y
lim
0
i 1
∵ 取上侧, (Si )xy ( i )xy
i z(i , i )
n
lim
0
i 1
R(i ,i ,
) ( i )xy
Dxy R(x, y, z(x,y)) d x d y
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说明: 如果积分曲面 取下侧, 则
R(x, y, z) d x d y Dxy R(x, y, z(x, y))d x d y
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2:有向曲面对坐标轴的投影
• 设 为有向曲面, 其面元 S 在 xoy 面上的投影记为
(S )xy , (S)xy
的面积为
则规定
( )xy , 当cos 0时 ( )xy , 当cos 0时0,当cos 0时
注: 由投影的定义有 (S)x y cos dS
,i
,
i
)
cosi Q(i ,i , i R(i ,i , i )
) cos
cos
i
i Si
n
lim 0 i1
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2. 定义 设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个 .
向量场 A (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)), 若对 的任
流体的速度场为
单位时间流过有向曲面 的流量
P d y d z 表示方向平行x－轴正向（即垂直YOZ面）
速度为
流体单位时间流过有向曲面 的流量．
R d x d y 表示方向平行z－轴正向（即垂直XOY面）
速度为
流体单位时间流过有向曲面 的流量．
速度为
表示方向平行y－轴正向（即垂直XOZ面）
第五节
第十章
对坐标的曲面积分
一、有向曲面及曲面元素的投影 二、 对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系
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一、有向曲面及曲面元素的投影
双侧曲面 (一) 曲面分类
单侧曲面
曲面分内侧和 外侧
莫比乌斯带 (单侧曲面的典型)
曲面分左侧和 右侧
Z-轴来看有上下之分; 故曲面的向从X-轴来看有前后之分; Y-轴来看有左右之分; Z-轴来看有上下之分; 故
法向量 侧的规定
Fx (cos ) Fy (cos ) Fz (cos ) 封闭曲面
> 0 为前侧 > 0 为右侧 > 0 为上侧 外侧 < 0 为后侧 < 0 为左侧 < 0 为下侧 内侧
曲面分上侧和 下侧
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(二)双侧曲面的定向
1:有(定)向曲面定义
•指定了侧的曲面叫有(定)向曲面其方向用法向量指向表示. ,
注:对于非定向曲面在一点的法向量可以取两个方向(它们 方向相反) 但对于定向曲面只能其中一个方向. 对于一个向量
从X-轴来看有前后之分;Y-轴来看有左右之分;
流体单位时间流过有向曲面 的流量．
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(2)故
Pd y d z Qd z d x Rdx d y
P d y d z
R d x d y
故计算 Pdy d z Qd z d x Rdx dy 只需要分别计算 P d y d z R d x d y
（３）注意和对面积曲面积分定义的异同．
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3. 性质
(1) 若
之间无公共内点, 则
A d S
i A d S
(2) 用ˉ 表示 的反向曲面, 则
(３)若曲面垂直于坐标面XOY(YOZ或XOZ）即投影为零
则 R d x d y 0 ( P d y d z 0, Q d z d x 0)
（４）线性性 例 [kR1(x, y, z) lR2(x, y, z)]d x d y
P d y d z 称为P 在有向曲面上对 y, z 的曲面积分; 称为Q 在有向曲面上对 z, x 的曲面积分;
R d x d y 称为R 在有向曲面上对 x, y 的曲面积分.
若记 正侧的单位法向量为 n ( cos , cos , cos )
令 d S n d S (d yd z, d zd x, d x d y) A (P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z) )
意分割和在局部面元上任意取点, 下列极限都存在 n
i1 Q(i ,i , i )(Si )zx
则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积
分, 或第二类曲面积分. 记作
Pdy d z Qd z d x Rdx dy
P, Q, R 叫做被积函数; 叫做积分曲面.
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•若
则有
P(x,
y,
z)d
ydz
Dyz
P(x( y,
z)
,
y, z) d y d z
(前正后负)
k R1(x, y, z)dxdy l R2(x, y, z)]d x d y
注：不满足对称性
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三、对坐标的曲面积分的计算法
定理: 设光滑曲面 是 上的连续函数, 则
取上侧,
R(x,
y, z)d
xd
y
D xy
R(x,
n
y,
z(x,
y))
d
xd
y
证:
R(x, y, z) d x d
则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式
P d y d z Q d z d x R d x d y A nd S A d S
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注： （１）由对坐标的曲面积分的定义可知道对坐标的
曲面积分有其物理意义：
Pdy d z Qd z d x Rdx dy 表示稳定流动的不可压缩
类似可规定 (S) yz , (S)zx
类似的有
(S)yz cosdS
(S)zx cos dS
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二、 对坐标的曲面积分的概念与性质
1. 引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为
求单位时间流过有向曲面 的流量 .
分析: 若 是面积为S 的平面,
n
v
单位法向量:
流速为常向量: 则流量
S
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对一般的有向曲面 ,对稳定流动的不可压缩流体的
速度场
用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限”
ni vi
n
进行分析可得
lim
0 i1
vi
ni Si
设 ni (cosi , cos i , cos i ), 则
n
lim
0
i 1
P(i