1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假判断2.全称量词和存在量词3.全称命题和特称命题4.含有一个量词的命题的否定【知识拓展】1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p ∨q ：p 、q 中有一个为真，则p ∨q 为真，即有真为真； (2)p ∧q ：p 、q 中有一个为假，则p ∧q 为假，即有假即假； (3)綈p ：与p 的真假相反，即一真一假，真假相反． 2．含一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)命题p ∧q 为假命题，则命题p 、q 都是假命题．( × ) (2)命题p 和綈p 不可能都是真命题．( √ )(3)若命题p 、q 至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题．( √ ) (4)命题綈(p ∧q )是假命题，则命题p ，q 中至少有一个是真命题．( × ) (5)“长方形的对角线相等”是特称命题．( × )(6)命题“对顶角相等”的否定是“对顶角不相等”．( × )1．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．綈q 为假 C ．p ∧q 为假 D ．p ∨q 为真答案 C解析 函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故命题p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x 的对称轴，命题q 为假命题，故p ∧q 为假．故选C.2．已知命题p ，q ，“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 綈p 为真知p 为假，可得p ∧q 为假；反之，若p ∧q 为假，则可能是p 真q 假，从而綈p 为假，故“綈p 为真”是“p ∧q 为假”的充分不必要条件，故选A. 3．(教材改编)下列命题中， 为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，－x 2－1<0B ．∃x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1C ．∀x ∈R ，x 2－x ＋14>0D ．∃x 0∈R ，x 20＋2x 0＋2<0 答案 A4．(2017·西安调研)命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是( ) A ．全等三角形的面积不一定都相等 B ．不全等三角形的面积不一定都相等 C ．存在两个不全等三角形的面积相等 D ．存在两个全等三角形的面积不相等 答案 D解析 命题是省略量词的全称命题，易知选D.5．(2015·山东)若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 答案 1解析 ∵函数y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上是增函数， ∴y max ＝tan π4＝1.依题意，m ≥y max ，即m ≥1. ∴m 的最小值为1.题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断例1 (1)已知命题p ：对任意x ∈R ，总有2x >0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．(綈p )∧(綈q ) C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )(2)(2016·聊城模拟)若命题“p ∨q ”是真命题，“綈p 为真命题”，则( ) A ．p 真，q 真 B ．p 假，q 真 C ．p 真，q 假 D ．p 假，q 假答案 (1)D (2)B解析 (1)∵p 是真命题，q 是假命题，∴p ∧(綈q )是真命题．(2)∵綈p 为真命题，∴p 为假命题， 又p ∨q 为真命题，∴q 为真命题．思维升华 “p ∨q ”“p ∧q ”“綈p ”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式； (2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“綈p ”等形式命题的真假．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④答案 C解析 当x >y 时，－x <－y ，故命题p 为真命题，从而綈p 为假命题． 当x >y 时，x 2>y 2不一定成立，故命题q 为假命题，从而綈q 为真命题．由真值表知：①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③p ∧(綈q )为真命题；④(綈p )∨q 为假命题， 故选C.题型二 含有一个量词的命题 命题点1 全称命题、特称命题的真假例2 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2，p 2：∃(x ，y )∈D, x ＋2y ≥2，p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3，p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1. 其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2 D ．p 1，p 3答案 C解析 画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的可行域D 如图阴影部分所示，两直线交于点A (2，－1)，设直线l 0的方程为x ＋2y ＝0.由图象可知，∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥0，故p 1为真命题，p 2为真命题，p 3，p 4为假命题．命题点2 含一个量词的命题的否定例3 (1)命题“∃x 0∈R ，x 20－2x 0>0”的否定是( ) A ．∀x ∈R ，x 2－2x <0B ．∃x 0∈R ，x 20－2x 0≥0C ．∀x ∈R ，x 2－2x ≤0D ．∃x 0∈R ，x 20－2x 0<0(2)(2015·浙江)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )＞n B ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)＞n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)＞n 0 答案 (1)C (2)D解析 (1)将“∃”改为“∀”，对结论中的“>”进行否定，可知C 正确． (2)由全称命题与特称命题之间的互化关系知选D.思维升华 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内至少找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．(2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词． ②对原命题的结论进行否定．(1)下列命题是假命题的是( )A ．∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin βB ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃x 0∈R ，使x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0(a ，b ，c ∈R 且为常数)D ．∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点(2)(2017·福州质检)已知命题p ：“∃x 0∈R ，00e 10xx －－≤”，则綈p 为( ) A ．∃x 0∈R ，00e 10xx －－≥B ．∃x 0∈R ，00e 10x x －－C ．∀x ∈R ，e x －x －1>0D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0 答案 (1)B (2)C解析 (1)取α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，A 正确； 取φ＝π2时，函数f (x )＝sin(2x ＋π2)＝cos 2x 是偶函数，B 错误；对于三次函数y ＝f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，当x →－∞时，y →－∞，当x →＋∞时，y →＋∞，又f (x )在R 上为连续函数，故∃x 0∈R ，使x 30＋ax 20＋bx 0＋c ＝0，C 正确；当f (x )＝0时，ln 2x ＋ln x －a ＝0，则有a ＝ln 2x ＋ln x ＝(ln x ＋12)2－14≥－14，所以∀a >0，函数f (x )＝ln 2x ＋ln x －a 有零点，D 正确，综上可知选B.(2)根据全称命题与特称命题的否定关系，可得綈p 为“∀x ∈R ，e x －x －1>0”，故选C. 题型三 含参数命题中参数的取值范围例4 (1)已知命题p ：关于x 的方程x 2－ax ＋4＝0有实根；命题q ：关于x 的函数y ＝2x 2＋ax ＋4在[3，＋∞)上是增函数，若p ∧q 是真命题，则实数a 的取值范围是________________． (2)已知f (x )＝ln(x 2＋1)，g (x )＝(12)x －m ，若对∀x 1∈[0,3]，∃x 2∈[1,2]，使得f (x 1)≥g (x 2)，则实数m 的取值范围是( ) A ．[14，＋∞)B ．(－∞，14]C ．[12，＋∞)D ．(－∞，－12]答案 (1)[－12，－4]∪[4，＋∞) (2)A 解析 (1)若命题p 是真命题，则Δ＝a 2－16≥0， 即a ≤－4或a ≥4；若命题q 是真命题， 则－a4≤3，即a ≥－12.∵p ∧q 是真命题，∴p ，q 均为真， ∴a 的取值范围是[－12，－4]∪[4，＋∞)． (2)当x ∈[0,3]时，f (x )min ＝f (0)＝0，当x ∈[1,2]时， g (x )min ＝g (2)＝14－m ，由f (x )min ≥g (x )min ，得0≥14－m ，所以m ≥14，故选A.引申探究本例(2)中，若将“∃x 2∈[1,2]”改为“∀x 2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m 的取值范围是。