1 1 yz
zx, yz
dz dx
1 1 yz
xy yz
11
11
曲线在点 M(1,–2, 1) 处有:
切向量
T 1 ,
dy dx
,
M
dz dx
M
(1, 0, 1)
点 M (1,–2, 1) 处的切向量
T (1, 0, 1)
切线方程
即
法平面方程 1 (x 1) 0 ( y 2) (1) (z 1) 0 即 xz0
复习: 平面曲线的切线与法线
已知平面光滑曲线
在点 (x0 , y0 )有
切线方程 y y0 f (x0 )(x x0 )
法线方程
y

y0


f
1 (x0 )
(x

x0 )
若平面光滑曲线方程为
故在点
有
因 d y Fx (x, y) dx Fy (x, y)
切线方程 Fx (x0 , y0 ) (x x0 ) Fy (x0 , y0 )( y y0 ) 0
若在法平面上任取一点P( x, y, z),则向量( x x0, y y0, z z0)
与切向量((t0 ), (t0 ),(t0 ))垂直，即
((t0 ), (t0 ),(t0 )) ( x x0, y y0, z z0 ) 0
由向量的内积公式，可得法平面方程
( y y0 )
M
(F,G) (x , y)
(z z0) 0
M
法平面方程
(F , G) ( y, z)
M
(
x

x0
)

(F (z
, ,
G) x)
M ( y y0 )
也可表为
(F,G) (x , y)
M (z z0) 0
x x0 y y0 z z0
则在点 M (x0 , y0 , z0 )有
切线方程
x x0 y y0
(F , G)
(F , G)
z z0 (F , G)
( y, z) M (z , x) M (x , y) M
法平面方程
(F , G) ( y, z)
(
M
x

x0
)

(F (z
, ,
G) x)
法线方程 Fy (x0 , y0 )(x x0 ) Fx (x0 , y0 ) ( y y0 ) 0
一、空间曲线的切线与法平面
1. 曲线方程为参数方程的情况
T
M
设 t t0 对应 M ( x0 , y0 , z0 )
t t0 t 对应 M (x0 x, y0 y, z0 z)
Fx (M ) Fy (M ) Fz (M ) 0
Gx (M ) Gy (M ) Gz (M )
例2. 求曲线 x2 y2 z2 6, x y z 0 在点
M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程.
解法1 令
则
(F ,G)
2y 2z
(y, z)

M
1
1
2）设曲面由方程 F( x, y, z) 0
(5)
给出. 它在点P0( x0 , y0, z0 )的某邻域内满足隐函数定理条件 （这里不妨设 Fz ( x0, y0, z0) 0），于是方程（5）在点 P0 附
近确定惟一连续可微的隐函数z = f ( x , y )使得 z0 f ( x0 , y0 )， 且
k
R 2
k
法平面方程
3 R( x R ) R ( y 3 R)+k(z k) 0
2
22 2
3
2. 曲线为一般式的情况
光滑曲线
:
F(x, y, z) G(x, y, z)

0 0
当J (F,G) 0时, 可表示为 (y, z)
, 且有
dy 1 (F,G) , dz 1 (F,G) , dx J (z, x) dx J (x, y) 曲线上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为
(t0 )(x x0 ) (t0 ) ( y y0 ) (t0 )(z z0 ) 0
例1. 求圆柱螺旋线
在
对应点处的切线方程和法平面方程. 解: 由于
对应的切向量为
T ( 3 R, R , k) 22
,
故
切线方程
x

R 2


3 2
R
y
3 2
R

z

3
z


Fx ( x, y, z) , z


Fy( x,
y, z) .
x Fz ( x, y, z) y Fz ( x, y, z)
该曲面在P0 处有切平面与法线，它们的方程分别是
二、曲面的切平面与法线
1）曲面 z = f ( x , y ) 在点 P0( x0 , y0, z0 )处的切平面方程为 z z0 f x ( x0, y0 )( x x0 ) f y ( x0, y0 )( y y0 ).
法线方程是 ( x x0 ) ( y y0 ) z z0 . f x ( x0, y0 ) f y ( x0, y0 ) 1
割线 MM的方程:
切线方程
x x0
(t0 )

y

y0 (t0 )
z z0
(t0 )
切线的方向向量: T ((t0 ), (t0 ), (t0 ))
称为曲线的切向量 .
T
M
一个平面通过空间曲线 C 上一点 M ( x0, y0, z0 ),且与 过点M的切线垂直，称此平面是空间曲线C在点M的 法平面
2(y z)
M
6;
M
切向量 T ( 6, 0, 6)
切线方程
即
x
y
z
2
2
0
0
法平面方程 6 (x 1) 0 ( y 2) 6 (z 1) 0
即
xz 0
解法2. 方程组两边对 x 求导, 得
x z
y x
解得 dy dx
T 1, (x0 ), (x0 )
Hale Waihona Puke 1,
1 J

(F (z
, G) , x)
,
M
1 (F,G) J (x, y)
M
或
T


(F,G) ( y, z)
, (F,G) M (z , x)
M
, (F,G) (x, y)
M