期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A. {1，2，5，6}B. {1}C. {2}D. {1，2，3，4}2.与命题“若a∈M，则b∉M”的逆否命题是（）A. 若a∉M，则b∉MB. 若b∈M，则a∉MC. 若a∉M，则b∈MD. 若b∉M，则a∈M3.已知平面α，直线m，n满足m⊄α，n⊂α，则“m∥n”是“m∥α”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.若变量x，y满足约束条件，且z=3x+y的最大值为（）A. 5B. 6C. 7D. 85.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=x（x+1），那么f（-1）等于（）A. -2B. -1C. 0D. 26.函数y=x ln|x|的大致图象是（）A. B.C. D.7.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2-b2=bc，sin C=sin B，则A=（）.A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°8.已知函数，若对任意两个不相等的正数x1、x2，都有恒成立，则a的取值范围为（）A. [2，+∞）B. （4，+∞）C. （-∞，4]D. （-∞，4）9.如图，在底面为正三角形的棱台ABC-A1B1C1中，记锐二面角A1-AB-C的大小为α，锐二面角B1-BC-A的大小为β，锐二面角C1-AC-B的大小为γ，若α＞β＞γ，则（）A.B.C.D.10.已知椭圆与双曲线有相同的左、右焦点F1，F2，若点P是C1与C2在第一象限内的交点，且|F1F2|=4|PF2|，设C1与C2的离心率分别为e1，e2，则e2-e1的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，共21.0分）11.复数（i为虚数单位）的共轭复数=______，|z|=______．12.曲线的离心率为______，渐近线为______．13.已知某几何体的三视图如图，则这个几何体的体积是______，表面积是______．14.已知函数，则f（f（ln2））=______，不等式f（3-x2）＞f（2x）的解集为______．15.设曲线y=x n+1（n∈N*）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为x n，则x1•x2•…•x2019的值为______．16.抛物线y2=8x的焦点为F，设A（x1，y1）、B（x2，y2）是抛物线上的两个动点，若，则∠AFB的最大值为______．17.已知函数，则函数y=f（g（x））-a的零点最多有______个．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）18.已知函数．（1）求函f（x）的最小正周期和单调递增区间；（2）将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间上的值域．19.已知函数f（x）=ax2-4ax+1+b（a＞0）的定义域为[2，3]，值域为[1，4]；设g（x）=．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）若不等式g（2x）-k2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，求实数k的取值范围．20.如图，已知四棱椎E-ABCD，△EAD是以AD为斜边的直角三角形，AE=2，∠DAE=60°，BC∥AD，AB=BC=CD=AD，P是ED的中点．（1）求证CP∥平面ABE；（2）若CE=，求直线CP与平面AED所成的角．21.如图，椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点A（0，1），且离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若M点为右准线上一点，B为左顶点，连接BM交椭圆于N，求的取值范围；（3）经过点（1，1），且斜率为k的直线与椭圆E交于不同两点P，Q（均异于点A）证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．22.函数．（1）若f（x）是定义域上的单调函数，求a的取值范围；（2）设分别为函数f（x）的极大值和极小值，若s=m-n，求s的取值范围．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∁R B={1，5，6}；∴A∩（∁R B）={1，2}∩{1，5，6}={1}．故选：B．进行补集、交集的运算即可．考查全集、补集，及交集的概念，以及补集、交集的运算，列举法表示集合．2.【答案】B【解析】解：否定没有的条件作结论，否定命题的结论作条件，即可得到命题的逆否命题．命题“若a∈M，则b∉M”的逆否命题是：若b∈M，则a∉M．故选：B．直接利用四种命题是逆否关系写出结果即可．本题考查四种命题的逆否关系，基本知识的考查．3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查充分条件和必要条件的判断及线面平行的判定,属于基础题.根据线面平行的判定定理，可判断充分性，根据线面、线线的位置关系可判断必要性，从而可得答案.【解答】解：∵mα，nα，∴当m∥n时，m∥α成立，即充分性成立，当m∥α时，m∥n不一定成立，m，n也可能是异面直线，即必要性不成立，则“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件.故选A.4.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．属于基础题.作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，即可求最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=3x+y得y=-3x+z，平移直线y=-3x+z，由图象可知当直线y=-3x+z经过点C时，直线y=-3x+z的截距最大，此时z最大．由，解得x=2，y=-1，即C（2，-1），代入目标函数z=3x+y得z=3×2-1=5．即目标函数z=3x+y的最大值为5．故选：A．5.【答案】A【解析】解：根据题意，f（1）=1×（1+1）=2，又由f（x）为奇函数，则f（-1）=-f（1）=-2；故选：A．由函数在x＞0时的解析式可得f（1）的值，又由f（x）为奇函数，结合奇函数的性质，可得f（-1）=-f（1），即可得答案．本题考查函数的奇偶性性质的应用，是基础题，要灵活应用函数奇偶性的性质．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数图象的作法，函数图象问题就是考查函数性质的问题．容易看出，该函数是奇函数，所以排除B项，再原函数式化简，去掉绝对值符号转化为分段函数，再从研究x＞0时，特殊的函数值符号、极值点、单调性、零点等性质进行判断．【解答】解：令f（x）=x ln|x|，易知f（-x）=-x ln|-x|=-x ln|x|=-f（x），所以该函数是奇函数，排除选项B；又x＞0时，f（x）=x lnx，容易判断，当x→+∞时，x lnx→+∞，排除D选项；令f（x）=0，得x lnx=0，所以x=1，即x＞0时，函数图象与x轴只有一个交点，所以C 选项满足题意．故选：C．7.【答案】C【解析】【分析】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，属于一般题.已知第二个等式利用正弦定理化简用b表示出c，代入第一个等式表示出a，利用余弦定理表示出cos A，将表示出的a与c代入求出cos A的值，即可确定出A的度数．【解析】解：已知等式sin C=sin B，由正弦定理化简得：c=b，代入a2-b2=bc得：a2-b2=3b2，即a=2b，∴cos A===0，则A=90°，故选：C．8.【答案】A【解析】解：函数，定义域：（0，+∞）；若对任意两个不相等的正数：x1、x2，都有恒成立，则有：f（x1）-f（x2）＞4（x1-x2），∴f（x1）-4x1＞f（x2）-4x2，令：g（x）=f（x）-4x=ax2+a ln x-4x，有：g（x）=f（x）-4x=ax2+a ln x-4x，在（0，+∞）上单增，g′（x）=ax+-4≥0；在（0，+∞）上恒成立，也就是ax2-4x+a≥0恒成立，在（0，+∞）；即：a≥；x∈（0，+∞）；a≥（）max；x∈（0，+∞）；令h（x）=；x∈（0，+∞）；h′（x）=；函数h（x）在（0，1）上h′（x）＞0，h（x）单调递增，函数h（x）在（1，+∞）上h′（x）＜0，h（x）单调递减．h（1）max=2∴a≥（）max=2；故选：A．先确定g（x）=f（x）-4x=ax2+a ln x-4x，在（0，+∞）上单增，再利用导数，可得ax2-4x+a≥0恒成立，即可求出实数a的取值范围．本题考查函数单调性，考查导数知识的运用，确定g（x）=f（x）-4x=ax2+a ln x-4x，在（0，+∞）上单增是关键．属于难题．9.【答案】D【解析】【分析】本题考查三棱台中三条侧棱长的大小的求法，二面角，考查空间想象能力，属于中档题．利用二面角的定义，数形结合即可求出结果．【解答】解：在底面为正三角形的棱台ABC-A1B1C1中，棱台ABC-A1B1C1的侧棱延长交于P点，过P作在平面ABC上的射影H，设H到AB，BC，CA的距离分别为HC′，HA′，HB′，因为锐二面角A1-AB-C的大小为α，锐二面角B1-BC-A的大小为β，锐二面角C1-AC-B 的大小为γ，所以，∴，∵α＞β＞γ，∴tanα>tanβ>tanγ，则HB′>HA′>HC′，故H所在区域如图所示(D为的垂心)，比较AA1，BB1，CC1，即比较HA，HB，HC，由图可知HC>HA>HB，∴CC1>AA1>BB1．故选D．10.【答案】B【解析】【分析】本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的范围，考查换元法和构造函数法，考查运算能力，属于中档题．运用椭圆和双曲线的定义，以及离心率公式和范围，结合换元法和对勾函数的单调性，即可得到所求范围．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，由椭圆的定义可得m+n=2a1，由双曲线的定可得m-n=2a2，解得m=a1+a2，n=a1-a2，由|F1F2|=4|PF2|，可得n=c，即a1-a2=c，由e1=，e2=，可得-=，由0＜e1＜1，可得＞1，可得＞，即1＜e2＜2，则e2-e1=e2-=，可设2+e2=t（3＜t＜4），则==t+-4，由f（t）=t+-4在3＜t＜4递增，可得f（t）∈（，1）．故选：B．11.【答案】1-i【解析】解：∵=，∴，|z|=．故答案为：1-i；．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概念及复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念及复数模的求法，是基础题．12.【答案】y=±2x【解析】解：根据题意，双曲线，其焦点在x轴上，且a=1，b=2，则c==，则双曲线的离心率e==，其渐近线方程y=±2x；故答案为：，y=±2x．根据题意，由双曲线的标准方程分析其焦点位置以及a、b的值，计算可得c的值，由离心率公式以及渐近线方程计算可得答案．本题考查双曲线的几何性质以及标准方程，属于基础题．13.【答案】，【解析】【分析】本题考查了棱锥的三视图和体积计算，属于基础题．几何体为三棱锥，底面为等腰三角形，一侧面垂直底面，画出直观图，求解体积以及表面积即可．【解答】解：由三视图可知几何体是底面是等腰直角三角形，一侧面垂直底面的三棱锥，棱锥的高为1，如图：AO=OD=1，BO=OC=，DO⊥底面ABC，所以几何体的体积V==．表面积为：故答案为：；．14.【答案】{x|-3＜x＜1}【解析】解：f（ln2）=e ln2=2，所以f（f（ln2））=f（2）=，当x＜0时，f（x）=，则f'（x）=x2-x＜0，所以f（x）在（-∞，0）上递增，则f（x）＜f（0）=0 又当x≤0时，f（x）=e x，在[0，+∞）上单调递增，则f（x）≥f（0）=0，所以f（x）在R上单调递增，所以由f（3-x2）＞f（2x），得3-x2＞2x，所以-3＜x＜1，所以不等式的解集为：{x|-3＜x＜1}．故答案为：；{x|-3＜x＜1}．判断函数f（x）在R上的单调性，然后根据单调性解不等式即可．本题考查了函数求值，和不等式的解法，属基础题．15.【答案】【解析】解：因为y=x n+1，故y′=（n+1）x n，所以x=1时，y′=n+1，则直线方程为y-1=（n+1）（x-1），令y=0，则x=1-=，故切线与x轴的交点为（，0），则x1•x2•…•x2019=×××…×=．故答案为：．先求出其导函数，把x=1代入，求出切线的斜率，进而得到切线方程，找到切线与x轴的交点的横坐标的表达式，化简即可求出结论．本题主要考查导函数在求切线方程中的应用以及函数与数列的综合问题．在利用导函数求切线方程时，应知道切线的斜率为导函数在切点处的函数．16.【答案】【解析】解：∵|AB|，|AF|+|BF|=x1+x2+4，∴|AF|+|BF|=|AB|．在△AFB中，由余弦定理得：cos∠AFB===-1=．又|AF|+|BF|=|AB|≥2，∴|AF|•|BF|≤|AB|2．∴cos∠AFB≥=-，∴∠AFB的最大值为，故答案为：．利用余弦定理，结合基本不等式，即可求出∠AFB的最大值．本题考查抛物线的定义，考查余弦定理、基本不等式的运用，属于中档题．17.【答案】6【解析】解：分别作出函数的图象（如右），可得g（x）的值域为（-∞，-3]∪[1，+∞），由y=f（g（x））-a=0，可得a=f[g（x）]，可令t=g（x），即y=f（t），当log35＜a＜2时，-7＜t＜-1，或2＜t＜3或3＜t＜4，由y=g（x）的图象，可得t=g（x）的交点个数为6个，则函数y=f（g（x））-a的零点最多6个．故答案为：6．分别作出y=f（x）和y=g（x）的图象，求得g（x）的值域，通过f（x）的图象，考虑log35＜a＜2时，f（t）=a的t的范围，再求t=g（x）的x的个数，可得所求结论．本题考查分段函数的图象和运用，考查函数方程的转化思想和数形结合思想，属于中档题．18.【答案】解：（1）f（x）=cos x（sin x+cos x）+=cos x sinx+cos2x+=cos2x+1=，∴f（x）的周期T=，由+2kπ（k∈Z），得-+kπ（k∈Z），∴f（x）的单调增区间为；（2）函数f（x）的图象向右平移个单位后，得g（x）==，∵x∈，∴2x-，∴，∴g（x）∈，∴g（x）的值域为：．【解析】本题主要考查三角恒等变换，正弦函数的单调性，y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的单调性，得出结论；（2）根据y=A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，得到结果．19.【答案】解：（Ⅰ）∵函数f（x）=ax2-4ax+1+b（a＞0）其图象对称轴为直线x=2，函数的定义域为[2，3]，值域为[1，4]，∴，解得：a=3，b=12；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：f（x）=3x2-12x+13，g（x）==．若不等式g（2x）-k2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，则k≤（）2-2（）+1在x∈[1，2]上恒成立，2x∈[2，4]，∈[，]，当=，即x=1时，（）2-2（）+1取最小值，故k≤．【解析】本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查函数恒成立问题问题，考查数形结合与等价转化、函数与方程思想的综合应用，是中档题．（Ⅰ）根据函数f（x）=ax2-4ax+1+b（a＞0）的定义域为[2，3]，值域为[1，4]，其图象对称轴为直线x=2，且g（x）的最小值为1，最大值为4，列出方程可得实数a，b的值；（Ⅱ）若不等式g（2x）-k2x≥0在x∈[1，2]上恒成立，分离变量k，在x∈[1，2]上恒成立，进而得到实数k的取值范围．20.【答案】证明：（1）取AE中点G，连结PG，BG，∵BC∥AD，BC=AD，PG∥AD，PG=，∴BC∥PG，BC=PG，则四边形BCPG为平行四边形，则PC∥BG，∵BG⊂平面PAB，PC⊄平面PAB，∴CP∥平面ABE；解：（2）在等腰梯形ABCD中，过C作CO⊥AD，垂足为O，连接EO，PO，由已知可得OD=1，CD=2，则CO=，在△ODE中，由余弦定理求得，而CE=，∴OC2+OE2=CE2，即∠COE为直角，则OC⊥OE，由OC⊥AD，∴OC⊥平面AED，∴∠CPO为直线CP与平面AED所成的角，由OP=，∴tan，即∠CPO=60°．∴直线CP与平面AED所成的角为60°．【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了空间角的求法，是中档题．（1）取AE的中点F，连结PG，BG，推导出四边形BCPG为平行四边形，CP∥BG，则CP∥平面ABE；（2）在等腰梯形ABCD中，过C作CO⊥AD，垂足为O，求解三角形证明OC⊥底面AED，可得∠CPO为直线CP与平面AED所成的角，进一步求解三角形得答案．21.【答案】（1）解：由题意知，b=1，再由a2=b2+c2，解得，继而得椭圆的方程为；（2）解：由（1）知，椭圆右准线方程为x=2，设M点横坐标为x0，则==，∵-＜x0≤，∴．∴的取值范围是[，+∞）；（3）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1x2≠0由题设知，直线PQ的方程为y=k（x-1）+1（k≠0），代入，化简得（1+2k2）x2-4k（k-1）x+2k（k-2）=0，则，由已知△＞0，从而直线AP与AQ的斜率之和=2k+（2-k）=2k-2（k-1）=2．即有直线AP与AQ斜率之和为2．【解析】（1）运用离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，进而得到椭圆方程；（2）设P点横坐标为x0，则==，由-＜x0≤，可得的取值范围；（3）由题意设直线PQ的方程为y=k（x-1）+1（k≠0），代入椭圆方程+y2=1，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简计算即可得到结论．本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理求解．考查直线的斜率公式，属于中档题．22.【答案】解：（1）函数．定义域为（0，+∞），∴f′（x）=a+-=，∵函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调函数，∴f'（x）≤0或f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立，①当a=0时，f′（x）=-＜0在（0，+∞）内恒成立，∴a=0满足题意；②当a＞0时，设g（x）=ax2-2x+a（x∈（0，+∞））由题意知△=4-4a2≤0∴a≤-1或a≥1又∵a＞0，∴a≥1，所以a的取值范围为：a=0或a≥1，（2）由导函数的ax2-2x+a，得△＞0得4-4a2＞0，即-1＜a＜1且＜a＜1，得＜a＜1，此时设f'（x）=0的两根为x1，x2，（x1＜x2），所以m=f（x1），n=f（x2），因为x1x2=1，所以x1＜1＜x2，由＜a＜1，且ax12-2x1+a=0，得＜x1＜1，所以s=m-n=ax1--2ln x1-（ax2--2ln x2）=ax1--2ln x1-（-ax1+2ln x1）=2（ax1--2ln x1），由ax12-2x1+a=0，得a=，代入上式得，s=4（-ln x1）=4（-ln x12），令x12=t，所以＜t＜1，g（x）=-ln x，则s=4g（t），g′（t）=＜0，所以g（x）在[，1]上单调递减，从而g（1）＜g（t）＜g（），即0＜g（t）＜，所以0＜s＜．s的取值范围是0＜s＜．【解析】（1）求出函数导数，令它大于等于0和小于等于0，其在定义域上恒成立，分类讨论a即可得到啊的范围，注意定义域；（2）设f'（x）=0的两根为x1，x2，（x1＜x2），所以m=f（x1），n=f（x2），因为x1x2=1，所以x1＜1＜x2，由＜a＜1，且ax12-2x1+a=0，得＜x1＜1，所以s=m-n=ax1--2ln x1-（ax2--2ln x2）=ax1--2ln x1-（-ax1+2ln x1）=2（ax1--2ln x1），由ax12-2x1+a=0，得a=，代入上式得，g（x）=-ln x，求导数，应用单调性，即可得到S的范围．本题考查导数的综合应用：求单调区间和求极值，考查二次方程的两根的关系，构造函数应用导数判断单调性，是一道综合题．。