当前位置:文档之家› 高中数学必修五数列单元综合测试(含答案)

高中数学必修五数列单元综合测试(含答案)

数列单元测试题命题人:张晓光一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的。

)1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 33-S 22=1,则数列{a n }的公差是( )A.12B .1C .2D .3 2.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若8a 2+a 5=0,则下列式子中数值不能确定的是( )A.a 5a 3B.S 5S 3 C.a n +1a n D.S n +1S n3.设数列{a n }满足a 1=0,a n +a n +1=2,则a 2011的值为( ) A .2 B .1 C .0 D .-2 4.已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n +1(n ∈N *)且a 2+a 4+a 6=9,则log 13(a 5+a 7+a 9)的值是( )A .-5B .-15C .5 D.155.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n =7n +45n +3,则使得a nb n为正偶数时,n 的值可以是( )A .1B .2C .5D .3或116.各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1,且a 2,12a 3,a 1成等差数列,则a 3+a 4a 4+a 5的值为( )A.1-52B.5+12C.5-12D.5+12或5-127.已知数列{a n }为等差数列,若a 11a 10<-1,且它们的前n 项和S n 有最大值,则使得S n >0的最大值n 为( )A .11B .19C .20D .218.等比数列{a n }中,a 1=512,公比q =-12,用Πn 表示它的前n 项之积:Πn =a 1·a 2·…·a n ,则Πn 中最大的是( )A .Π11B .Π10C .Π9D .Π89.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,S 3=a 5,a m =2011,则m =( ) A .1004 B .1005 C .1006 D .100710.已知数列{a n }的通项公式为a n =6n -4,数列{b n }的通项公式为b n =2n ,则在数列{a n }的前100项中与数列{b n }中相同的项有( )A .50项B .34项C .6项D .5项 二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分,把正确答案填在题中横线上)11.已知数列{a n }满足:a n +1=1-1a n ,a 1=2,记数列{a n }的前n 项之积为P n ,则P 2011=________.12.秋末冬初,流感盛行,荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n },已知a 1=1,a 2=2,且a n +2-a n =1+(-1)n (n ∈N *),则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人.13.已知等比数列{a n }中,各项都是正数,且a 1,12a 3,2a 2成等差数列,则a 3+a 10a 1+a 8=________.14.在如图的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,15.数列{a n }中,a 1=1,a n 、a n +1是方程x 2-(2n +1)x +1b n=0的两个根,则数列{b n }的前n 项和S n =________.三、解答题(本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16.(本小题满分12分)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n =pn 2-2n +q (p ,q ∈R ),n ∈N *.(1)求q 的值;(2)若a 3=8,数列{b n }满足a n =4log 2b n ,求数列{b n }的前n 项和.17.(本小题满分12分)等差数列{a n }的各项均为正数,a 1=3,前n 项和为S n ,{b n }为等比数列,b 1=1,且b 2S 2=64,b 3S 3=960. (1)求a n 与b n ;(2)求1S 1+1S 2+…+1S n 的值.18.(本小题满分12分)已知数列{b n }前n 项和为S n ,且b 1=1,b n +1=13S n .(1)求b 2,b 3,b 4的值; (2)求{b n }的通项公式;(3)求b 2+b 4+b 6+…+b 2n 的值.19.(本小题满分12分)已知f (x )=m x (m 为常数,m >0且m ≠1).设f (a 1),f (a 2),…,f (a n )…(n∈N )是首项为m 2,公比为m 的等比数列. (1)求证:数列{a n }是等差数列;(2)若b n =a n f (a n ),且数列{b n }的前n 项和为S n ,当m =2时,求S n ;(3)若c n =f (a n )lg f (a n ),问是否存在m ,使得数列{c n }中每一项恒小于它后面的项?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.20.(本小题满分13分)将函数f (x )=sin 14x ·sin 14(x +2π)·sin 12(x +3π)在区间(0,+∞)内的全部最值点按从小到大的顺序排成数列{a n }(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2n a n ,数列{b n }的前n 项和为T n ,求T n 的表达式.21.(本小题满分14分)数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =n (n +1)(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足:a n =b 13+1+b 232+1+b 333+1+…+b n3n +1,求数列{b n }的通项公式;(3)令c n =a n b n4(n ∈N *),求数列{c n }的前n 项和T n .数列单元测试题命题人:张晓光一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的。

)1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足S 33-S 22=1,则数列{a n }的公差是( )A.12 B .1 C .2 D .3 [答案] C[解析] 设{a n }的公差为d ,则S n =na 1+n (n -1)2d ,∴{S n n }是首项为a 1,公差为d 2的等差数列,∵S 33-S 22=1,∴d2=1,∴d =2. 2.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ,若8a 2+a 5=0,则下列式子中数值不能确定的是( )A.a 5a 3B.S 5S 3 C.a n +1a n D.S n +1S n[答案] D[解析] 等比数列{a n }满足8a 2+a 5=0,即a 2(8+q 3)=0,∴q =-2,∴a 5a 3=q 2=4,a n +1a n =q =-2,S 5S 3=a 1(1-q 5)1-q a 1(1-q 3)1-q=1-q 51-q 3=113,都是确定的数值,但S n +1S n =1-q n +11-q n的值随n 的变化而变化,故选D.3.设数列{a n }满足a 1=0,a n +a n +1=2,则a 2011的值为( ) A .2 B .1 C .0 D .-2 [答案] C[解析] ∵a 1=0,a n +a n +1=2,∴a 2=2,a 3=0,a 4=2,a 5=0,…,即a 2k -1=0,a 2k =2,∴a 2011=0.4.已知数列{a n }满足log 3a n +1=log 3a n +1(n ∈N *)且a 2+a 4+a 6=9,则log 13(a 5+a 7+a 9)的值是( )A .-5B .-15C .5 D.15[答案] A[分析] 根据数列满足log 3a n +1=log 3a n +1(n ∈N *).由对数的运算法则,得出a n +1与a n 的关系,判断数列的类型,再结合a 2+a 4+a 6=9得出a 5+a 7+a 9的值.[解析] 由log 3a n +1=log 3a n +1(n ∈N *)得,a n +1=3a n ,∴数列{a n }是公比等于3的等比数列,∴a 5+a 7+a 9=(a 2+a 4+a 6)×33=35,∴log 13(a 5+a 7+a 9)=-log 335=-5.5.已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ,且A n B n =7n +45n +3,则使得a nb n为正偶数时,n 的值可以是( )A .1B .2C .5D .3或11 [答案] D[解析] ∵{a n }与{b n }为等差数列,∴a n b n =2a n 2b n =a 1+a 2n -1b 1+b 2n -1=A 2n -1B 2n -1=14n +382n +2=7n +19n +1,将选项代入检验知选D. 6.各项都是正数的等比数列{a n }的公比q ≠1,且a 2,12a 3,a 1成等差数列,则a 3+a 4a 4+a 5的值为( )A.1-52B.5+12C.5-12D.5+12或5-12[答案] C[解析] ∵a 2,12a 3,a 1成等差数列,∴a 3=a 2+a 1,∵{a n }是公比为q 的等比数列,∴a 1q 2=a 1q +a 1,∴q 2-q -1=0,∵q >0,∴q =5+12. ∴a 3+a 4a 4+a 5=1q=5-12,故选C.7.已知数列{a n }为等差数列,若a 11a 10<-1,且它们的前n 项和S n 有最大值,则使得S n >0的最大值n 为( )A .11B .19C .20D .21[答案] B[解析] ∵S n 有最大值,∴a 1>0,d <0,∵a 11a 10<-1,∴a 11<0,a 10>0,∴a 10+a 11<0,∴S 20=20(a 1+a 20)2=10(a 10+a 11)<0,又S 19=19(a 1+a 19)2=19a 10>0,故选B.8.等比数列{a n }中,a 1=512,公比q =-12,用Πn 表示它的前n 项之积:Πn =a 1·a 2·…·a n ,则Πn 中最大的是( )A .Π11B .Π10C .Π9D .Π8解析:Πn =a 1a 2…a n =a n 1·q 1+2+…+n -1=29n ⎝⎛⎭⎫-12(n -1)n 2=(-1)n (n -1)22-n 2+19n 2,∴当n =9时,Πn 最大.故选C9.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 1=1,S 3=a 5,a m =2011,则m =( ) A .1004 B .1005 C .1006 D .1007[答案] C[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ a 1=13a 1+3×22d =a 1+4d,∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1=1d =2, ∵a m =a 1+(m -1)d =1+2(m -1)=2m -1=2011,∴m =1006,故选C.10.已知数列{a n }的通项公式为a n =6n -4,数列{b n }的通项公式为b n =2n ,则在数列{a n }的前100项中与数列{b n }中相同的项有( )A .50项B .34项C .6项D .5项[答案] D[解析] a 1=2=b 1,a 2=8=b 3,a 3=14,a 4=20,a 5=26,a 6=32=b 5,又b 10=210=1024>a 100,b 9=512,令6n -4=512,则n =86,∴a 86=b 9,b 8=256,令6n -4=256,∵n ∈Z ,∴无解,b 7=128,令6n -4=128,则n =22,∴a 22=b 7,b 6=64=6n -4无解,综上知,数列{a n }的前100项中与{b n }相同的项有5项.二、填空题(本大题共5个小题,每小题5分,共25分,把正确答案填在题中横线上)11.已知数列{a n }满足:a n +1=1-1a n ,a 1=2,记数列{a n }的前n 项之积为P n ,则P 2011=________.[答案] 2[解析] a 1=2,a 2=1-12=12,a 3=1-2=-1,a 4=1-(-1)=2,∴{a n }的周期为3,且a 1a 2a 3=-1,∴P 2011=(a 1a 2a 3)670·a 2011=(-1)670·a 1=2.12.秋末冬初,流感盛行,荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n },已知a 1=1,a 2=2,且a n +2-a n =1+(-1)n (n ∈N *),则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人. [答案] 255[解析] ∵a n +2-a n =1+(-1)n (n ∈N *),∴n 为奇数时,a n +2=a n ,n 为偶数时,a n +2-a n=2,即数列{a n }的奇数项为常数列,偶数项构成以2为首项,2为公差的等差数列.故这30天入院治疗流感人数共有15+(15×2+15×142×2)=255人.13.已知等比数列{a n }中,各项都是正数,且a 1,12a 3,2a 2成等差数列,则a 3+a 10a 1+a 8=________.[答案] 3-2 2[解析] ∵a 1,12a 3,2a 2成等差数列,∴a 3=a 1+2a 2,设数列{a n }公比为q ,则a 1q 2=a 1+2a 1q ,∵a 1≠0,∴q 2-2q -1=0,∴q =-1±2,∵a n >0,∴q =2-1,∴a 3+a 10a 1+a 8=q 2=3-2 2. 14.在如图的表格中,每格填上一个数字后,使每一横行成等差数列,每一纵列成等比数列,[答案] 22[解析] 由横行成等差数列知,6下边为3,从纵列成等比数列及所有公比相等知,公比q =2,∴b =2×2=4由横行等差知c 下边为4+62=5,故c =5×2=10,由纵列公比为2知a =1×23=8,∴a +b +c =22.15.数列{a n }中,a 1=1,a n 、a n +1是方程x 2-(2n +1)x +1b n=0的两个根,则数列{b n }的前n 项和S n =________.[答案] nn +1[解析]由题意得a n +a n +1=2n +1,又∵a n -n =-[a n +1-(n +1)],a 1=1∴a n =n ,又a n ·a n +1=1b n ,∴b n =1n (n +1).∴S n =b 1+b 2+…+b n =1-1n +1=.三、解答题(本大题共6个小题,共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16.(本小题满分12分)(2011·甘肃天水期末)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n =pn 2-2n +q (p ,q ∈R ),n ∈N *. (1)求q 的值;(2)若a 3=8,数列{b n }满足a n =4log 2b n ,求数列{b n }的前n 项和. [解析] (1)当n =1时,a 1=S 1=p -2+q ,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=pn 2-2n +q -p (n -1)2+2(n -1)-q =2pn -p -2 ∵{a n }是等差数列,∴p -2+q =2p -q -2,∴q =0. (2)∵a 3=8,a 3=6p -p -2,∴6p -p -2=8,∴p =2, ∴a n =4n -4,又a n =4log 2b n ,得b n =2n -1,故{b n }是以1为首项,2为公比的等比数列. 所以数列{b n }的前n 项和T n =(1-2n )1-2=2n -1.17.(本小题满分12分)等差数列{a n }的各项均为正数,a 1=3,前n 项和为S n ,{b n }为等比数列,b 1=1,且b 2S 2=64,b 3S 3=960. (1)求a n 与b n ;(2)求1S 1+1S 2+…+1S n的值.解:(1)设{a n }的公差为d ,{b n }的公比为q ,则d 为正数,a n =3+(n -1)d ,b n =q n -1,依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 2b 2=(6+d )q =64S 3b 3=(9+3d )q 2=960, 解得⎩⎪⎨⎪⎧d =2q =8 或⎩⎨⎧d =-65q =403(舍去),故a n =3+2(n -1)=2n +1,b n =8n -1.(2)由(1)知S n =3+5+…+(2n +1)=n (n +2),所以1S 1+1S 2+…+1S n =11×3+12×4+13×5+…+1n (n +2)=12⎝⎛⎭⎫1-13+12-14+13-15+…+1n -1n +2 =12⎝⎛⎭⎫1+12-1n +1-1n +2=34-2n +32(n +1)(n +2). 18.(本小题满分12分)已知数列{b n }前n 项和为S n ,且b 1=1,b n +1=13S n .(1)求b 2,b 3,b 4的值; (2)求{b n }的通项公式;(3)求b 2+b 4+b 6+…+b 2n 的值.[解析] (1)b 2=13S 1=13b 1=13,b 3=13S 2=13(b 1+b 2)=49,b 4=13S 3=13(b 1+b 2+b 3)=1627.(2)⎩⎨⎧b n +1=13S n ①b n =13S n -1 ②①-②解b n +1-b n =13b n ,∴b n +1=43b n ,∵b 2=13,∴b n =13·⎝⎛⎭⎫43n -2(n ≥2)∴b n =⎩⎪⎨⎪⎧1 (n =1)13·⎝⎛⎭⎫43n -2(n ≥2).(3)b 2,b 4,b 6…b 2n 是首项为13,公比⎝⎛⎭⎫432的等比数列, ∴b 2+b 4+b 6+…+b 2n =13[1-(43)2n ]1-⎝⎛⎭⎫432=37[(43)2n -1]. 19.(本小题满分12分)已知f (x )=m x (m 为常数,m >0且m ≠1).设f (a 1),f (a 2),…,f (a n )…(n∈N )是首项为m 2,公比为m 的等比数列. (1)求证:数列{a n }是等差数列;(2)若b n =a n f (a n ),且数列{b n }的前n 项和为S n ,当m =2时,求S n ;(3)若c n =f (a n )lg f (a n ),问是否存在m ,使得数列{c n }中每一项恒小于它后面的项?若存在,求出m 的取值范围;若不存在,请说明理由.[解析] (1)由题意f (a n )=m 2·m n -1,即ma n =m n +1. ∴a n =n +1,∴a n +1-a n =1,∴数列{a n }是以2为首项,1为公差的等差数列. (2)由题意b n =a n f (a n )=(n +1)·m n +1, 当m =2时,b n =(n +1)·2n +1,∴S n =2·22+3·23+4·24+…+(n +1)·2n +1① ①式两端同乘以2得,2S n =2·23+3·24+4·25+…+n ·2n +1+(n +1)·2n +2② ②-①并整理得,S n =-2·22-23-24-25-…-2n +1+(n +1)·2n +2 =-22-(22+23+24+…+2n +1)+(n +1)·2n +2 =-22-22(1-2n )1-2+(n +1)·2n +2=-22+22(1-2n )+(n +1)·2n +2=2n +2·n .(3)由题意c n =f (a n )·lg f (a n )=m n +1·lg m n +1=(n +1)·m n +1·lg m , 要使c n <c n +1对一切n ∈N *成立,即(n +1)·m n +1·lg m <(n +2)·m n +2·lg m ,对一切n ∈N *成立, ①当m >1时,lg m >0,所以n +1<m (n +2)对一切n ∈N *恒成立;②当0<m <1时,lg m <0,所以n +1n +2>m 对一切n ∈N *成立,因为n +1n +2=1-1n +2的最小值为23,所以0<m <23.综上,当0<m <23或m >1时,数列{c n }中每一项恒小于它后面的项.20.(本小题满分13分)将函数f (x )=sin 14x ·sin 14(x +2π)·sin 12(x +3π)在区间(0,+∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a n }(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =2n a n ,数列{b n }的前n 项和为T n ,求T n 的表达式.[解析] (1)化简f (x )=sin 14x ·sin 14(x +2π)·sin 12(x +3π)=sin x 4cos x 4·⎝⎛⎭⎫-cos x 2=-14sin x 其极值点为x =k π+π2(k ∈Z ),它在(0,+∞)内的全部极值点构成以π2为首项,π为公差的等差数列,a n =π2+(n -1)·π=2n -12π(n ∈N *).(2)b n =2n a n =π2(2n -1)·2n∴T n =π2[1·2+3·22+…+(2n -3)·2n -1+(2n -1)·2n ]2T n =π2[1·22+3·23+…+(2n -3)·2n +(2n -1)·2n +1]相减得,-T n =π2[1·2+2·22+2·23+…+2·2n -(2n -1)·2n +1]∴T n =π[(2n -3)·2n +3].21.(本小题满分14分)数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n =n (n +1)(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若数列{b n }满足:a n =b 13+1+b 232+1+b 333+1+…+b n3n +1,求数列{b n }的通项公式;(3)令c n =a n b n4(n ∈N *),求数列{c n }的前n 项和T n .[解析] (1)当n =1时,a 1=S 1=2,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=n (n +1)-(n -1)n =2n ,知a 1=2满足该式 ∴数列{a n }的通项公式为a n =2n .(2)a n =b 13+1+b 232+1+b 333+1+…+b n3n +1(n ≥1)①∴a n +1=b 13+1+b 232+1+b 333+1+…+b n3n +1+b n +13n +1+1②。

相关主题