增刊 1
冯汉禄等： QR 码纠错码原理及实现
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原始 信 息 v（ x） 在 传 输 的 过 程 中 受 到 的 错 误 影 响 为 E（ X） ， 则实际接收到的信号 R（ x） = v（ x） + E（ x） ， 则原始信 息 v（ x） = R（ x） － E（ x） ， 设接收到的码字多项式为：
［4 ］ r
σ（ x） =
∏ （ 1 － x x） ； 0 ≤ r ≤ t
i i =1
（ 7）
把 σ（ x） 展开： σ （ x ） = （ 1 － x1 x ） （ 1 － x2 x ） （ 1 － x3 x ） … （ 1 － x t x ） = 1 － （ x1 + x2 + … + x t ） x + （ x1 x2 + x1 x3 + … + x t － 1 x t ） x2 － … + （ － 1 ） t x1 x2 … x t 令 σ1 = － （ x 1 + x 2 + … + x t ） （ 8）
1
RS 码编译算法
域是能够进行加与乘两种运算的非空元素的集合 。 伽罗 GF） 是一个有限域， 瓦域（ Galois Field， 以素数 q 为模的整数 构成 q 阶的伽罗瓦域为 GF（ q） 。 在 GF（ q） 中， 某一个元素 a 满 q －1 a = 1 ， a GF （ q ） 。 GF 足 称 为 的本原元 在任何 （ q） 中都能找 到一个本原元， 能够用它的幂次表示所有 q － 1 个非零元素， 0 a1 ， a2 ， a3 ， a4 ， …， a q －1 ，其 中 从而组 成 一 个 循 环 群 G（ a） ： a ， q －1 a = 1。 ［3 ］ 可以纠正 t 个错误的 RS 码的生成多项式 为： 2 2t 2t g （ x ） = （ x － a ） （ x － a ） … （ x － a ） = x + g2 t － 1 x 2 t － 1 + g2 t － 2 x n － 2 + … + g1 x + g0 （ 1） 1， 2， …， 2 t － 1 ） 是 GF（ q） 中元素， a 为 GF（ q） 其中： g i （ i = 0 ， 中的一个本原元。 1 2 若原始信息的多项式为 d（ x） = d0 + d1 x + d2 x + … +
中很容易受到污染、 涂痕、 撕裂等各种形式的破坏， 直接影响 因此采用一种好的检错与纠错算法尤为重要 。 目前在 识别， Solomon ） 错误控 二维条码中应用的最为广泛的是 RS （ ReedSolomon 码是一种重要的循环码， 制码。Reed是分组中纠错 能力最强的一种码， 在 QR 码中利用 RS 纠错码， 最高纠错等 ［2 ］ Solomon 码编译码 级能纠错 30% 的错误码字 。 但是 Reed算法比较复杂， 本文对 RS 纠错码算法在 QR 码中的应用进行 了相关研究。
n －1
R（ x） =
∑r x
i i =0
i
= r0 x0 + r1 x1 + r2 x2 + … + r n － 2 x n － 2 + （ 3）
S3 … Sr S1 S2 S2 S3 S4 … S r + 1 T ， B =［ 其中 A = σ x σ x －1 …σ t］ S r S r + 1 S r + 2 … S2 r － 1 因此， 译码的关键是求解 σ（ x） ， 从而求出错误位置的值 。 系数 矩阵的行列式不为零时， 求解方程， 错误值的个数即为矩阵的 ［5 ］ 译码流程如图 2 。 秩 ，
S = Y1 （ X1 ） 2 + Y2 （ X2 ） 2 + … + Y r （ X r ） 2 2 S3 = Y1 （ X1 ） 3 + Y2 （ X2 ） 3 + … + Y r （ X r ） 3 S = Y （ X ） 2t + Y （ X ） 2t + …Y （ X ） 2t 2t 1 1 2 2 r r
S j = R（ a j ） = C（ a j ） + E（ a j ） = E（ a j ） =
t
∑Y X
i i =1
li
= （ 5）
图2
RS 码译码流程
∑Y a
i i =1
li
2
RS 码在 QR 码中的编码过程
l 2， …， r） ， 令 Xi = X i （ i = 1， 于是有 S1 = Y1 X1 + Y2 X2 + … + Yr Xr 。 同理用 a 的各次幂， 即式（ 1 ） 的各个零点， 对差错 多项式（ 5 ） 求值， 可得到 2 t 个方程的方程组。 S1 = Y1 X1 + Y2 X2 + … + Y r X r
∑Y X
i i =1
li
（ 4）
l 其中 Y i ∈ GF（ q） ，X i 称为错误位置， 说明错误发生在 R（ x） n －1 中的第 n － l i （ x 的系数算第一位） 位， 错误值是 Y i 。 j 2， …， 2t） 对 用纠错码生成多项式 g（ x） 的各个零点 a （ j = 1， j R（ x） 求值， 其结果定义为伴随多项式 Sj 。 因为 C（ a ） = 0， 故 t
0
引言
QR 二维条码又称为快速响应矩阵码， 相比于一维条码 它具有数据量大、 不依赖数据库、 应用方便、 纠错能力强等特 ［1 ］ 点 。也正因为二维条码的这些特点， 使二维条码比一维条 码的编码与解码技术更为复杂 。本文在对国内外的二维条码 进行对比研究之后， 论述了 QR 二维条码的编码与解码原理， Solomon 的原理。 并详尽阐述了二维码中所应用的 ReedQR 码如图 1 所示， 由正方形模块组成的一个正方形矩阵 列构成， 它包括编码区、 功能图形和空白区三部分 。编码区是 由文本信息转化的二进制码组成， 它包括格式信息、 版本信 息、 数据和纠错码字。功能图形包括位置探测图形 、 位置探测 定位图形和校正图形。 图形分隔符、
r n －1 x n －1
n －1 + e n － 2 x n － 2 + … + e1 x1 + e0 。 错误多项式 E（ x） = e n －1 x 如果含有 r（ 0 ≤ r ≤ t） 个错误， 它们发生在未知错误位置 i1 ， i2 ， …， i r 上， 则 t
E （ x ） = Y t X l t + Y t － 1 X l t － 1 + … + Y 1 X l1 =
第 31 卷增刊 1 2011 年 6 月 文章编号： 1001 － 9081 （ 2011 ） S1 － 0040 － 03
计算机应用 Journal of Computer Applications
Vol． 31 Suppl． 1 June 2011
QR 码纠错码原理及实现
冯汉禄， 黄颖为， 牛晓娇， 钱银超
摘
Principle and implementation of error correcting coding of QR code
FENG Hanlu， HUANG Yingwei， NIU Xiaojiao， QIAN Yinchao
( Faculty of Printing and Packaging Engineering，Xi'an University of Technology， Xi'an Shaanxi 710048，China)
σ t = （ － 1 ） x1 x2 … x t 则式（ 8 ） 变为：
r 2 t σ t = 1 + σ1 x + σ2 x + … + σ t x = σ （ x ） =
{
QR 码多项式算法用位的模 2 算法和字节的模 100011101 算 8 8 4 3 这是伽罗华域 2 以 100011101 表示模块多项式： x + x + x + 法， 2 ［7 ］ x +1 。 数据码字为多项式各项的系数， 第一个数据码字为 最高次项的系数， 第一个纠错码字前的最后一个数据码字是 最低项的系数。 纠错码字是数据码字被纠错码字多项式 g（ x） 除得的余 数。 余数的最高次系数为第一个纠错码字， 最低次项系数为最 后个纠错码字， 也是整个块的最后一个码字 。 格式信息是由 5 个数据位和 10 个纠错位组成的一个 15 QR 码中用 BCH（ 15 ， 5 ） 码纠错， 位序列， 以数据位串为系数的 ［6 ］ 10 8 G （ x ） = x + x + x5 + x4 + x2 + x + 1 多项式被生成多项式 除， 所得的剩余多项式的系数串追加到系数串上形成 （ 15 ， 5 ） BCH 码字符串。 最后通过用 101010000010010 对位串进行 异或运算掩模， 来保证掩模图形和纠错等级的任意组合的格 式信息不全为 0 。 例： 纠错等级 M； 掩模图形参考 101 00101 二进制字符串： x2 + 1 生成多项式： 5 位信息组位长（ 15 － 5） ： x12 + x10 将次数升 15 位码字总长度， 10 8 5 4 2 2 7 被 G（ x） 除后： = （ x + x + x + x + x + x + 1） x + （ x + 6 4 3 2 x +x +x +x ） 把上面的剩余多项式的系数字符串附加至格式信息数据串 00101 + 0011011100 → 001010011011100