Koch曲线是一条浪漫的分形曲线，它的周长为无限大，曲 线上任两点之间的距离也是无限大，却包围着有限的面积. 曲线在任何一点处都连续，但却处处“不可导”（每一点 都是“尖点”）. 这种奇怪的几何怪物的发现,向 还好我的 十九世纪的数学家提出了挑战，因 浪漫没这 为这种曲线打破了人们的直觉观念: 么抽象 连续曲线总能借助于铅笔的不间断 移动画出来，局部曲线总是 “光滑” 的. 但是Koch曲线提醒人们，在研 究无穷过程时，直觉是一个很不可 靠的向导，这种挑战迫使数学家们 为其职业制定更高更严的标准，曲 线的定义也需要加以修改，以适应 类似这种“病态”的雪花怪物.
用他的无穷、连续以及部分和的知识,引发出以下著名的悖论： 如果让阿基里斯(Achilles,古希腊神话中善跑的英雄)和
乌龟之间举行一场赛跑,让乌龟在阿基里斯前头1000米开始,假 定阿基里斯的速度是乌龟的10倍,他永远也追不上乌龟.芝诺的 理论依据是：当比赛开始的时候,阿基里斯跑了1000米,此时乌 龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时,乌龟仍 然前于他10米,…, 如此分析下去,显然阿基里斯离乌龟越来越近,但却是永远 也追不上乌龟的.这个结论显然是错误的,但奇怪的是,这种推理 在逻辑上却没有任何毛病.那么,问题究竟出在哪儿呢？
如果我们从级数的角度来分析这个问题,芝诺的这个悖论 就会不攻自破.
设乌龟的速度为 v ,则阿基里斯的速度为 10 v ,他跑完 1000 米所
1000 100 100 100 花的时间为 , 在这段时间里 , 乌龟又爬了 v 10v v v 100 10 米, 阿基里斯为跑完这段路又花费时间 ,此时乌龟又在他 10v v
n
1
1
1 则当 n N 时, 就有 n 0 , 2 1 即证得 lim n 0 . n 2
三、收敛数列的性质
收敛数列的极限必唯一. 性质1（极限的唯一性）
证 设 lim xn a, 又 lim xn b, 且 a b 由定义, n n 0, N1 , N 2 , 使得当n N 1时恒有 xn a ; 2 当n N 2时恒有 xn b ; 2 ba 取N maxN 1 , N 2 , 且令 2 则当n N时有 a b ( x n b) ( x n a ) ba . xn b xn a 2 2 2 这是不可能的，故收敛数列不可能有两个极限.
也就是说,如果赛程比这个距离短 ,则 乌龟胜； 如果赛程恰好等于这个距离,则双 方平分秋色； 否则,阿基里斯就要在距离起
1 点 1111 处追上并超过乌龟. 9
然而芝诺将这样一个直观上都不会产生怀疑的 问题与无限纠缠在一起，以至于在相当长时间内 不得不把“无限”排除在数学之外.直到19世纪， 当反应变量无限变化极限理论建立之后，才可用 极限理论回答芝诺的挑战.
(1)
称为无穷数列,简称数列.
其中的每个数称为数列的项， xn 称为通项(一般项)。
数列(1)记为 {xn } .
例如
2,4,8,,2 n ,;
1 1 1 1 , , ,, n ,; 2 4 8 2
{2 }
1 { n} 2
n
1,1,1, , ( 1)
n1
,;
n 1
{( 1)
n 1
x2
x1
x3 x4
xn
2.数列是整标函数 xn f ( n).
2、有界性
定义 : 对数列 x n , 若存在正数 M , 使得一切正 整数 n , 恒有 x n M 成立 , 则称数列 x n 有界 , 否则, 称为无界.
若存在实数 A ，对一切n 都满足 xn A ，
称 { xn } 为下有界 , A 是 { xn } 的下界；
第
n
次分叉：
4 周长为 Pn ( )n1 P1 n 1,2, 3 面积为 n 2 1 n 1 An An1 3{4 [( ) A1 ]} 9 1 1 2 1 n 1 n 2 A1 3 A1 3 4 ( ) A1 3 4 ( ) A1 9 9 9 1 1 4 1 4 2 1 4 n 2 A1 {1 [ ( ) ( ) ( ) ]} 3 3 9 3 9 3 9 n 2,3,
2. N与任意给定的正数有关.
xn a ： “ N”定义 : lim n
使当n N 时 , 恒有 xn a . N， 0 , 正整 数
; : 至少有一个或存在. 其中 : 每一个或任给的
几何解释:
x2
a x1 xN 1
2
a
a xN 2
做一个雪花蛋糕 会比较有趣，这 于是有 样就可以宣称 “我吃掉了一条 lim Pn 无限长的曲线” n 1 了. 3 2 3 3 . lim An A1 (1 ) A1 (1 ) n 4 5 5 1 9
雪花的面积存在极限（收敛）． 结论：雪花的周长是无 界的，而面积有界．
第二章 微积分的理 论——极限
§2.2 数列极限
一、数列概念
割圆术
我国古代数学家刘徽在《九章算术注》 利用圆内接正多边形计算圆面积的方法--割 圆术，就是极限思想在几何上的应用。
割圆术
“割之弥细，所 失弥少，割之又 割，以至于不可 割，则与圆周合 体而无所失矣”
——(魏晋)刘徽
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正六边形的面积 A1
截杖问题： 在《庄子· 天下篇》 中有‘截丈问题’ 的精彩论述：
一尺之棰，日取 其半，万世不竭.
初始长度为：1
截丈问题： 一尺之棰，日取 其半，万世不竭. 第一天剩的长度为：
1 2
截丈问题： 一尺之棰，日取 其半，万世不竭. 第二天剩的长度为：
1 2 2
截丈问题： 一之棰，日取 其半，万世不竭. 第三天剩的长度为：
}
1 4 ( 1) 2, , , ,1 2 3 n
,;
( 1)n1 1 n
3, 3 3 ,, 3 3 3 ,
递推公式 xn1 3 xn
说明： 1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一 动点在数轴上依次取 x1 , x2 , , xn , .
正十二边形的面积 A2
R


正 6 2 n 1 形的面积 An
A1 , A2 , A3 ,, An ,
S
说明：刘徽从圆内接正六边形，逐次边数加倍到正 3072边形得到圆周率 的近似值为3.1416
1、数列的定义
按自然数1,2,3, 编号依次排列的一列数
x1 , x2 ,
, xn ,
前面 10 米处,……,依次类推,阿基里斯需要追赶的全部路程为
1000 100 10
1 1 的几何级数,易求得它的和为 这是一个公比为 q 10
1000 10000 1 1111 ， 1 9 9 1 10
1000 10000 1 1111 ， 1 9 9 1 10
若存在 B ，对一切n 都满足 xn B ，
称 { xn } 为上有界 , B 是 {xn }的上界．
n n 数列 x 2 例如, 数列 xn 有界； n n1
无界
数轴上对应于有界数列的点 x n 都落在闭区间
[ M , M ]上.
3、单调性 数列{xn} 若满足 x1 x2 xn ,
Example Koch 雪花
做法：先给定一个正三角形，然后在每条 边上对称的产生边长为原边长的1/3的小 正三角形．如此类推在每条凸边上都做类 似的操作，我们就得到了面积有限而周长
无限的图形——“Koch雪花”．
设三角形 周长为 P 1 3, 3 面积为 A1 ; 4
第一次分叉：
4 周长为 P2 P 1, 3 1 面积为 A2 A1 3 A1 ; 9
1 给定 , 1000
1 , 只要 n 1000 时, 有 xn 1 1000
1 1 , 给定 , 只要 n 10000 时, 有 xn 1 10000 10000
1 任意给定 0, 取 N , 只要 n N 时,
恒有 xn 1 成立.
例如， x1 , x2 ,, xi , xn ,
列，简称子列．
x n1 , x n2 ,, x nk ,
而 xnk 在原数列xn 中却是第 nk 项，显然，nk k .
注意： 在子数列 xnk 中，一般项 xnk 是第 k 项，

数列有以下几种变化趋势:
有一定的
无限接近常数a
xN
x
当n N时, 所有的点 xn都落在 (a , a )内,
至多只有有限个 ( N个) 落在其外 .
n ( 1) 例6 证明 lim n n
证
n 1
1.
n ( 1) n 1 1 xn 1 1 ， n n
1 1 任给 0, 欲使 xn 1 , 只 要 , 或 n , n 1 取 N , 则当n N 时,
如果n无限增大时，数列{xn}
的通项xn无限接近于常数a，则称该数列 以a为极限，记做
lim xn a,
n
或
xn a (n ).
如果数列没有极限,就说数列是发散的.
1 0. 上例中， lim n n 2


以0为极限的变量称为无穷小量. 1 如 n 为n→∞时的无穷小量 2 每一项均为常数的数列称为常数列. 常数列的极限仍是该常数. 如数列{1,1,1,…}为常数列，且 lim 1 1.
n ( 1) n ( 1) n 1 就有 1 ，即 得 证lim n n n
n 1
1.
例7
1 证明 lim n 0 . n 2