x =+定义在区间[0,2]上，其中[2,0]a ∈-．（Ⅰ）若1a =-，求()f x 的最小值；（Ⅱ）求()f x 的最大值．8．（本小题满分10分）已知函数()f x 的定义域为D ．若对于任意12,x x D ∈，且12x x ≠，都有1212()()2(2x x f x f x f ++<，则称函数()f x 为“凸函数”．（Ⅰ）判断函数1()2f x x =与2()f x =（Ⅱ）若函数()2x f x a b =⋅+（,a b 为常数）是“凸函数”，求a 的取值范围；（Ⅲ）写出一个定义在1(,)2+∞上的“凸函数”()f x ，满足0()f x x <<．（只需写出结论）数学试题答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.D2.C3.B4.C5.B6.D7.D8.B9.A10.A二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.12.(2,4)（答案不唯一）13.2π314.1-15.(6,3)；(4,2)16.{|61,}k k ωω=+∈Z 注：第15题每空2分.三、解答题：本大题共3小题，共36分.17.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：因为π0,2α∈()，3sin 5α=，所以cos α……………………2分45=．……………………3分所以πsin()cos )42ααα-=-……………………5分210=．……………………6分（Ⅱ）解：因为3sin 5α=，4cos 5α=，所以sin tan cos ααα=……………………8分34=．……………………9分所以2π1cos 1tan cos tan()2421tan ααααα++++=+-……………………11分7910=．……………………12分18.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由图象可知3A =．……………………1分因为()f x 的最小正周期为66T 7ππ=-=π，所以2Tω2π==．……………………3分令262ϕππ⨯+=，解得6ϕπ=，适合||ϕ<π．所以π()3sin(26f x x =+．……………………5分（Ⅱ）解：因为[,]2x π∈π，所以π2[,]666x 7π13π+∈．……………………6分所以，当π13π266x +=，即πx =时，()f x 取得最大值32；……………………8分当π3π262x +=，即2π3x =时，()f x 取得最小值3-．……………………10分（Ⅲ）解：()f x 的单调递增区间为[,]36k k πππ-π+（k ∈Z ）．……………………12分19.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：(cos 1,sin )AC θθ=+ ，(cos ,sin BC θθ=．……………………2分所以(cos 1)cos sin (sin AC BC θθθθ⋅=+⋅+⋅……………………3分cos 1θθ=-+π2cos(13θ=++．……………………4分因为[0,]2θπ∈，所以π[,336θπ5π+∈．……………………5分所以当ππ33θ+=，即0θ=时，AC BC ⋅ 取得最大值2．……………………6分（Ⅱ）解：因为||2AB =，||AC =，||BC ==又[0,2θπ∈，所以sin [0,1]θ∈，cos [0,1]θ∈，所以||2AC ≤，||2BC ≤．所以若△ABC 为钝角三角形，则角C 是钝角，从而0CA CB ⋅<．………………8分由（Ⅰ）得π2cos()103θ++<，解得π1cos(32θ+<-．……………………9分所以π(,]336θ2π5π+∈，即(,32θππ∈．……………………11分反之，当(,32θππ∈时，0CA CB ⋅< ，又,,A B C 三点不共线，所以△ABC 为钝角三角形．综上，当且仅当(,32θππ∈时，△ABC 为钝角三角形．……………………12分B 卷[学期综合]满分50分一、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.1.{|13}x x -<< 2.{|01x x <<，或1}x > 3.c b a<<4.5；10005.1[,)4-+∞；1[,1]2注：第4题、第5题每空2分.二、解答题：本大题共3小题，共30分.6.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为{|1}D x x =≠±.……………………1分对于任意x D ∈，因为2()()()1xf x f x x --==---，……………………3分所以()f x 是奇函数．……………………4分（Ⅱ）解：函数2()1xf x x =-在区间(1,1)-上是减函数．……………………5分证明：在(1,1)-上任取1x ，2x ，且12x x <，……………………6分则1212211222221212(1)()()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x +--=-=----．……………………8分由1211x x -<<<，得1210x x +>，210x x ->，2110x -<，2210x -<，所以12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >.所以函数2()1xf x x =-在区间(1,1)-上是减函数.……………………10分7.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：当1a =-时，2211()()24f x x x x =-+=--+．……………………2分所以()f x 在区间1(0,2上单调递增，在1(,2)2上()f x 单调递减．因为(0)0f =，(2)2f =-，所以()f x 的最小值为2-．……………………4分（Ⅱ）解：①当0a =时，()f x x =．所以()f x 在区间[0,2]上单调递增，所以()f x 的最大值为(2)2f =．……………………5分当20a -<≤时，函数2()f x ax x =+图像的对称轴方程是12x a=-.………6分②当1022a <-≤，即124a --≤≤时，()f x 的最大值为11()24f a a-=-.………8分③当104a -<<时，()f x 在区间[0,2]上单调递增，所以()f x 的最大值为(2)42f a =+．……………………9分综上，当124a --≤≤时，()f x 的最大值为11()24f a a-=-；当104a -<≤时，()f x 的最大值为42a +．……………………10分8.（本小题满分10分）（Ⅰ）解：对于函数1()2f x x =，其定义域为R ．取120,1x x ==，有12()()(0)(1)2f x f x f f +=+=，1212()2(222x x f f +==，所以1212()()2()2x x f x f x f ++=，所以1()2f x x =不是“凸函数”．…………2分对于函数2()f x [0,)+∞．对于任意12,[0,)x x ∈+∞，且12x x ≠，由222221212[()()][2(02x x f x f x f ++-=-=-<，所以221212[()()][2()]2x x f x f x f ++<．因为12()()0f x f x +>，122(02x x f +>，所以1212()()2()2x x f x f x f ++<，所以2()f x 分（Ⅱ）解：函数()2x f x a b =⋅+的定义域为R ．对于任意12,x x ∈R ，且12x x ≠，1212()()2()2x x f x f x f ++-12122(2)(2)2(2)x x x x a b a b a b +=⋅++⋅+-⋅+……………………5分12122(2222)x x x x a +=+-⨯12222(22)x x a =-．……………………7分依题意，有12222(22)0x x a -<．因为12222(22)0x x ->，所以0a <．……………………8分（Ⅲ）1()()2f x x >．（注：答案不唯一）……………………10分。