∫∫ Pdydz+Qdzdx +Rdxdy
Σ
=∫∫ Pdydz +Qdzdx + Rdxdy+∫∫ Pdydz +Qdzdx + Rdxdy .
Σ1 Σ2
(2)设Σ是有向曲面, Σ表示与Σ取相反侧的有向曲面, 则
∫∫ Pdydz+Qdzdx +Rdxdy =∫∫ Pdydz+Qdzdx +Rdxdy .
首页
上页
返回
下页
结束
铃
流向曲面一侧的流量 设稳定流动的不可压缩流体的速度场由 v(x, y, z)=(P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z)) 给出, Σ是速度场中的一片有向曲面, 函数v(x, y, z)在Σ上连续, 求在单位时间内流向Σ指定侧的流体的质量, 即流量Φ. 把曲面Σ分成n小块: S1, S2, , Sn(Si也代表曲面面积); 在Si上任取一点(ξi, ηi, ζi ); 通过Σ流向指定侧的流量Φ近似为:
∑vi niSi ; >>>
i=1
n
提示: 通过Si流向指定侧的流量近似为: viniSi ; >>>
相关知识 首页 上页 返回 下页 结束 铃
流向曲面一侧的流量 设稳定流动的不可压缩流体的速度场由 v(x, y, z)=(P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z)) 给出, Σ是速度场中的一片有向曲面, 函数v(x, y, z)在Σ上连续, 求在单位时间内流向Σ指定侧的流体的质量, 即流量Φ. 把曲面Σ分成n小块: S1, S2, , Sn(Si也代表曲面面积); 在Si上任取一点(ξi, ηi, ζi ); 通过Σ流向指定侧的流量Φ近似为:
n
对坐标的曲面积分的定义 函数R(x, y, z)在有向曲面Σ上对坐标x、y的曲面积分:
lim ∫∫ R(x, y, z)dxdy =λ→0∑R(ξi,ηi,ζi)(Si)xy . i=1
Σ
n
类似地, 可定义对坐标y、z的曲面积分和对坐标z、x的曲 面积分.
首页
上页
返回
下页
结束
铃
对坐标的曲面积分的定义 函数R(x, y, z)在有向曲面Σ上对坐标x、y的曲面积分:
首页 上页 返回 下页 结束 铃
例 3 计算曲面 积分∫∫ (z2 + x)dydz zdxdy, 其 中Σ 是曲面
Σ
z = 1 (x2 + y2) 介于平面 z=0 及 z=2 之间的部分的下侧. 2 解 由两类曲面积分之间的关系, 可得
(z2 +x)dydzzdxdy= ∫∫ [(z2 +x)cosα+zcosγ ]dS ∫∫
Σ Σ
首页
上页
返回
下页
结束
铃
二、对坐标的曲面积分的计算法
设积分曲面Σ由方程z=z(x, y)给出的, Σ在xOy面上的投影 区域为Dxy , 函数z=z(x, y)在Dxy上具有一阶连续偏导数, 被积函 数R(x, y, z)在Σ上连续, 则有
∫∫R(x, y, z)dxdy=± ∫∫ R[x, y, z(x, y)]dxdy, >>>
lim ∫∫Q(x, y, z)dzdx =λ→0∑Q(ξi,ηi,ζi)(Si)zx . i=1
Σ
n
上述曲面积分也称为第二类曲面积分, 其中 P、Q、R叫 做被积函数, Σ叫做积分曲面.
首页 上页 返回 下页 结束 铃
对坐标的曲面积分的简写形式 在应用上出现较多的是
∫∫ P(x, y, z)dydz+∫∫Q(x, y, z)dzdx+∫∫ R(x, y, z)dxdy ,
Σ
x2dydz = ∫∫ x2dydz +∫∫ x2dydz = ∫∫ a2dydz ∫∫ 0dydz ∫∫
Σ Σ3 Σ4
Dyz Dyz
=a2bc. 类似地可得
y2dzdx =b2ac , ∫∫
Σ
z2dxdy=c2ab . ∫∫
Σ
于是所求曲面积分为(a+b+c)abc.
首页 上页 返回 下页 结束 铃
例 2 计算曲面积分∫∫ xyzdxdy, 其中Σ 是球面 x2+y2+z2=1
外侧在x≥0, y≥0的部分. 解 把有向曲面Σ分成上下两部分:
Σ
Σ1: z = 1x2 y2 (x≥0, y≥0)的上侧,
Σ2 : z = 1x2 y2 (x≥0, y≥0)的下侧.
Σ1和Σ2在xOy面上的投影区域都是 Dxy : x2+y2≤1(x≥0, y≥0).
Σ Σ
首页
上页
返回
下页
结束
铃
三、两类曲面积分之间的联系
设cosα、cosβ、cosγ是有向曲面Σ上点(x, y, z)处的法向量 的方向余弦, 则
∫∫ Pdydz+Qdzdx+Rdxdy = ∫∫(Pcosα +Qcosβ +Rcosγ )dS .
Σ Σ
两类曲面积分之间的联系也可写成如下向量的形式:
≈∑ P(ξi,ηi,ζi)(Si)yz +Q(ξi,ηi,ζi)(Si)zx +R(ξi,ηi,ζi)(Si)xy] ; [
在上述和中, 令各小曲面直径中的最大值λ→0, 就得到流量Φ 的精确值.
首页 上页 返回 下页 结束 铃
n
i=1
对坐标的曲面积分的定义 设Σ为光滑的有向曲面, 函数R(x, y, z)在Σ上有界. 把Σ任意分成n块小曲面: S1, S2, , Sn(Si也代表曲 面面积), Si在xOy面上的投影为(Si)xy, (ξi, ηi, ζi )是Si上任意 取定的一点. 如果当各小块曲面的直径的最大值λ→0时, 极限
λ→0i=1
lim ∑R(ξi,ηi,ζi)(Si)xy
n
总存在, 则称此极限为函数R(x, y, z)在有向曲面Σ上对坐标x、
y的 曲面积分, 记作∫∫ R(x, y, z)dxdy , 即
Σ
lim ∫∫ R(x, y, z)dxdy =λ→0∑R(ξi,ηi,ζi)(Si)xy . i=1
Σ
首页 上页 返回 下页 结束 铃
首页
上页
返回
下页
结束
铃
一、对坐标的曲面积分的概念与性质
有向曲面 通常我们遇到的曲面都是双侧的. 例如, 由方程z=z(x, y)表示的曲面分为上侧与下侧. 设n=(cosα, cosβ, cosγ)为曲面上的法向量. 当cosγ>0时, n所指的一侧是上侧; 当cosγ<0时, n所指的 一侧是下侧. . 类似地, 如果曲面的方程为y=y(z, x), 则曲面分为左侧与 右侧, 在曲面的右侧cosβ>0, 在曲面的左侧cosβ<0. 如果曲面的方程为x=x(y, z), 则曲面分为前侧与后侧, 在 曲面的前侧cosα>0, 在曲面的后侧cosα<0. 闭曲面有内侧与外侧之分.
首页
上页
返回
下页
结束
铃
例 3 计算曲面 积分∫∫ (z2 + x)dydz zdxdy, 其 中Σ 是曲面
Σ
z = 1 (x2 + y2) 介于平面 z=0 及 z=2 之间的部分的下侧. 2 解 由两类曲面积分之间的关系, 可得
(z2 +x)dydzzdxdy= ∫∫ [(z2 +x)cosα+zcosγ ]dS ∫∫
于是
∫∫ xyzdxdy=∫∫ xyzdxdy+∫∫ xyzdxdy
Σ Σ1 Σ2
= ∫∫ xy 1x2 y2dxdy ∫∫ xy( 1x2 y2 )dxdy = 2 .>>> dxdy 15
Dxy Dxy
首页 上页 返回 下页 结束 铃
三、两类曲面积分之间的联系
设cosα、cosβ、cosγ是有向曲面Σ上点(x, y, z)处的法向量 的方向余弦, 则
§10.5 对坐标的曲面积分
一、对坐标的曲面积分的概念与性质 二、对坐标的曲面积分的计算法 三、两类曲面积分之间的联系
首页
上页
返回
下页
结束
铃
一、对坐标的曲面积分的概念与性质
有向曲面 通常我们遇到的曲面都是双侧的. 例如, 由方程z=z(x, y)表示的曲面分为上侧与下侧. 设n=(cosα, cosβ, cosγ)为曲面上的法向量. 当cosγ>0时, n所指的一侧是上侧; 当cosγ< <0时, n所指的一侧是下侧. , .
Σ Dxy
其中当Σ取上侧时, 积分前取“+”; 当Σ取下侧时, 积分前取 “”. 讨论: >>> 如何把其它两个对坐标的曲面积分化为二重积分？ 应注意的问题: (1)曲面Σ用什么方程表示; (3)曲面Σ取哪一侧.
首页 上页 返回
(2)向哪个坐标面投影; (4)积分前取什么符号.
下页 结束 铃
例 1 计算曲面积分∫∫ x2dydz + y2dzdx+ z2dxdy , 其中Σ 是长
∫∫ AdS = ∫∫ AndS ,
Σ Σ
或∫∫ AdS = ∫∫ A dS , n
Σ Σ
其中A=(P, Q, R), n=(cosα, cosβ, cosγ)是有向曲面Σ上点(x, y, z) 处的单位法向量, dS=ndS=(dydz, dzdx, dxdy)称为有向曲面元, An为向量A在向量n上的投影.
首页 上页 返回 下页 结束 铃
曲面在坐标面上的投影 在有向曲面Σ上取一小块曲面S, 用(σ)xy 表示S在xOy 面上的投影区域的面积. 假定S上各点处的法向量与z轴的夹 角γ的余弦cosγ有相同的符号(即cosγ都是正的或都是负的). 我们规定S在xOy面上的投影(S)xy为