目录摘要 1 英文摘要 2 1微积分产生的背景 3 1.1萌芽时期 3 1.2准备时期 3 2微积分的建立 4 2.1牛顿 4 2.2莱布尼茨 5 2.3牛顿莱布尼茨创立微积分的比较 7 3微积分的发展及完善 8 4微积分的应用 9 4.1在数学学科中的应用 9 4.2在其他学科中的应用 12 5结语 13 6致谢 14 7参考文献 15摘要：本篇论文主要介绍了微积分的发展和应用。

微积分的发展过程，是从微积分产生的背景，微积分的建立，微积分的发展与完善这三个方面来介绍。

其中背景中简单介绍了萌芽时期古希腊数学家欧多克斯与阿基米德的思想，及中国此时期一些有关思想；准备时期出现的急需解决的问题，及数位数学家的方法。

在微积分的建立中着重对牛顿及莱布尼茨建立微积分的过程加以描述，牛顿和莱布尼茨关于建立微积分而作出的杰出贡献, 就在于他们分别提出了微积分的基本原理、三个重要概念流量、流数、瞬和“变量”数学的思想体系。

在微积分的发展和完善中对欧拉，柯西和黎曼对微积分的完善做了简单的介绍。

应用方面则是从数学学科和其他学科的应用来介绍的。

关键词：微积分牛顿莱布尼茨黎曼积分Abstract:This thesis mainly talk about the development and application of calculus.The development of caculus can be seen from the three aspects ：the backguound of its generatation ,its establish , its develop and its completion. Firstly simply introduced the idea of Eudoxus and Archimedes who were the famous mathematicians in ancient Greek in the budding period of calculus,the idea of Chinese mathematicians and some problems need to be solved in this period. Secondly we provide a detailed description of the outstanding contribution made by Newton and Leibniz. The two great men separately put forward the basic principles of calculus and some important concepts,like fluxion and they proposed the idea of“variable” stly we give a brief introduction of Euler,Cauchy and Riemann's accomplishment,which improved and perfected the calculus. The application of the caculas is introducted according to the application of the mathematic branch and other subjects.key words:calculus Newton Leibniz Riemann Integral浅议微积分的发展与应用微积分学,是人类思维的伟大成果之一。

到今天,微积分已成为基本的数学工具而被广泛地应用于自然科学的各个领域。

同样微积分也有着久远的历史，它是经过许多人的努力而建立起来的，下面就来简单介绍一下微积分的建立及发展过程。

1微积分产生的背景1.1萌芽时期微积分的萌芽出现得比较早,下面简单介绍一下。

古希腊数学家欧多克斯发展安提丰的“穷竭法”为“设给定两个不相等的量,如果以较大的量减去比它的一半大的量,再以所得量减去比这个量的一半大的量,继续重复这一过程,必有某个量将小于给定的较小的量”。

欧多克斯的穷竭法可看作微积分的第一步,但没有明确地用极限概念,也回避了“无穷小”概念,并证明了“棱椎体积是同等同高的棱柱体积的三分之一”。

古希腊数学家阿基米德在《处理力学问题的方法》一文中阐明了“平衡法”,即“将需要求积的量(面积、体积等)分成许多微小单元(如微小线段、薄片等) ,再用另一组微小单元来进行比较,而后一组小单元的总和是可以计算的,但它要借助于杠杆的平衡原理来计算”。

实质上“平衡法”是一种原始的“积分法”。

阿基米德用“平衡法”证明了球体积公式:球体积=343R π , 且等于外切圆柱体积2。

中国战国时代的《庄子·天下篇》中的“一尺之棰, 日取其半, 万事不竭”， 就蕴涵了无穷小的思想。

还有中国数学家刘徽,发明了“割圆术”——“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”,并求得圆周率π≈3.14 。

但这一时期微积分并没有引起人们的广泛关注。

1.2准备时期公元17世纪前后, 在欧洲资本主义开始萌芽、科学和生产技术开始发展的情况下, 出现了如下四个迫切需要解决的问题：（1）怎样用数学方法准确描述和处理各种物体运动的问题。

（2）怎样求曲线切线的问题。

（3）怎样求函数极大值与极小值的问题。

（4）如何求曲线的长度，曲线所围成图形的面积、体积的问题，物体的重心，一个物体作用于另一个物体上的引力。

正是这些问题的产生，让许多数学家开始用微积分的思想来解决问题，像德国天文学家、数学家开普勒与旋转体体积的问题；意大利数学家卡瓦列里不可分量原理；英国数学家沃利斯“无穷算术法”，比如将幂函数积分公式101n a na x dx n +=+⎰推及到分数幂()()101p q a p q p q q a q x dx a p q p q+==++⎰，不过沃利斯仅对1q =的特例给出了证明；国数学家笛卡尔用代数方法求切线的方法—“圆法”；法国业余数学家费马求极大值与极小值的方法，按费马的方法，设函数()f x 在点a 处取值，用a e +代替原来的未知量a ，并使()f a e +与()f a 逼近，消去公共项后，用e 除两边再令e 消失，即()()00e f a e f a e =+-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，此方程求得的a 就是()f x 的极值点；还有英国数学家巴罗在《几何讲义》中应用“微分三角形”给出了求曲线切线的方法，这对于他的学生牛顿完成微积分理论起到了重要作用。

2微积分的建立17世纪后期，牛顿与莱布尼茨分别独立创立了微积分。

下面就介绍下两人创立微积分的过程。

2.1牛顿牛顿1642年生于英格兰东海岸中部的一个农民家庭, 从小勤奋好学, 常常思考大自然的道理, 喜欢动手制做各种奇妙的玩具和器械。

1661 年, 由于成绩优秀考入英国剑桥大学三一学院, 在此幸运地得到巴鲁教授的指导。

牛顿对微积分问题的研究始于1664年。

当时他反复阅读笛卡尔的《几何学》，对笛卡尔求切线所用的“ 圆法”产生了极大的兴趣并试图寻找更好的求切线方法。

1665年，黑死病席卷伦敦，牛顿在获得剑桥大学学士学位后，不得不离开剑桥，回到家乡避难.在躲避瘟疫期间，他继续探讨微积分并取得了突破性进展：将两个不相关的问题——切线问题与求积问题联系起来，建立了两者之间的桥梁，并称之为“ 流数术”（ 流数即后来的导数) 。

1666年5月，他又建立了“ 反流数术”( 即现在的积分法) 。

同年10月，牛顿将他这两年的研究成果整理成一篇总结性的论文，此文现在被称为《流数简论》，它是历史上第一篇系统的微积分文献。

牛顿关于微积分的主要著作有三部：《运用无穷多次方程的分析学》（简称《分析学》；《流数法和无穷极数》（简称《流数法》）和《曲线求积术》（简称《求积术》）。

在《分析学》中，牛顿给出一种曲线求积法，假定一条曲线, 曲线下的面积Z 已知是m Z ax =他把x 的无限小的增量叫做x 的瞬，并用0（即现在用的dx ）表示，0y （即现在用的dy ）是面积的瞬，则有()0mz y a x a +=+从第二个式子减去第一个，用0除方程两边，略去仍含有的0项，就得到1max m y -=。

用现在的话来讲，1max m dz y dx-==即面积在任意点x 的变化率是曲线在x 处的y 值。

反过来, 如果曲线是1max m y -=，那么, 在它下面的面积就是m Z ax =。

他还引进了不定积分，并得到了不定积分的若干基本性质，在牛顿以前，导数同积分本质上是平行发展、互不相干的，它们的互逆性质在其前辈中并不十分明确，牛顿的思想用今天的符号表示就是()()x a dy d f t dt f x dx dx==⎰ 牛顿是历史上第一明确揭示这种互逆关系并给出有效的计算方法的人这标志着牛顿创立了微积分。

关于求积问题，牛顿是将其视为求面积变化率的逆过程，即今天常用的求积运算法不定积分法.在面积的观念上，牛顿不把面积视为无限多个“无穷小矩形”面积之和，而把求积过程等同于求变化率的逆过程。

这就是今天的微积分基本公式“牛顿-莱布尼兹公式”。

在《流数法》中，他认为变量是连续运动产生的，牛顿更清楚地陈述了微积分的基本问题:已知两个流之间的关系，求它们流数之间的关系，以及它的逆问题，牛顿称变化率为流数，称变化的量为流量，设,x y 为流量，则它们的流数 ，在《流数法》中，牛顿从流数出发，清楚地陈述了微积分的基本问量为,x y题是：“已知量的关系，要算出他们的流数，以及反过来”。

比曲线求积法更一般化。

另外, 牛顿指出若用0表示“无穷小的时间间隔”，那么x 0和y 0就是和的无穷小增量, 或者说是x和y的瞬。

有了流量、流数和瞬三个重要概念, 牛顿把它们广泛地用到几何问题和力学问题的求解上去, 他用作曲线的切线,来求解函数的极值问题, 求曲线的曲率、曲线的长度, 以及求以曲线为界的平面图形的面积。

后来，在《求积术》中，牛顿又使用了所谓“最初比”与“最终比”，但本质上没什么新的内容。

2.2莱布尼茨莱布尼茨于1646 年7 月1 日,出生在德国东部莱比锡，从小学习了很多著名学者的著作,为他后来成为举世罕见的科学家奠定了坚实的文化功底和明确的学术目标。

1663 年莱布尼茨在耶舒大学学习短时期的数学,并获得哲学硕士学位。

1666的莱布尼茨获得了该校法学博士学位。

毕业后,便投身于外交界,工作期间遍游欧洲各国,接触了数学界不少名流,访问巴黎时,深受惠更斯的启发,决心钻研高等数学,并仔细钻研了大数学家笛卡儿、费尔马、怕斯卡等人的名著,为他后来的开创性工作,打下了坚实的基础。