第3讲 数列的综合问题「考情研析」 1.从具体内容上，数列的综合问题，主要考查：①数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式．②以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围． 2.从高考特点上，常在选填题型的最后两题及解答题第17题中出现，分值一般为5～8分.核心知识回顾数列综合应用主要体现在以下两点：(1)以数列知识为纽带，在数列与函数、方程、不等式、解析几何的交汇处命题，主要考查利用函数观点、不等式的方法解决数列问题，往往涉及与数列相关的不等式证明、参数的范围等．(2)以数列知识为背景的新概念、创新型问题，除了需要用到数列知识外，还要运用函数、不等式等相关知识和方法，特别是题目条件中的“新知识”是解题的钥匙，此类问题体现了即时学习，灵活运用知识的能力．热点考向探究考向1 数列与函数的综合问题例 1 (2019·上海市青浦区高三二模)已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )，且不等式|f (x )|≤2019|2x －x 2|对任意的x ∈[0,10]都成立，数列{a n }是以7＋a 为首项，公差为1的等差数列(n ∈N *)．(1)当x ∈[0,10]时，写出方程2x－x 2＝0的解，并写出数列{a n }的通项公式(不必证明)；(2)若b n ＝a n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13an (n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，对任意的n ∈N *，都有S n <m 成立，求m 的取值范围．解 (1)因为x ∈[0,10]时，易知方程2x －x 2＝0的解为x ＝2，x ＝4，由不等式|f (x )|≤2019|2x－x 2|对任意的x ∈[0,10]都成立，可得⎩⎪⎨⎪⎧|f (2)|≤0，|f (4)|≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＝4＋2a ＋b ＝0，f (4)＝16＋4a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝8，所以f (x )＝x 2－6x ＋8，又数列{a n }是以7＋a ＝1为首项，公差为1的等差数列，所以a n＝n .(2)由(1)知b n ＝a n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13an ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，所以S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1·13＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，①13S n ＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫134＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，② ①－②得，23S n ＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13－n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －n3n ＋1，整理得，S n ＝34－2n ＋34·3n ，由2n ＋34·3n >0可得S n <34，由S n <m 恒成立，可得m ≥34.数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，向量a ＝(S n,1)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n－1，12，满足条件a ∥b .(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，数列{b n }满足条件b 1＝1，f (b n ＋1)＝1f (－b n －1).①求数列{b n }的通项公式；②设c n ＝b n a n，求数列{c n }的前n 项和T n . 解 (1)∵a ∥b ，∴12S n ＝2n －1，S n ＝2n ＋1－2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，满足上式， ∴a n ＝2n.(2)①∵f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，f (b n ＋1)＝1f (－1－b n )，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12b n ＋1＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1－bn，∴12bn ＋1＝121＋bn . ∴b n ＋1＝b n ＋1，即b n ＋1－b n ＝1.又∵b 1＝1，∴{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列，∴b n ＝n .②c n ＝b n a n ＝n 2n ，T n ＝121＋222＋…＋n －12n －1＋n 2n ，两边同乘12得，12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，上述两式相减得12T n ＝121＋122＋123＋…＋12n －n2n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，∴T n ＝2－n ＋22n(n ∈N *)．考向2 数列与不等式的综合问题例2 (2019·云南玉溪第一中学高三第五次调研)若数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1>0且2S n ＝a 2n ＋a n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若a n >0，令b n ＝4a n (a n ＋2)，数列{b n }的前n 项和为T n ，若T n <m 恒成立，m ∈Z ，求m 的最小值．解 (1)当n ＝1时，2S 1＝a 21＋a 1，又a 1>0，则a 1＝1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a 2n ＋a n 2－a 2n －1＋a n －12，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0⇒a n ＝－a n －1或a n ＝a n －1＋1， ∴a n ＝(－1)n －1或a n ＝n (n ≥2)，又a 1＝1满足上式，∴a n ＝(－1)n －1或a n ＝n ，n ∈N *.(2)由a n >0，∴a n ＝n ，b n ＝4n (n ＋2)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，T n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2＝2⎝⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝3－4n ＋6(n ＋1)(n ＋2)<3，若T n <m 恒成立，则m ≥3，又m ∈Z ，∴m min ＝3.(1)数列中的不等式证明，大多是不等式的一端为一个数列的前n 项和，另一端为常数的形式，证明的关键是放缩：①如果不等式一端的和式可以通过公式法、裂项法、错位相减法求得，则先求和再放缩；②如果不等式一端的和式无法求和，则要通过对数列通项的合适放缩使之能够求和，这时先放缩再求和，最后再放缩．(2)注意放缩的尺度：如1n 2<1n (n －1)，1n 2<1n 2－1.(2019·安徽黄山高三第二次质检)已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n －1的前n 项和S n ＝n ，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝2n ＋1(a n －1)2(a n ＋1－1)2，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：对于任意的n ∈N *，都有T n <1.解 (1)因为S n ＝n ， ① 当n ≥2时，S n －1＝n －1， ② 由①－②，得na n －1＝1，故a n ＝n ＋1，又因为a 1＝2适合上式，所以a n ＝n ＋1(n ∈N *)． (2)证明：由(1)知，b n ＝2n ＋1(a n －1)2(a n ＋1－1)2＝2n ＋1n 2(n ＋1)2＝1n 2－1(n ＋1)2，T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫112－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－132＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2－1(n ＋1)2＝1－1(n ＋1)2，所以T n <1.考向3 奇(偶)数项和问题例3 设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，n ∈N *. (1)证明：a n ＋2＝3a n ； (2)求S n .解 (1)证明：由条件，对任意n ∈N *，有a n ＋2＝3S n －S n ＋1＋3，因而对任意n ∈N *，n ≥2，有a n ＋1＝3S n －1－S n ＋3.两式相减，得a n ＋2－a n ＋1＝3a n －a n ＋1，即a n ＋2＝3a n ，n ≥2.又a 1＝1，a 2＝2，所以a 3＝3S 1－S 2＋3＝3a 1－(a 1＋a 2)＋3＝3a 1.故对一切n ∈N *，a n ＋2＝3a n . (2)由(1)知，a n ≠0，所以a n ＋2a n＝3. 于是数列{a 2n －1}是首项a 1＝1，公比为3的等比数列； 数列{a 2n }是首项a 2＝2，公比为3的等比数列． 因此a 2n －1＝3n －1，a 2n ＝2×3n －1.于是S 2n ＝a 1＋a 2＋…＋a 2n＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2n ) ＝(1＋3＋…＋3n －1)＋2(1＋3＋…＋3n －1)＝3(1＋3＋…＋3n －1)＝3(3n－1)2，从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝3(3n－1)2－2×3n －1＝32(5×3n －2－1)．当n 为偶数时，数列中的奇数项与偶数项相同，分别为n2项；当n 为奇数时，数列中的奇数项比偶数项多一项，此时偶数项为n －12项，奇数项为n －12＋1＝n ＋12项．已知函数f (x )＝ln x ＋cos x －⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－92x 的导数为f ′(x )，且数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝nf ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋3(n ∈N *)．(1)若数列{a n }是等差数列，求a 1的值；(2)若对任意n ∈N *，都有a n ＋2n 2≥0成立，求a 1的取值范围． 解 f ′(x )＝1x －sin x －6π＋92，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝4，故a n ＋1＋a n ＝4n ＋3. (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a n ＝a 1＋(n －1)d ，a n ＋1＝a 1＋nd ，由a n ＋1＋a n ＝4n ＋3得(a 1＋nd )＋[a 1＋(n －1)d ]＝4n ＋3，解得d ＝2，a 1＝52.(2)由a n ＋1＋a n ＝4n ＋3得a n ＋2＋a n ＋1＝4n ＋7，两式相减得a n ＋2－a n ＝4，故数列{a 2n －1}是首项为a 1，公差为4的等差数列；数列{a 2n }是首项为a 2，公差为4的等差数列，又a 1＋a 2＝7，a 2＝7－a 1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －2＋a 1(n 为奇数)，2n ＋3－a 1(n 为偶数).①当n 为奇数时，a n ＝2n －2＋a 1，a n ＋2n 2≥0，则有a 1≥－2n 2－2n ＋2对任意的奇数n 恒成立，令f (n )＝－2n 2－2n ＋2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122＋52，n 为奇数，则f (n )max ＝f (1)＝－2，所以a 1≥－2.②当n 为偶数时，a n ＝2n ＋3－a 1，a n ＋2n 2≥0，则有a 1≤2n 2＋2n ＋3对任意的偶数n 恒成立，令g (n )＝2n 2＋2n ＋3＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋122＋52，n 为偶数，则g (n )min ＝g (2)＝15，故a 1≤15.综上，a 1的取值范围是[－2,15]．真题押题 『真题模拟』1．(2019·齐齐哈尔高三二模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝120，a 2－a 1，a 4－a 2，a 1＋a 2成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和，求满足T n >1522的最小的n 值．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 由S 10＝120得10a 1＋45d ＝120,2a 1＋9d ＝24， 由a 2－a 1，a 4－a 2，a 1＋a 2成等比数列， 得d (2a 1＋d )＝4d 2且d ≠0， ∴2a 1＝3d ，∴a 1＝3，d ＝2，∴等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝3＋(n －1)·2＝2n ＋1. (2)∵S n ＝na 1＋n (n －1)d2＝n (n ＋2)，∴1S n＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，∴T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2， 由T n >1522得1n ＋1＋1n ＋2<322，n (3n －35)>60，∴n 的最小值为14.2．(2019·河北衡水中学高三下学期一调)已知数列{a n }的前n 项和S n 满足1S n －1－1S n－1S n S n －1＝0，a 1＝1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)在数列{a n }的前100项中，是否存在两项a m ，a t (m ，t ∈N *，且m <t )，使得1a 2，1a m ，1a t三项成等比数列？若存在，求出所有的m ，t 的取值；若不存在，请说明理由．解 (1)因为1S n －1－1S n－1S n S n －1＝0，所以 S n －S n －1＝1，所以数列{S n }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以S n ＝n 2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1. 又2×1－1＝1＝a 1，所以a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)若1a 2，1a m ，1a t三项成等比数列，则1a 2×1a t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a m 2，即13×12t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12m －12， 即(2m －1)2＝3(2t －1)．因为t ≤100，所以(2m －1)2≤597，又m ∈N *，所以2m －1≤24，所以m ≤12. 又2m －1为3的奇数倍，所以m ＝2,5,8,11，验证得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝5，t ＝14，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝8，t ＝38，⎩⎪⎨⎪⎧m ＝11，t ＝74.3．(2019·浙江高考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＝4，a 4＝S 3.数列{b n }满足：对每个n ∈N *，S n ＋b n ，S n ＋1＋b n ，S n ＋2＋b n 成等比数列．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记c n ＝a n 2b n，n ∈N *，证明：c 1＋c 2＋…＋c n <2n ，n ∈N *. 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝4，a 1＋3d ＝3a 1＋3d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝0，d ＝2.从而a n ＝2n －2，n ∈N *.所以S n ＝n 2－n ，n ∈N *. 由S n ＋b n ，S n ＋1＋b n ，S n ＋2＋b n 成等比数列，得 (S n ＋1＋b n )2＝(S n ＋b n )(S n ＋2＋b n )．解得b n ＝1d(S 2n ＋1－S n S n ＋2)．所以b n ＝n 2＋n ，n ∈N *.(2)证明：c n ＝a n2b n ＝ 2n －22n (n ＋1)＝n －1n (n ＋1)，n ∈N *.我们用数学归纳法证明．①当n ＝1时，c 1＝0<2，不等式成立；②假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即c 1＋c 2＋…＋c k <2k .那么，当n ＝k ＋1时，c 1＋c 2＋…＋c k ＋c k ＋1<2k ＋k(k ＋1)(k ＋2)<2k ＋1k ＋1<2k ＋2k ＋1＋k＝2k ＋2(k ＋1－k )＝2k ＋1，即当n ＝k ＋1时不等式也成立．根据①和②，不等式c 1＋c 2＋…＋c n <2n 对任意n ∈N *成立．『金版押题』4．已知函数f (x )＝3cos πx －sin πx (x ∈R )的所有正的零点构成递增数列{a n }(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋23，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)f (x )＝3cos πx －sin πx ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx ＋π6，由题意令πx ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k ＋13(k ∈Z )．又函数f (x )的所有正的零点构成递增数列{a n }，所以{a n }是以13为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n －23(n ∈N *)．(2)由(1)知b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋23＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，则T n ＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，①12T n ＝1·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2·⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋3·⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋…＋(n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，②①－②得，12T n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ·121－12－n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝1－(n ＋2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，所以T n ＝2－(n ＋2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n.配套作业1.(2019·北京市海淀区高三4月模拟)已知等差数列{a n }的公差d ＝2，且a 2＋a 5＝2，{a n }的前n 项和为S n .(1)求{a n }的通项公式；(2)若S m ，a 9，a 15成等比数列，求m 的值．解 (1)因为a 5＋a 2＝2，d ＝2，所以2a 1＋5d ＝2a 1＋10＝2，所以a 1＝－4，所以a n ＝2n －6.(2)S m ＝(a 1＋a m )m 2＝m 2－5m ，又a 9＝12，a 15＝24，因为S m ，a 9，a 15是等比数列，所以a 29＝S m a 15， 所以m 2－5m －6＝0，m ＝6或m ＝－1， 因为m ∈N *，所以m ＝6.2．设数列{a n }的前n 项和是S n ，若点A n ⎝⎛⎭⎪⎫n ，S n n 在函数f (x )＝－x ＋c 的图象上运动，其中c 是与x 无关的常数，且a 1＝3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝aan ，求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值．解 (1)因为点A n ⎝⎛⎭⎪⎫n ，S n n在函数f (x )＝－x ＋c 的图象上运动，所以S n n＝－n ＋c ，所以S n＝－n 2＋cn .因为a 1＝3，所以c ＝4，所以S n ＝－n 2＋4n ，所以a n ＝S n －S n －1＝－2n ＋5(n ≥2)． 又a 1＝3满足上式，所以a n ＝－2n ＋5(n ∈N *)．(2)由(1)知，b n ＝aan ＝－2a n ＋5＝－2(－2n ＋5)＋5＝4n －5，所以{b n }为等差数列，所以T n ＝n (b 1＋b n )2＝2n 2－3n ，当n ＝1时，T n 取最小值，所以T n 的最小值是T 1＝－1.3．(2019·广东东莞高三二调)已知数列{a n }满足a 2＝3，a n ＋1＝2a n ＋1，设b n ＝a n ＋1. (1)求a 1，a 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1.解 (1)数列{a n }满足a 2＝3，a n ＋1＝2a n ＋1， 当n ＝1时，a 2＝2a 1＋1，解得a 1＝1. 当n ＝2时，解得a 3＝7. (2)当n ＝1时，b 1＝2，所以b n ＋1b n ＝a n ＋1＋1a n ＋1＝2(常数)， 则数列{b n }是以2为首项，2为公比的等比数列． (3)由(1)和(2)得a n ＝2n－1，所以a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝(21＋23＋…＋22n ＋1)－(n ＋1)＝2(4n ＋1－1)4－1－(n ＋1)＝8×4n－3n －53.4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝13，3S n ＋1＝S n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 13a n ，数列{a n ·b n }的前n 项和为T n ，求T n .解 (1)当n ＝1时，3S 2＝43，a 2＝19，∴3a 2＝a 1；当n ≥2时，3S n ＝S n －1＋1，∴3a n ＋1＝a n (n ≥2)，故数列{a n }是以13为首项，13为公比的等比数列，则a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.(2)由(1)知b n ＝log 13a n ＝n ，则a n ·b n ＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.从而T n ＝1×13＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n，①13T n ＝1×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫133＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，②由①－②得，23T n ＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝13×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13n 1－13－n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1，因此T n ＝34－14(2n ＋3)·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n.5．(2019·衡水第二中学高三上学期期中)已知等差数列{a n }与公比为正数的等比数列{b n }满足b 1＝2a 1＝2，a 2＋b 3＝10，a 3＋b 2＝7.(1)求{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n ＝b n ＋1(a n ＋b n )·(a n ＋1＋b n ＋1)，求数列{c n }的前n 项和S n .解 (1)由题意a 1＝1，b 1＝2.设公差为d ，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＋2q 2＝10，1＋2d ＋2q ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，b n ＝b 1·qn －1＝2n.(2)因为c n ＝b n ＋1(a n ＋b n )·(a n ＋1＋b n ＋1)，所以c n ＝2n＋1(2n ＋n )(2n ＋1＋n ＋1)＝12n ＋n －12n ＋1＋n ＋1， 故S n ＝121＋1－122＋2＋122＋2－123＋3＋…＋12n ＋n －12n ＋1＋n ＋1＝13－12n ＋1＋n ＋1. 6．设等差数列{a n }的公差为d ，点(a n ，b n )在函数f (x )＝2x 的图象上(n ∈N *)． (1)若a 1＝－2，点(a 8,4b 7)在函数f (x )的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)若a 1＝1，函数f (x )的图象在点(a 2，b 2)处的切线在x 轴上的截距为2－1ln 2，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 的前n 项和T n . 解 (1)由已知得，b 7＝2a 7，b 8＝2a 8＝4b 7，有2a 8＝4×2a 7＝2a 7＋2.所以d ＝a 8－a 7＝2.所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－2n ＋n (n －1)＝n 2－3n . (2)f ′(x )＝2x ln 2，f ′(a 2)＝2a 2ln 2，故函数f (x )＝2x 的图象在(a 2，b 2)处的切线方程为y －2a 2＝2a 2ln 2(x －a 2)，它在x 轴上的截距为a 2－1ln 2. 由题意得，a 2－1ln 2＝2－1ln 2，解得a 2＝2. 所以d ＝a 2－a 1＝1.从而a n ＝n ，b n ＝2n ，a n b n ＝n 2n . 所以T n ＝12＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ， 2T n ＝11＋22＋322＋…＋n 2n －1. 因此，2T n －T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝2－12n －1－n 2n ＝2n ＋1－n －22n . 所以，T n ＝2n ＋1－n －22n . 7．(2019·安徽六安第一中学高三模拟)已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三内角A ，B ，C 的对边，其面积S ＝3，B ＝60°，a 2＋c 2＝2b 2，在等差数列{a n }中，a 1＝a ，公差d ＝b .数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n －2b n ＋1＝0，n ∈N *.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若c n ＝a n b n ，求数列{c n }的前n 项和S n .解 (1)S ＝12ac sin B ＝12ac ·32＝3，∴ac ＝4， 又a 2＋c 2＝2b 2，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴b 2＝ac ＝4，∴b ＝2，从而(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝16，得a ＋c ＝4，∴a ＝c ＝2，故可得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝2，∴a n ＝2＋2(n －1)＝2n .∵T n －2b n ＋1＝0， ①∴当n ＝1时，b 1＝1；当n ≥2时，T n －1－2b n －1＋1＝0， ②①－②，得b n ＝2b n －1(n ≥2)，∴数列{b n }为等比数列，∴b n ＝2n －1. (2)由(1)得c n ＝2n ·2n －1＝n ·2n ，∴S n ＝a 1·b 1＋a 2·b 2＋…＋a n ·b n ＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n ， ③∴2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1， ④ ③－④得－S n ＝1×21＋(22＋23＋…＋2n )－n ·2n ＋1， 即－S n ＝(1－n )2n ＋1－2，∴S n ＝(n －1)2n ＋1＋2.8．(2019·贵州凯里第一中学高三下学期模拟)在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 4＝84－a 5，a 8＝36.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，求S n ＋20n的最小值． 解 (1)由a 3＋a 4＝84－a 5，得a 4＝28，∴由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋3d ＝28，a 1＋7d ＝36，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝22，d ＝2，即数列{a n }的通项公式为a n ＝22＋(n －1)×2＝2n ＋20.(2)由(1)得，S n ＝22n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋21n ， ∴S n ＋20n ＝n ＋20n ＋21，令f (x )＝x ＋20x＋21，n ∈N *， f ′(x )＝1－20x 2，当x ∈(0,25)时，f ′(x )<0； 当x ∈(25，＋∞)时，f ′(x )>0，则f (x )在(0,25)上单调递减，在(25，＋∞)上单调递增，又n ∈N *，f (4)＝f (5)＝30，∴当n ＝4或5时，f (n )取到最小值30，即S n ＋20n的最小值为30.数列类解答题(12分)已知各项均不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且对任意的n ∈N *，满足S n ＝13a 1(a n －1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a n b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <89. 解题思路 (1)根据S n －S n －1＝a n (n ≥2)及递推关系式化简得a n 和a n －1的关系式，从而求出a n ；(2)采用错位相减法求T n ，从而证明结论．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝13a 1(a 1－1)＝13a 21－13a 1， ∵a 1≠0，∴a 1＝4.(2分)∴S n ＝43(a n －1)，∴当n ≥2时，S n －1＝43(a n －1－1)， 两式相减得a n ＝4a n －1(n ≥2)，(4分)∴数列{a n }是首项为4，公比为4的等比数列，∴a n ＝4n.(6分)(2)证明：∵a n b n ＝log 2a n ＝2n ，∴b n ＝2n 4n ，(7分) ∴T n ＝241＋442＋643＋…＋2n 4n ， 14T n ＝242＋443＋644＋…＋2n 4n ＋1，(8分) 两式相减得34T n ＝24＋242＋243＋244＋…＋24n －2n 4n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋142＋143＋144＋…＋14n －2n 4n ＋1＝2×14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14－2n 4n ＋1＝23－23×4n －2n 4n ＋1＝23－6n ＋83×4n ＋1.(10分) ∴T n ＝89－6n ＋89×4n <89.(12分)1．正确求出a 1的值给2分．2．利用a n 与S n 的关系构造等比数列给2分．3．写出数列{a n }的通项公式给2分．4．求出数列{b n }的通项公式给1分．5．采取错位相减法给1分．6．两式相减后的正确化简计算给2分．7．放缩法证明不等式给2分．1．由a n 与S n 的关系求通项公式，易忽略条件n ≥2而出错．2．错位相减法中两式相减后，一定成等比数列的有n －1项，整个式子共有n ＋1项．3．放缩法证明不等式时，要注意放缩适度，放的过大或过小都不能达到证明的目的．[跟踪训练](2019·沈阳模拟)(12分)设S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎪⎫S n －12(n ≥2)．(1)求S n ；(2)设b n ＝S n 2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)当n ≥2时，由S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎪⎫S n －12得， S 2n ＝(S n －S n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12，整理得，S n －1－S n ＝2S n －1S n ⇒1S n －1S n －1＝2，(3分) 又1S 1＝1a 1＝1， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为公差、以1为首项的等差数列，则 1S n ＝1＋2(n －1)，故S n ＝12n －1.(6分) (2)由(1)知，b n ＝S n 2n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，(9分) ∴T n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.(12分)。