r n (2,1,4) = (2 x, 2 y, − 1) (2,1,4) = (4, 2, −1),
切平面方程为 4( x − 2) + 2( y − 1) − ( z − 4) = 0,
⇒ 4 x + 2 y − z − 6 = 0,
x − 2 y −1 z −4 . = = 4 2 −1
法线方程为
切向量 T ⊥ n
由于曲线 Γ 的任意性 , 表明这些切线都在以 的平面上 , 从而切平面存在 . 为法向量
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曲面 ∑ 在点 M 的法向量 法向量
n = ( Fx (x0 , y0 , z0 ) , Fy (x0 , y0 , z0 ) , Fz (x0 , y0 , z0 ))
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2 2 2 例2. 求曲线 x + y + z = 6, x + y + = 0 在点
M ( 1,–2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 解. 方程组两边对 x 求导, 得
−x z −1 1 z − x dz dy = = , = 解得 y z y − z dx dx 1 1 曲线在点 M(1,–2, 1) 处有: 切向量 T = 1 , dy , dz dx M dx M
x − x0 y − y0 z − z0 = = 或 . ∆x ∆y ∆z ∆t ∆t ∆t 当M→M0, 即∆t→0时, 得曲线在点M0处的切线方程为 x − x0 y − y0 z − z0 . = = ϕ′(t0) ψ′(t0) ω′(t0)
x − x0 y − y0 z − z0 = = , ∆x ∆y ∆z
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第六节 多元函数微分学的几何应用
一、空间曲线的切线与法平面 二、曲面的切平面和法线
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一、空间曲线的切线与法平面 空间光滑曲线在点 M 处的切线 切线为此点处割线的极限 切线 位置. 过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法 法 平面. 平面
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例5. 确定正数σ 使曲面 x y z = σ 与球面 在点 M (x0 , y0 , z0 ) 相切. 解: 二曲面在 M 点的法向量分别为
n2 = (x0 , y0 , z0 )
二曲面在点 M 相切, 故 n1 // n2 , 因此有 x0 y0 z0 x0 y0 z0 x0 y0 z0 2 = y2 = z 2 x0 0 0
2(x −1) + 8( y − 2) +18(z − 3) = 0
x −1 y − 2 z − 3 = = 4 1 9
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例4求旋转抛物面 z = x 2 + y 2 − 1, 在点(2,1,4) 处的切平面及法线方程. 解
f ( x , y ) = x 2 + y 2 − 1,
n1 = (2x − 3, 2 y , 2z ) (1,1,1) = (−1, 2, 2)
n2 = (2, − 3, 5)
因此切线的方向向量为 l = n1 × n2 = (16, 9, −1) x −1 y −1 z −1 = = 由此得切线:
16
9
−1
法平面: 16(x −1) + 9( y −1) − (z −1) = 0 即
16x + 9 y − z − 24 = 0
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作业： 习题9-6 作业：p-100 习题 3，4，5，8,10
Γ
Fx (x0 , y0 , z0 ) ϕ′(t0 ) + Fy (x0 , y0 , z0 )ψ ′(t0 )
+ Fz (x0 , y0 , z0 )ω′(t0 ) = 0
令 T = (ϕ′(t0 ) , ψ ′(t0 ) , ω′(t0 ))
n = (Fx (x0 , y0 , z0 ) , Fy (x0 , y0 , z0 ) , Fz (x0 , y0 , z0 ))
法平面方程 − R x + k( z − π k ) = 0 2 即
o
Rx−k
π k 2= 0 z+
2
x
y
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曲线x=ϕ(t), y=ψ(t), z=ω(t)在t=t0所对应的点M0的切向 量为T=(ϕ′(t0), ψ′(t0), ω′(t0)). 讨论: 1. 若曲线的方程为y=ϕ(x), z=ψ(x), 则切向量T=? 2. 若曲线的方程为F(x, y, z)=0, G(x, y, z)=0, 则切向量 T=?
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例1. 求圆柱螺旋线 对应点处的切线方程和法平面方程. 解: 由于 对应的切向量为 T = (−R, 0, k), 故 z −π k y−R x 2 切线方程 = = 0 −R k 即
在
M0 (0, R , π k) 2 z
k x + Rz − π R k = 0 2 y−R=0
x−z =0
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二、曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面 通过其上定点
任意引一条光滑曲线 不全为0 . 则 Γ 在
设 t = t0 对应点 M, 且
点 M 的切向量 切向量为 切向量
T
M
T = (ϕ′ (t0 ) , ψ ′ (t0 ) , ω′ (t0 )) x − x0 y − y0 z − z0 = = 切线方程为 ϕ′ (t0 ) ψ ′ (t0 ) ω′ (t0 )
切平面方程
Fx (x0 , y0 , z0 ) (x − x0 ) + Fy (x0 , y0 , z0 ) ( y − y0 )
+ Fz (x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0
法线方程 x − x0
y − y0 z − z0 = = Fx (x0 , y0 , z0 ) Fy (x0 , y0 , z0 ) Fz (x0 , y0 , z0 )
提示:
1. 曲线的参数方程可视为: x=x, y=ϕ(x), z=ψ(x), 切向量为T =(1, ϕ′(x), ψ′(x)). 2. 两方程可确定两个隐函数: y=ϕ(x), z=ψ(x). 切向量为T =(1, ϕ′(x), ψ′(x)), 而ϕ′(x), ψ′(x)要通过解方程 组得到.
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法线方程
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用 向上,
表示法向量的方向角, 并假定法向量方向
法向量 n = ( − f x ( x0 , y0 ) , − f y ( x0 , y0 ) , 1) 将 f x (x0 , y0 ) , f y (x0 , y0 ) 分别记为 f x , f y , 则 法向量的方向余弦： 法向量的方向余弦： 方向余弦
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一、空间曲线的切线与法平面
设空间曲线Γ的参数方程为 x=ϕ(t), y=ψ(t), z=ω(t), 这里假定ϕ(t), ψ(t), ω(t)都在[α, β]上可导. 过曲线Γ上t=t0所对应的点M0切线方 程为 x − x0 y − y0 z − z0 . = = ϕ′(t0) ψ′(t0) ω′(t0) 向量T=(ϕ′(t0), ψ′(t0), ω′(t0))称为曲线Γ在点M0的切向量. 通过点M0而与切线垂直的平面称为曲线Γ在点M0处的法 平面, 其法平面方程为 ϕ′(t0)(x−x0)+ψ′(t0)(y−y0)+ω′(t0)(z−z0)=0.
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例3. 求椭球面 x2 + 2 y2 + 3z 2 = 36在点(1 , 2 , 3) 处的切 平面及法线方程. 解: 令 法向量
n = (2 x, 4 y, 6 z)
n
(1, 2, 3)
= (2, 8, 18)
所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有: 切平面方程 即 法线方程
在同一平面上. 此平面称为 ∑ 在该点的切平面 切平面. 切平面
Γ
下面证明: ∑ 上过点 M 的任何曲线在该点的切线都
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证:
在 ∑ 上,
∴ F(ϕ (t) , ψ (t) , ω (t) ) ≡ 0
两边在 t = t0 处求导,注意t = t0 对应点M ,
得
T
M
T
M
Γ
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特别, 特别 当光滑曲面∑ 的方程为显式
时, 令
F(x, y, z) = f (x, y) − z
则在点 (x, y, z), 故当函数 在点 ( x0 , y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
Σ 在点( x0 , y0 , z0 ) 有
切平面方程
z − z0 = f x (x0 , y0 ) (x − x0 )+ f y (x0 , y0 ) ( y − y0 )
又点 M 在球面上, 于是有
a σ = x0 y0 z0 = 3 3
3
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x2 + y2 + z 2 − 3x = 0 例6. 求曲线 在点(1,1,1) 的切线 2x − 3y + 5z − 4 = 0 与法平面. 解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为
y −x 1 −1 x− y = y z y−z 1 1