专项二 高考用到的函数图像总结高考中用到的函数图像是指：一次函数图像、反比例函数图像、二次函数图像、幂函数图像（五种）、对勾（也称对号）函数图像、指数函数图像、对数函数图像、简单的三角函数图像、简单的三次函数图像一、一次函数图像（1）函数)0(≠+=k b kx y 叫做一次函数，它的定义域是R ，值域是R ； （2）一次函数的图象是直线，这条直线不能竖直，所以一次函数又叫线性函数；（3）一次函数)0(≠+=k b kx y 中，k 叫直线的斜率，b 叫直线在y 轴上的截距； 0>k 时，函数是增函数，0<k 时，函数是减函数；注意截距不是距离的意思，截距是一个可正可负可为零的常数 （4）0=b 时该函数是奇函数且为正比例函数，直线过原点；0≠b 时，它既不是奇函数，也不是偶函数； （5）作一次函数图像时，一般先找到在坐标轴上的两个点，然后连线即可 二、反比例函数图像 （一）反比例函数的概念1．（）可以写成（）的形式，注意自变量x 的指数为，在解决有关自变量指数问题时应特别注意系数这一限制条件；2．（）也可以写成xy=k 的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k ，从而得到反比例函数的解析式；3．反比例函数的自变量，故函数图象与x 轴、y 轴无交点．（二）反比例函数及其图象的性质函数解析式：（），自变量的取值范围：越大，图象的弯曲度越小，曲线越平直．图像越远离坐标轴越小，图象的弯曲度越大．图像越靠近坐标轴 当时，图象的两支分别位于一、三象限；在每个象限内，y 随x 的增大而减小； 当时，图象的两支分别位于二、四象限；在每个象限内，y 随x 的增大而增大．（3）对称性：图象关于原点对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）在双曲线的另一支上．图象关于直线对称，即若（a ，b ）在双曲线的一支上，则（，）和（，）在双曲线的另一支上． 4．k 的几何意义如图1，设点P （a ，b ）是双曲线上任意一点，作PA ⊥x 轴于A 点，PB ⊥y 轴于B 点，则矩形PBOA的面积是（三角形PAO 和三角形PBO 的面积都是）．如图2，由双曲线的对称性可知，P 关于原点的对称点Q 也在双曲线上，作QC ⊥PA 的延长线于C ，则有三角形PQC 的面积为．图1 图2 三、二次函数图像(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ②顶点式：f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)． ③零点式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)． (2)二次函数的图象和性质解析式f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)图象定义域 (－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞ ⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a单调性在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递减； 在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递增 在x ∈⎝⎛⎦⎤－∞，－b2a 上单调递增； 在x ∈⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上单调递减 对称性函数的图象关于x ＝－b2a对称（2的交点位置、顶点所在位置，而不能随手一条曲线，就当做二次函数的图像了。

四、幂函数图像(1)定义：形如y ＝x α (α∈R )的函数称为幂函数，其中α是常数． (2)幂函数的图象比较(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②幂函数的图象过定点(1,1)；③当α>0时，幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0)，且在(0，＋∞)上单调递增；④当α<0时，幂函数的图象都过点(1,1)，且在(0，＋∞)上单调递减．五、对勾函数图像六、指数函数图像y＝a x a>10<a<1图象定义域(1)R值域(2)(0，＋∞)性质(3)过定点(0,1)(4)当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1(5)当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数七、对数函数图像（1）．对数的概念一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1).（2）．对数log a N(a>0，a≠1)具有下列性质(1)N >0；(2)log a 1＝0；(3)log a a ＝ 1. （3）．对数运算法则 (1)log a (MN )＝log a M ＋log a N . (2)log a MN ＝log a M －log a N .(3)log a M α＝αlog a M . （4）．对数的重要公式 (1)对数恒等式：log a Na＝N .(2)换底公式：log b N ＝log a N log a b .（5）．对数函数的图象与性质a >10<a <1图象性质 (1)定义域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)过定点(1,0)，即x ＝1时，y ＝0(4)当x >1时，y >0；当0<x <1时，y <0 (5)当x >1时，y <0；当0<x <1时，y >0(6)在(0，＋∞)上是增函数(7)在(0，＋∞)上是减函数（指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线__y ＝x __对称． 八、常见函数图像一览【习题巩固】【1】．若关于x 的方程x 2＋mx ＋14＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D ．(－2,2)答案 B解析 ∵方程x 2＋mx ＋14＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝m 2－4×14×1>0，即m 2>1，解得m <－1或m >1，故选B.【2】．已知函数f (x )＝ax 2＋x ＋5的图象在x 轴上方，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫0，120 B.⎝⎛⎭⎫－∞，－120 C.⎝⎛⎭⎫120，＋∞ D.⎝⎛⎭⎫－120，0 答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，1－20a <0，得a >120.【3】．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围为________． 答案 [1,2]解析 如图，由图象可知m 的取值范围是[1,2]．【4】．(教材改编)已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫2，22，则此函数的解析式为________；在区间________上递减． 答案 y ＝12x- (0，＋∞)【5】 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式． 解 方法一 (利用一般式) 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 方法二 (利用顶点式) 设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)，∴抛物线的图象的对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12.∴m ＝12.又根据题意函数有最大值8，∴n ＝8，∴y ＝f (x )＝a ⎝⎛⎭⎫x －122＋8. ∵f (2)＝－1，∴a ⎝⎛⎭⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4， ∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7. 方法三 (利用零点式)由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数的最大值是8，即4a (－2a －1)－(－a )24a ＝8.解得a ＝－4，∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 【小小总结】求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，运用所给出的条件，根据二次函数的性质进行求解．【6】二次函数的图象过点(0,1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式是_____________ 答案 (1)f (x )＝12x 2－2x ＋1 依题意可设f (x )＝a (x －2)2－1，又其图象过点(0,1)，∴4a －1＝1，∴a ＝12. ∴f (x )＝12(x －2)2－1. ∴f (x )＝12x 2－2x ＋1.【7】若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.解析：－2x 2＋4 由f (x )是偶函数知f (x )图象关于y 轴对称， ∴b ＝－2，∴f (x )＝－2x 2＋2a 2， 又f (x )的值域为(－∞，4]， ∴2a 2＝4， 故f (x )＝－2x 2＋4.【8】 已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]，(1)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (2)当a ＝－1时，求f (|x |)的单调区间．解 (1)函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3的图象的对称轴为x ＝－2a2＝－a ， ∴要使f (x )在[－4,6]上为单调函数，只需－a ≤－4或－a ≥6，解得a ≥4或a ≤－6. 故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞)． (2)当a ＝－1时，f (|x |)＝x 2－2|x |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2，x ≤0，x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，x >0， 其图象如图所示．又∵x ∈[－4,6]，∴f (|x |)在区间[－4，－1)和[0,1)上为减函数，在区间[－1,0)和[1,6]上为增函数． 【9】 已知函数f (x )＝x 2－2x ，若x ∈[－2,3]，则函数f (x )的最大值为________. 答案 8解析 f (x )＝(x －1)2－1，∵－2≤x ≤3(如图)，∴[f (x )]max ＝f (－2)＝8.【10】已知函数f (x )＝x 2－2x ，若x ∈[－2，a ]，求f (x )的最小值． 解 ∵函数y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1， ∴对称轴为直线x ＝1，∵x ＝1不一定在区间[－2，a ]内，∴应进行讨论，当－2<a ≤1时，函数在[－2，a ]上单调递减，则当x ＝a 时，y 取得最小值，即y min ＝a 2－2a ；当a >1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a ]上单调递增，则当x ＝1时，y 取得最小值，即y min ＝－1.综上，当－2<a ≤1时，y min ＝a 2－2a ， 当a >1时，y min ＝－1.【11】设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________． 答案 (1)⎝⎛⎭⎫12，＋∞ (1)由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝⎛⎭⎫1x －122＋12，14<1x <1， ∴⎝⎛⎭⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12. 【12】.已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3在x ∈[－1,1]上恒小于零，则实数a 的取值范围为________． ⎝⎛⎭⎫－∞，12 解析 2ax 2＋2x －3<0在[－1,1]上恒成立． 当x ＝0时，适合；当x ≠0时，a <32⎝⎛⎭⎫1x －132－16，因为1x ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x ＝1时，右边取最小值12，所以a <12. 综上，实数a 的取值范围是 ⎝⎛⎭⎫－∞，12. 【小小总结】 (1)二次函数最值问题解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成． (2)由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键①一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数直接求最值．②两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离．这两个思路的依据是：a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ，a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .[【13】已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈[－5,5]．(1)当a ＝－1时，求函数f (x )的最大值和最小值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数．解 (1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[－5,5]，所以当x ＝1时，f (x )取得最小值1；当x ＝－5时，f (x )取得最大值37.(2)函数f (x )＝(x ＋a )2＋2－a 2的图象的对称轴为直线x ＝－a ，因为y ＝f (x )在区间[－5,5]上是单调函数，所以－a ≤－5或－a ≥5，即a ≤－5或a ≥5.故a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)．【14】函数f (x )＝a x－b 的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( ) A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0解析由f (x )＝a x －b 的图象可以观察出，函数f (x )＝a x －b 在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x －b 的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0，故选D.【15】下列各式比较大小正确的是( )A ．1.72.5>1.73B ．0.6－1>0.62C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3<0.93.1答案 B A 中， ∵函数y ＝1.7x 在R 上是增函数，2．5<3，∴1.72.5<1.73，错误； B 中，∵y ＝0.6x 在R 上是减函数，－1<2，∴0.6－1>0.62，正确； C 中，∵(0.8)－1＝1.25，∴问题转化为比较1.250.1与1.250.2的大小． ∵y ＝1.25x 在R 上是增函数，0.1<0.2，∴1.250.1<1.250.2，即0.8－0.1<1.250.2，错误； D 中，∵1.70.3>1,0<0.93.1<1，∴1.70.3>0.93.1，错误．故选B.【16】设a ＝2535⎛⎫⎪⎝⎭，b ＝3525⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝2525⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系是________． 解析：a >c >b ∵y ＝⎝⎛⎭⎫25x 为减函数，∴⎝⎛⎭⎫2535<⎝⎛⎭⎫2525即b <c ， 又a c ＝25253525⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭＝⎝⎛⎭⎫3225>⎝⎛⎭⎫320＝1，∴a >c ，故a >c >b .【17】．函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图象必经过点( )A ．(0,1)B ．(1,1)C ．(2,0)D ．(2,2)答案 D解析 ∵a 0＝1，∴f (2)＝2，故f (x )的图象必过点(2,2)．【18】．关于x 的方程⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＝2＋3a 5－a 有负数根，则实数a 的取值范围为__________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，34解析 由题意，得x <0，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫32x<1，从而0<2＋3a5－a <1，解得－23<a <34.【19】．已知a ＝123，b ＝13log 12，c ＝log 213，则( )A ．a >b >cB ．b >c >aC ．c >b >aD ．b >a >c答案 A解析 a ＝3>1,0<b ＝13log 12＝log 32<1，c ＝log 213＝－log 23<0，故a >b >c ，故选A.【20】计算：lg 5＋lg 20的值是________．计算：(1－log 63)2＋log 62·log 618log 64＝________.答案 (1)1 (2)12解析 (1)原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 663·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋(1－log 63)(1＋log 63)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log62log 62＝1.【21】．若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()答案 B解析 由题图可知y ＝log a x 的图象过点(3,1)， ∴log a 3＝1，即a ＝3.A 项，y ＝3－x ＝(13)x 在R 上为减函数，错误； B 项，y ＝x 3符合；C 项，y ＝(－x )3＝－x 3在R 上为减函数，错误；D 项，y ＝log 3(－x )在(－∞，0)上为减函数，错误．。