第一讲：函数与数列的极限的强化练习题答案一、单项选择题1．下面函数与y x=为同一函数的是（）2.A y=.B y=ln.xC y e=.ln xD y e=解：ln lnxy e x e x===Q，且定义域(),-∞+∞，∴选D2．已知ϕ是f的反函数，则()2f x的反函数是（）()1.2A y xϕ=().2B y xϕ=()1.22C y xϕ=().22D y xϕ=解:令()2,y f x=反解出x：()1,2x y=ϕ互换x，y位置得反函数()12y x=ϕ，选A3．设()f x在(),-∞+∞有定义，则下列函数为奇函数的是（）()().A y f x f x=+-()().B y x f x f x=--⎡⎤⎣⎦()32.C y x f x=()().D y f x f x=-⋅解：()32y x f x=Q的定义域(),-∞+∞且()()()()()3232y x x f x x f x y x-=-=-=-∴选C4．下列函数在(),-∞+∞内无界的是（）21.1A yx=+.arctanB y x=.sin cosC y x x=+.sinD y x x=解: 排除法：A21122xxx x≤=+有界，B arctan2xπ<有界，C sin cosx x+≤故选D5．数列{}n x有界是lim nnx→∞存在的（）A 必要条件B 充分条件C 充分必要条件D 无关条件解：Q{}n x收敛时，数列n x有界（即nx M≤），反之不成立，（如(){}11n--有界，但不收敛，选A6．当n→∞时，21sinn与1kn为等价无穷小，则k= （）A12B 1C 2D -2解：Q2211sinlim lim111n nk kn nn n→∞→∞==，2k=选C二、填空题（每小题4分，共24分）7．设()11f xx=+，则()f f x⎡⎤⎣⎦的定义域为解： ∵()f f x ⎡⎤⎣⎦()111111f x x==+++112x xx≠-+=+ ∴()f f x ⎡⎤⎣⎦定义域为(,2)(2,1)(1,)-∞-⋃--⋃-+∞8．设2(2)1,f x x +=+ 则(1)f x -=解：（1）令()22,45x t f t t t +==-+()245f x x x =-+（2）()221(1)4(1)5610f x x x x x -=---+=-+9．函数44log log 2y x =+的反函数是解：（1）4log (2)y x =，反解出x ：214y x -=（2）互换,x y 位置，得反函数214x y -=10．()lim 12n nn n →∞+--=解：原式33lim212n n n n →∞=++-有理化11．若105lim 1,knn en --→∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭则k = 解：左式=5lim ()510n kn k nee e →∞---== 故2k =12．2352limsin 53n n n n→∞++= 解：Q 当n →∞时，2sinn ～2n∴原式=2532lim 53n n n n →∞+⋅+= 65三、计算题（每小题8分，共64分）13．求函数21arcsin71x y x -=-的定义域 解：{21113471110x x x x x --≤≤-≤≤><-->⎧⎪⎨⎪⎩⇔Q 或∴函数的定义域为[](3,1)1,4--⋃ 14．设sin1cos 2x f x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭求()f x 解：22sin 2cos21sin 222x x x f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭Q()()221f⎡⎤∴=-⎣⎦故()()221f x x=-15．设()f x ln x =，()g x 的反函数()()1211x g x x -+=-，求()()f g x解: （1） 求22():1x g x y x +=-Q ∴反解出x ：22xy y x -=+22x y y =+-互换,x y 位置得()22g x x x =+- (2)()()ln ln 22f g x g x x x ==⎡⎤⎣⎦+-16．判别()fx (ln x =的奇偶性。

解法（1）：()f x 的定义域(),-∞+∞，关于原点对称()(ln x x f -=-+Qln=(1ln ln(x x -=+=-+()f x =-()ln(f x x ∴=为奇函数解法（2）：()()f x f x +-Q(ln(ln x x =++-)ln (ln10x x ⎡⎤=+==⎢⎥⎣⎦()()f x f x ∴-=- 故()f x 为奇函数17．已知()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且()()11f xg x x +=-，求()f x 及()g x 解： 已知()()f x g x +()11x =⋯1- 1()()1f xg x x -+-=--Q 即有 1()()1f xg x x --=+()2⋯ ()()2∴1+得()11211f x x x =--+ 故 21()1f x x =-()()21-得()11211g x x x =+-+ 故2()1xg x x =-18．设32lim 8n n n a n a →∞+⎛⎫=⎪-⎝⎭，求a 的值。

解： 3323lim lim 1n nn n n a a n a n a →∞→∞+⎛⎫⎛⎫=+⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭Qlim,n naa n aee →∞-==8a e ∴=故ln83ln 2a ==19．求()111lim 12231nn n n →∞⎛⎫++⋯+ ⎪ ⎪⋅⋅+⎝⎭解：（1）拆项，11(1)(1)k kk k k k+-=++111,2,,1k n k k =-=⋯+ ()11112231n n ++⋯+⋅⋅+ 1111112231n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋯- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭111n =-+（2）原式=lim 11111lim n nn n n e e n →∞--+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭20．设()()0,1,x f x a a a =>≠ 求()()()21limln 12n f f f n n →∞⋅⋯⎡⎤⎣⎦ 解： 原式=()122ln 1lim nn a a a n →∞⋅⋯[]2ln 2ln ln 1lim n a a n a n→∞=++⋯+ 2ln 12limn a nn→∞⋯+=⋅++ 2(1)ln 2lim n n n a n →∞+=⋅⋅()ln 0,112a a a =>≠ 四、综合题（每小题10分，共20分） 21．设()f x()3f x =(){}f f f x ⎡⎤⎣⎦并讨论()3f x 的奇偶性与有界性。

解：（1）求()3f x()()2f x f x ==Q()()32f x f x f f x ===⎡⎤⎣⎦（2）讨论()3fx 的奇偶性()()33f x f x -==-Q()3f x ∴为奇函数（3）讨论()3f x 的有界性()3f x =<=Q()3f x ∴有界22．从一块半径为R 的圆铁片上挖去一个扇形，把留下的中心角为ϕ的扇形做成一个漏斗（如图），试将漏斗的容积V 表示成中心角ϕ的函数。

解：（1）列出函数关系式，设漏斗高为h ，底半径为r ，依题意：漏斗容积V=213r h πh r R π==ϕQ 2224R r h π2ϕ∴==故2234R V ππ2ϕ=⋅ =（2）函数的定义域()222240,2ππ-ϕ>ϕ<Q()0π∴<ϕ<2故)0V π=<ϕ<2 五、证明题（每小题9分，共18分）23．设()f x 为定义在(),-∞+∞的任意函数，证明()f x 可表示为一个偶函数与一个奇函数之和。

证：(1) ()()()2f x f x f x +-=()()2f x f x --+(2)令()()()()2f x f xg x x +-=-∞<<+∞()()()()2f x f xg x g x -+-==Q()g x ∴为偶函数(3)令()()()()2f x f x x x --ϕ=-∞<<+∞()()()()2f x f x x x --ϕ-==-ϕQ()x ∴ϕ为奇函数（4）综上所述：()f x ()g x =偶函数+()x ϕ奇函数24 设()f x 满足函数方程2()f x +1f x ⎛⎫⎪⎝⎭=1x，证明()f x 为奇函数。

证：（1）()()1121f x f x x ⎛⎫+=⋯⋯ ⎪⎝⎭Q令()11,2t f f t t xt ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭Q 函数与自变量的记号无关()()122f f x x x ⎛⎫∴+=⋯⋯ ⎪⎝⎭（2）消去1f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，求出()f x ()()()()2221:4f x f x x x-⨯-=-()()22223,3x x f x f x x x---==（3）()f x Q 的定义域()(),00,-∞⋃+∞又()()223x f x f x x--==--Q ()f x ∴为奇函数＊选做题1已知222(1)(21)126n n n n ++++⋯+=，求22233312lim 12n n n n n n →∞⎛⎫++⋯+ ⎪+++⎝⎭解: 222312n n n++⋯++Q2222233311211n n n n n n ++⋯+≤+⋯+≤+++且222312lim n n n n→∞++⋯++ ()()31(21)1lim36n n n n n n →∞++==+ 222312lim 1n n n →∞++⋯++3(1)(21)1lim 6(1)3n n n n n →∞++==+ ∴由夹逼定理知，原式13=2 若对于任意的,x y ，函数满足：()()()f x y f x f y +=+，证明()f y 为奇函数。

解 (1)求()0f ：令()()()0,0,02000x y f f f ===→=(2)令()()()()():0x y f f y f y f y f y =-=-+→-=-()f y ∴为奇函数第二讲：函数的极限与洛必达法则的强化练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分）1． 下列极限正确的（ ）A ． sin lim1x x x →∞= B ． sin limsin x x xx x→∞-+不存在 C ． 1lim sin 1x x x →∞= D ． limarctan 2x x π→∞=解：011sin lim sin lim x t t x tx x t→∞→=Q ∴选C注：sin 1sin 10lim 0;lim 1sin 101x x x x x A B x x x→∞→∞--===++2． 下列极限正确的是（ ）A ． 1lim 0x x e -→= B ． 10lim 0xx e +→= C ． sec 0lim(1cos )xx x e →+=D ． 1lim(1)xx x e →∞+=解：101lim 0xx e e e --∞∞→===Q ∴选A 注：:,:2,:1B C D +∞3． 若()0lim x x f x →=∞，()0lim x x g x →=∞，则下列正确的是 （ ） A ． ()()0lim x x f x g x →+=∞⎡⎤⎣⎦B ． ()()0lim x x f x g x →-=∞⎡⎤⎣⎦C ． ()()1lim0x x f x g x →=+D ． ()()0lim 0x x kf x k →=∞≠解：()()0lim lim x x x x k kf x k f x k →→≠==⋅∞∞Q∴选D4．若()2lim2x f x x→=， 则()lim3x xf x →= （ ）A ．3B ．13 C ．2 D ．12解：()()002323limlim 32x t tx x tf x f t →→=()021211lim 23323t f t t→==⋅= ∴选B5．设()1sin (0)0(0)1sin (0)x x x x f x x a x x ⎧<⎪⎪=⎪=⎨⎪+>⎪⎪⎩且()0lim x f x →存在，则a = （ ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 解：0sin lim 1,x xx→==Q 01lim sin x x a o a x +→⎡⎤⎛⎫+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 1a ∴= 选C6．当0x +→时，()1f x =是比x高阶无穷小，则 （ ）A ．1a >B ．0a >C ．a 为任意实数D ．1a <解：00112lim lim 01ax x xa a x ++→→>=∴> 故选A二 、填空题（每小题4分，共24分）7．lim 1xx x x →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭解：原式lim 1111lim 11x xxxx e e x →∞-∞-+→∞⎛⎫-== ⎪+⎝⎭8．2112lim 11x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭ 解：原式()()()112lim11x x x x →∞-∞+--+111lim12x x →==+9．()()()3100213297lim 31x x x x →∞-+=+ 解：原式3972132lim lim 3131x x x x x x →∞→∞∞⎛⎫ ⎪∞⎝⎭-+⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭328327⎛⎫== ⎪⎝⎭10．已知216lim 1x x ax x→++-存在，则a = 解：()1lim 10x x →-=Q()21lim 60x x ax →∴++=160,7a a ++==-11．1201arcsin lim sin xx x e x x -→⎛⎫+= ⎪⎝⎭解：11220011sin 1,lim 0lim sin 0xx x x e e x x-→→≤=∴=Q 又00arcsin limlim 1x x x xxx →→==Q 故 原式=112．若()220ln 1lim0sin n x x x x→+=且0sin lim01cos n x xx→=-,则正整数n =解：()2222ln 1limlimsin n nx x x x x xxx→→+⋅=Q 20420,lim 02n x n x n x→<>2,4,n n ∴>< 故3n =三、计算题（每小题8分，共64分）13．求sin 32limsin 23x x xx x→∞+-解： 原式=sin 32lim sin 23x xx xx→∞+- sin 31lim0sin 31,lim 0x x x x x x →∞→∞⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭Qsin 21lim 0sin 21,lim 0x x x x x x →∞→∞⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭ ∴原式022033+==-- 14．求()1cos x x x →-解：原式有理化x →0tan (1cos )1lim (1cos )2x x x x x →-=⋅- 0tan 111limlim 222x x x x x x →∞→=⋅==15．求21lim sin cos xx x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭解：令1t x=，当x →∞时，0t → 原式()10lim cos sin 2t t t t →=+ []10lim 1cos 1sin 2tt t t →=+-+()0cos 1sin 2lim2t t t tee →∞-+=16．求0ln cos 2limln cos3x xx→解：原式[][]ln 1cos 21limln 1cos31x x x →--+-变形0cos 21limcos31x x x →--等价()()2021242lim 1932x x x →-=-等价 注:原式02sin 2cos3limcos 23sin 3x x xx x→∞⎛⎫ ⎪∞⎝⎭-⨯- 49=⋯⋯=17．求02lim sin x x x e e xx x-→---解： 原式0020lim 1cos x x x e e x -→+-- 00000lim lim 2sin cos x xx xx x e e e e x x--→→++=18．设()fx 1,0x e a x x -⎧+>⎪=<且()0lim x f x →存在，求a 的值。