专题四 解析几何、坐标系与参数方程一、选择题：（本题共12小题，每小题5分共60分）1.若双曲线E ：221916x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在双曲线E 上，且13PF =，则2PF =A . 11B . 9C . 5D 3 解：126PF PF -=，13PF =，∴236PF -=，29PF =2.已知方程222213x y m n m n-=+-表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是A . (1,3)-B .(1-C .(0,3)D .解：因为222213x y m n m n-=+-表示双曲线，所以22()(3)0m n m n +->且22()(3)4m n m n ++-=所以1m =±，且(1)(3)0n n +->，所以13n -＜＜，选A 3.若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为A . 22(2)(2)3x y -+±= B .22(2)(3x y -+=C .22(2)(2)4x y -+±= D .22(2)(4x y -+=解：因为圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线2x =上，又因为圆与y 轴相切，所以2r =所以圆的方程为22(2)()4x y b -+-=，所以22(12)(0)4b -+-=，所以b =所以圆的方程为22(2)(4x y -+=，选D.4.平行于直线210x y ++=且与圆225x y +=相切的直线的方程是A . 250250x y x y ++=+-=或B .2020x y x y ++=或C .250250x y x y -+=--=或D .2020x y x y -=-=或 解：∵所求直线与210x y ++=平行，∴设所求直线为20x y m ++=，又∵直线20x y m ++=与圆225x y +=相切， =5m =±∴∴所求直线方程为250250x y x y ++=+-=或，选A5.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=＞＞的左、右焦点为1F 、2F ，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点.若1AF B △的周长为C 的方程为A . 22132x y +=B .2213x y += C .221128x y += D .221124x y +=解：因为椭圆的离心率为3，所以3c a =，223a c =∴，又∵1AF B △的周长为∴4a =23a =∴，21c =∴，22b =∴，所以椭圆方程为22132x y +=，选A6.“圆221x y +=与圆22()(4)16x a y -+-=相外切”是“3a =”的A . 充分而不必要条件B . 必要而充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件解：若两圆外切，则21625a +=，3a =±，反之若3a =则两圆外切，故选B7.已知点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为 A .12 B .23 C .34 D .43解：因为点(2,3)A -在抛物线C ：22y px =的准线上，所以22p-=-，4p =∴，28y x = 设切线AB 的方程为(3)2x m y =--， 解方程组2(3)28x m y y x=--⎧⎨=⎩得2824160y my m -++=26496640m m =--=△，即22320m m --=，(21)(2)0m m +-=∴，122m m ==-∴或（舍） 216640y y -+=∴，8y =∴，8x =∴，(8,8)B ∴， (2,0)F ∵，43BF k =∴，选D.8.已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=＞＞的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交E 于A ，B 两点，若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为（ ）A .2214536x y += B .2213627x y += C .2212718x y += D .221189x y += 解：因为椭圆的右焦点为(3,0)F ，所以3c =，所以229a b -=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12122,2,x x y y +=+=-又因为2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，所以1212121222()()()()0x x x x y y y y a b -++-+=又因为直线AB 过(3,0)F 和(1,1)-，所以212112AB y y k x x -==-，所以22210a b -=，222a b =所以29b =，218a =，所以E 的方程为221189x y +=，选D.9.已知椭圆1C ：2221()x y m m +=＞1与双曲线2C ：2221()x y n n-=＞0的焦点重合，1e ，2e 分别为1C ，2C 的离心率，则A . 121m n e e ＞且＞B .121m n e e ＞且＜C .121m n e e ＜且＞D .121m n e e ＜且＜ 解：因为椭圆与双曲线的焦点重合，所以2211m n -=+，222m n -=∴，m n ∴＞，又因为22122111m e m m -==-，2222111n e n n+==+，2222122222111(1)(1)1m n e e m n m n --=-+=+∴ 又222m n -=∵，221222111e e m n=+∴＞，即m n ＞，121e e ＞，故选A. 10.在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆与直线240x y +-= 相切，则圆C 面积的最小值为 A .45π B .34π C.(6π- D .54π 解：因为A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，所以90AOB ∠=∴以AB 为直径的圆必过原点，所以过原点与240x y +-=相的圆中，最小的直径是原点到直线的距离，所以2r =，245r =min 45S π=，选A11. 设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线22(0)y px p =＞上任意一点，M 是线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 的倾斜角的最大值为A.B .23 C.2D .1解：设2(2,2)P pt pt ，2PM MF =∵，∴3PF MF = 设00(,)M x y ，则200(2,2)3(,)22p ppt pt x y --=--，201233x p pt =+∴，03y pt =∴22223121233OMptt k t p pt==++∴，当0t ＞时，2221122OM t k t t t ===++∴，选C 12.已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，2OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点），则ABO △与AFO △面积之和的最小值是 A . 2 B .3 CD解：设1122(,),(,)A x y B x y ，120,0y y ><则12121122122111111()()22222ABO x x y y x y x y x y x y =+--+=-+△S ，221122,y x y x ==∵ 2212211221111()222ABOy y y y y y y y =-+=-△S ，2OA OB ⋅=∵，12122x x y y +=∴2212122y y y y +=∴，122y y =-∴或121y y =（舍），12ABO y y =-△S ∴ 又118AFO y =△S ∵，1211992388ABO AFO y y y y =-=+△△S +S ≥∴ 二、本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知双曲线2221(0)x y a a-=>0y +=，则a = .解：根据题意1a =，3a =∴. 14.设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则PA PB ⋅的最大值是 .解：由题意知(0,0)A ，(1,3)B ，又因为两直线的交点为(,)P x y ，所以由两直线方程消去m 得230x xy y y--++=，2230x y x y +--=∴，即点(,)P x y 在圆22135()()222x y -+-=上，且AB是圆的直径，AB = 2222AB PA PB PA PB =+⋅≥∴10=，5PA PB ⋅≤∴15.设抛物线222x pt y pt⎧=⎨=⎩（t 为参数，0p >）的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点A 作l 的垂线，垂足为B .设7(,0)2C p ，AF 与BC 相交于点E . 若2CF AF =，且A C E △的面积为则p的值为 .解：由抛物线的参数方程得22y px =，1(,0)2F p 7(,0)2C p ∵，3CF p =∴，2CF AF =∵32AF p AB ==∴，由ABE EFC △△知2AE EF =，所以()A p，212ACFA SCF y p =⨯⨯=2132ACE ACFS S p ==△，22p =p =∴ 16.已知两点(3,0)M -、(3,0)N ，点P 为坐标平面内一点，且0MN MP MN NP ⋅+⋅=，则动点(,)P x y 到点(3,0)M -的距离的最小值为 .解：(3,0)M -∵，(3,0)N ，(,)P x y ，(6,0)MN =，(3,)MP x y =+，(3,)NP x y =-∴6(3)0x -=，212(3)y x x =-<，所以(3,0)M -点抛物线的焦点由抛物线的定义知，抛物线上的点到焦点的最小距离就是到准线的最小距离，即2p . 所以动点(,)P x y 到点(3,0)M -的距离的最小值为3. 三、解答题：本题共6小题，共70分. 17.（本小题满分10分）如图，射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45和30角，过点(1,0)P 作直线AB 分别交OA ，OB 于A ，B 两点， 当AB 中点C 恰好落在直线12y x =上时，求直线AB 的方程. 解：因为射线OA ，OB 分别与x 轴正半轴成45和30角所以A 在直线yx =上，B 在直线3y x =-上 设(,)A m m ，,)B n-，则AB 中点为)2m n- 又因为C 在直线12y x =上，2m n-=，2mn =+∴，3m n n +=+∴ 又因为C在AB 上，所以1m m=-∴m mn n=-∴，m n mn +=∴3m n n m n n +∴，3m =∴，(11)m ∴，m =∴AB k ==∴，所以AB的方程为1)y x =- 18.（本小题满分12分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0t ≠），其中0απ≤＜.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：2sin ρθ=，3C：ρθ=.（1）求2C 与3C 交点的直角坐标；（2）若1C 与2C 相交于点A ，2C 与3C 相交于点B ，求AB 的最大值. 解（1）曲线2C ，3C 的直角坐标方程分别为222x y y +=，22x y +=解方程组22222x y y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩得00x y =⎧⎨=⎩或32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以曲线2C ，3C 交点的直角坐标为(0,0)和3)2（2）由曲线1C 的参数方程知，曲线1C 的极坐标方程为(0)ρααπ=≤＜ 所以A 的极坐标为(2sin ,)αα，B的极坐标为,)αα12sin 4sin 4sin()23AB πααααα=-=-=-∴ 0απ∵≤＜，sin()13πα-∴≤，04sin()43πα-∴≤≤，AB 的最大值为4 19.已知ABC △的三个顶点(1,0)A -，(1,0)B ，(3,2)C ，其外接圆为H .（1）若直线l 过点C ，且被H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；（2）对于线段BH 上的任一点P ，若在以CM ，N ，使得点M 是线段PN 的中点，求C 的半径r 解：（1）因为,A B 都在x 上且关于y 轴对称，所以圆心在y 轴上 所以设圆心为(0,)b ，则2219(2)b b +=+-，3b = 所以H (0,3)所以H 的方程为22(3)10x y +-=，当直线l 垂直x 轴时，3x =，42y =或，所以弦长为2，故直线l 的方程为3x =.当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为2(3)y k x -=-，3=，43k =，所以直线l 的方程为42(3)3y x -=-，即4360x y --= 所以直线l 的方程为4360x y --=或3x =（2）因为线直线BH 的方程为330x y +-=，又P 在线段BH 上，所以设(,33)P m m -，01m ≤≤ 设(,)N x y 则33(,)22x m y m N ++-，又因为,M N 都在圆C 上，所以 222222(3)(2)33(3)(2)22x y r x m y m r ⎧-+-=⎪⎨++--+-=⎪⎩，222222(3)(2)(6)(13)4x y r x m y m r ⎧-+-=⎪⎨+-+--=⎪⎩所以两圆有交点，所以3r r，3r r 因为01m ≤≤，3r r ∴r r ∴C的半径的取值范围是20.（本题满分12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ，直线l 过点(1,0)B 且与x 轴不重合，l 交圆A 于C ，D 两点，过B 作AC 的平行线交AD 于点E .（1）证明：EA EB +为定值，并写出点E 的轨迹方程；（2）设点E 的轨迹为曲线1C ，直线l 交1C 于M ，N 两点，过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ，Q两点，求四边形MPNQ 的面积的取值范围. 解：（1）∵222150x y x ++-=，22(1)16x y ++=∴(1,0)A -∴,∵4AD AC r ===又∵AC BE ∥，∴DE BE =4EA EB EA ED +=+=∴所以EA EB +是定值4，由椭圆的定义知E 点的轨迹方程是22143x y +=(2)若直线l 与x 轴垂直，则直线PQ 与x 轴重合，此时12MPNQ S = 若直线l 与x 轴不垂直，设l 的方程为(1)y k x =-，解方程组22(1)3412y k x x y =-⎧⎨+=⎩得222(34)8120k x k x +--=，2122834k x x k +=+∴，212241234k x x k -=+12x x -=∴,所以221212(1)34k MN x k +=-=+ PQ l ⊥∵且过点B ，PQ ∴方程为1(1)y x k=--，即10x ky +-=，所以圆心(1,0)A -，又圆的半径为4，PQ ==∴12MPNQPQ MN =⋅====∴S ∵k R ∈，MPNQ =∴S 21.（本小题满分12分）如图，为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区.规划要求：新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任一点的距离均不少于80m .经测量，点A 位于点O 的正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m处（OC 为河岸），4tan 3BCO ∠=.（1）求新桥BC 的长；（2）当OM 多长时，圆形保区的面积最大. 解：（1）如图过A 作OC 的平行线交BC 于点D ，过D 作OC 的垂线，垂足为E ，设BCO θ∠=，AD x =则tan 3θ= 在DEC △中，460tan 3170x θ==-，125x =∴，45EC =，4575cos DC θ==∴ 在ABD △中，ABD θ∠=∵，AB BC ⊥，3cos 12575BD AD θ==⨯=150()BC BD DC m =+=∴，即新桥BC 的长为150m .（2）如图设4OM x =，设BC 与圆M 相切于点N ， 连结MN ，过M 作OC 的平行线交BC 于点F ，过F 作FH OC ⊥，垂足为H在FHC △中，43FH HC =，4FH OM x ==∵ 3HC x =∴，1703MF x =-∴，在MFN △中，4sin (1703)5MN MF x θ==- 因为古桥两端O 和A 到该圆上任一点的距离均不少于80m 80MN AM -∴≥，80MN OM -∴≥4(1703)(604)805x x ---∴≥，4(1703)4805x x --≥ 53524∴≤x ≤，1035∴≤4x ≤，当52m =时，10OM =，max 45(1703)15052MN =-⨯=∴，此时保护区的面积最大.22.（本小题满分12分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>，抛物线E ：22x y =的焦点F 是C 的一个顶点.（1）求椭圆C 的方程； （2）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线l 与C 交与于不同的两点A ，B ，线段AB的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 的直线交于点M .（Ⅰ）求证：点M 在定直线上； （Ⅱ）直线l 与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S ，求12S S 的最大值及取得最大值时点解：（1）∵抛物线22x y =的焦点为1)2(0,，12b =∴ 又∵∴2234c a =，22314b a -=∴，2a b =∴，1a =∴∴椭圆的方程为2241x y +=.（2）（Ⅰ）设2(2,2),(0)P t t t ＞，则2AB k t =，所以AB 方程为222(2)y t t x t -=-，即222y tx t =-解方程组2222241y tx t x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得224(22)1x tx t +-=，即2234(116)321610t x t x t +-+-= 312232116t x x t+=+∴，42212226444116116t t y y t t t -+=-=++∴ 3222162(,)116116t t D t t -++∴，18ODk t =-∴，所以OD 方程为18y x t =- 当2x t =时，14y =-，即1(2,)4M t -，即M 在定直线14y =-上.（Ⅱ）因为1(0,)2F ，2(2,2)P t t ，2(0,2)G t -，1(2,)4M t -，3222162D(,)116116t t t t-++ 231111(2)22222S t t t t =+=+∴，23322221(2)(8)11164(2)(2)24116116t t t t S t t t t ++=+-=++ 323222123222321(2)(116)(28)(116)(28)(116)21(81)(8)(81)(18)(2)(8)4t t t S t t t t t S t t t t t t t t ++++++===++++++∴ 令281m t =+，则212222(1)(21)21112S m m m m S m m m m+-+-===-++∴ 2122111192()24S S m m m =-++=--+∴，即2m =时12S S 取得最大值94此时2281t =+，4t =∴，1()24P ∴ 所以12S S 取得最大值94，并且取得最大值时P点的坐标是1()24.。