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A1 , A2 M 时 , 对一切 x [a, b] 都有

c
A2
A1
f ( x, y ) dy < .

(5)
证明：(充分性) 对每个 x, (3)式成立,这说明
f ( x, y ) dy 收敛, 从而
A1
f ( x, y ) dy 收敛,
A1

M
c
f ( x, y )dy
对参量 x 在[a, b] 上一致有界, 即存在正数 G ,
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对一切 M c 及一切 x [a, b] 都有 |
M c
f ( x, y )dy | M ;
(ii ) 对每一个 x [a, b], 函数 g g ( x, y ) 关于 y 是单调递减且当 y 时, 对参量 x , g ( x, y ) 一致地收敛于 0. 则含参量反常积分 一致收敛.
在(3)式中令 A2 得, | 故结论得证.
f ( x, y ) dy |
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例2
证明：若 z f ( x, y ) 在[a, b] [c, ) 上连续, 又


c
f ( x, y )dy
在[a, b) 上收敛 , 但在 x b 处发散, 则


A
sin xy dy y


Ax
sin u dy 0 . u
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sin xy 由于 dy 收敛, 对任意固定的 M 0, 0 y sin xy sin xy M 1 sin xy du M 1 y dy 0 y dy 0 y ( M 1) x sin u du : I ( x ), 0 u 则 I 在包含原点为左端点的某闭区间上连续, 于是
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§2 含参量反常积分
一、含参量反常积分及其一致收敛的定义 1. 含参量无穷反常积分及其一致收敛的定义
设二元函数 z f ( x, y ) 定义在无界区域 R {( x, y ) a x b ，c y } 上，若对每一个固定的 x a, b ， 反常积分 都收敛，则它的值是 x 在 a, b 上取值的函数，
f ( x, y ) dy f ( x, y ) dy | .
An1
An
f ( x, y ) dy |
Am
这就证明了级数 (6) 在[a, b] 上一致收敛.
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注: 当

c
f ( x, y )dy 和 un ( x) 中有一个一
n 1

致收敛时， 由 lim um ( x) lim
设 z f ( x, y ) 在区域 R [a, b] [c, d ) 上有定 义. 若对 x 的某些值 , y d 为函数 f 的瑕点, 则 称 f ( x, y )dy 为含参量 x 的无界函数反常积分,
c d
或简称为含参量反常积分.
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若对每一个 x [a, b], 无界函数的反常积分 I ( x ) f ( x, y )dy
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若
c
g ( y)dy 收敛, 则
c
f ( x, y )dy 在[a, b] 上一
致收敛.
狄利克雷判别法
设两个二元函数 f , g 定义在无界区域 R {( x, y ) a x b，c y } 上, 若 (i ) 对一切实数 M c ， 含参量正常积分
An
f ( x, y )dy un ( x)
n 1

(6)
在[a, b] 上一致收敛.
证明: (必要性)
由

c
f ( x, y)dy 在[a, b] 上
一致收敛, 故对 0, M M （） c, 当
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A A M 时, 对一切 x [a, b], 总有

对 0, 总存 x0 x0 ( M , ) 0 使得 | I ( x0 ) | , 即,


M 1
sin u sin x0 y du du , 0 y u
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亦即 于是


( M 1) x0
sin u sin u du du , 0 u u
sin u sin u sin u 0 u du 0 ( M 1) x0 u du 0 u du 0 . 1 sin u 为使上式最左边项为正, 现令 0 du , 则 2 0 u sin x y sin u 0 M 1 y dy ( M 1) x0 u du 2 0 0 0 . sin xy 所以 dy 在 (0, )内不一致收敛. 0 y


A
sin u du . u
M 由于 Ax A ，于是当 A M ， 即 A 时， 由(4) 有
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A
sin xy dy , y
所以 (3) 在 x 0 上一致收敛 . 现在证明 (3) 在 (0, )内不一致收敛. 由一 致收敛定义, 只要证明: 存在某一正数 0 , 使对任 何实数 M ( c), 总相应地存在某个 A M 及某个 x [a, b], 使得
（2 ）
对任给的正数 , 总存在某一实数 M M ( ) c, 使得当 G M 时, 对一切 x [a, b], 都有

G c
f ( x, y )dy I ( x ) ,
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即

M
c
f ( x, y )dy ,
则称含参量反常积分(1)在 [a, b]上一致收敛于 I ( x). 2. 含参量无界函数反常积分及其一致收敛的定义

A
A
f ( x, y )dy .
(7)
又由 An (n ) , 所以对正数 M , 存在正 整数 Am An M . 由(7), 对一切 x [a, b] 有 |u n ( x ) u m ( x ) | | |
Am1 Am An1
例3
证明含参量反常积分 cos xy 0 1 x 2 dx 在 ( , ) 上一致收敛.

(8)
cos xy 1 证明: 由于对任何实数 y 有 , | | , 2 2 1 x 1 x dx 而反常积分 收敛 , 故由 M 判别法 , 含参 2 0 1 x 量反常积分 (8) 在 ( , ) 上一致收敛.
c
f ( x, y )dy
在[a, b) 上不一致收敛.
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证明: 用反证法.
假设原积分在[a, b) 上一致收敛, 则对 0, M c, 当 A, A M 时对一切 x [a, b) 恒有

A
A
f ( x, y )dy .
A A
由假设 f 在[a, b] [ A, A] 上连续，所以 f ( x, y )dy 是 x 的连续函数 . 在上面不等式中令 x b , 得到当 A A M 时,

A
A
f (b, y )dy .
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而 是任给的，因此
c
f ( x, y )dy 在x b 处收
c
敛, 这与假设矛盾. 所以积分 [a, b) 上不一致收敛.
f ( x, y)dy 在
关于含参量反常积分一致收敛性与函数项级 数一致收敛之间的联系有下述定理. 定理19.8 设二元函数 z f ( x, y ) x, y )dy 在[a, b] 上
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阿贝尔判别法
设两个二元函数 f , g 定义在无界区域 R {( x, y ) a x b，c y } 上, 若 (i)


c
f ( x, y ) dy在[a, b] 上一致收敛;
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则称含参量无界函数反常积分 I ( x) 在[a, b] 上一 致收敛.
例1 证明含参量反常积分


0
sin xy dy y
(3)
在[ , ) 上一致收敛(其中 0), 但在 (0, )内不一致收敛.
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解： 作变量代换 u xy 得 sin xy sin u （4 ） A y dy Ax u du , sin u 其中 A 0. 由于 du 收敛 , 故对 0, 总 0 u 存在正数 M M ( ), 只要 A M 时就有
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二、一致收敛性的判别法 定理19.7 （一致收敛的柯西准则）
设二元函数 z f ( x, y ) 定义在无界区域 R {( x, y ) a x b ，c y } 上. 反常积分
c
f ( x, y )dy 在[a, b] 上一致收敛
的充要条件是 : 对任给正数 , 总存在某一实数 M M ( ) c, 使得当
m n 1 m m Am c
f ( x, y )dy
知


c
f ( x, y )dy un ( x)
n 1

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下面列出含参量反常积分的一致收敛性判别
法,
由于它们的证明与函数项级数相应的判别
法相仿，故从略. 魏尔斯特拉斯M判别法
设二元函数 z f ( x, y ) 定义在无界区域 R {( x, y ) a x b ，c y } 上, 函数 g g ( y ) 定义在[c, ) 上, f 和 g 满足下式 f ( x, y ) g ( y ) , a x b , c y .