学习要求：1．理解数列极限的概念。

正确认识极限思想和方法是从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种辩证唯物主义的思想2．理解和掌握三个常用极限及其使用条件．能运用化归转化和分类讨论的思想解决数列极限问题的能力． 3．掌握数列极限的运算法则，并会求简单的数列的极限 4. 掌握无穷等比数列各项的和公式. 学习材料： 一、基本知识1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞=，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于a ”“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思lim n n a a →∞=有时也记作：当n →∞时，n a →a ．理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项n a 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项n a 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大n a 越来越接近于a ；另一方面，n a 不是一般地趋近于a ，而是“无限”地趋近于a ，即n a a -随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限： （1）01lim=∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数） （3）lim 0nn a →∞= (a 为常数1a <)，当1a =时，lim 1nn a →∞=；当1a =-或1a >时，lim nn a →∞不存在。

3. 数列极限的运算法则:与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞→∞→那么B A b a n n n +=+∞→)(lim B A b a n n n -=-∞→)(limB A b a n n n .).(lim =∞→ )0(lim≠=∞→B B Ab a nn n特别：若C 为常数，则lim()lim n n n n C a c a CA →∞→∞==推广：上面法则可以推广到有限．．多个数列的情况如，若{}na ，{}nb ，{}nc 有极限，则n n n n n n n n n n c b a c b a ∞→∞→∞→∞→++=++lim lim lim )(lim二、基本题目1．判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（1）1，21，31，…，n 1，… ； （2）3452,,,,234--…，1(1)n n n+-，…； （3）1010100(10)1(10)n n a n n ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩2.（1）若1lim()02nn a a→∞-=，则a 的取值范围是 。

（2）数列}{n a 的前n 项和为n S ，且213n n S a =-，求lim n n a →∞的值。

3． 已知,5lim =∞→n n a 3lim =∞→n n b ，求).43(lim n n n b a -∞→解：因为,5lim =∞→n n a 3lim =∞→n n b ，所以 lim(34)lim3lim43lim 4lim 15123n n n n n n n n n n n a b a b a b →∞→∞→∞→∞→∞-=-=-=-=4． 求下列极限：（1）)45(lim n n +∞→；（2）2)11(lim -∞→n n 解：（1）44lim(5)lim5lim 505n n n n n →∞→∞→∞+=+=+=；（2）22211lim(1)(lim lim1)(01)1n n n n n →∞→∞→∞-=-=-=5． 求下列极限：(1))21(lim 2n n n +∞→. (2)nn n 23lim -∞→. (3)232lim 22++∞→n n n n . (4)24323lim n n n n n -+∞→.解：(1)0001lim 202lim 1lim )21(lim 22=+=+=+=+∞→∞→∞→∞→n n n n n n n n n . (2) (方法一)3031lim 232lim 3lim )23(lim 23lim=-=-=-=-=-∞→∞→∞→∞→∞→n nn n n n n n n n .(方法二)∵n →∞，∴0n ≠.分子、分母同除n 的最高次幂.3131lim )23(lim 123lim23lim==-=-=-∞→∞→∞→∞→n n n n n n nn . 第二个题目不能体现“分子、分母同除n 的最高次幂”这个方法的优势.这道题目就可以.使用上述方法就简单多了.因为分母上是232n +，有常数项，所以 (2)的方法一就不能用了.(3)3203022lim 3lim 1lim2lim )23(lim )12(lim 2312lim 232lim22222=++=++=++=++=++∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n nn n n n n n n n n n n n n n . 规律一：一般地，当分子与分母是关于n 的次数相同的多项式时，这个公式在n →∞时的极限是分子与分母中最高次项的系数之比.(4)分子、分母同除n 的最高次幂即4n ，得.002001lim 2lim 1lim 3lim 1213lim 23lim 2323243=-+=-+=-+=-+∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n nn n n n n n n n n n n n . 规律二：一般地，当分子、分母都是关于n 的多项式时，且分母的次数高于分子的次数时，当n →∞时，这个分式极限为0. 6．求下列极限.(1))13(lim 2n n n n -+-∞→. (2)21323lim -++-∞→n n n . (3)1513lim ++-∞→n n n .解：(1)11131lim 13lim 13lim )13(lim 222=+--=+--=+---=-+-∞→∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n n n n n . (2)30103211323lim21323lim =-+=-++-=-++-∞→∞→nnn nn n n n .(3)001001lim1lim 5lim13lim 11513lim 1513lim 22=++=++-=++-=++-∞→∞→∞→∞→∞→∞→n n n n nn n n n n n n n n n n .说明：当n 无限增大时，分式的分子、分母都无限增大，分子、分母都没有极限，上面的极限运算法则不能直接运用两个（或几个）函数（或数列）的极限至少有一个不存在，但它们的和、差、积、商的极限不一定不存在7． 求下列极限：（1） )112171513(lim 2222+++++++++∞→n n n n n n ；（2）)39312421(lim 11--∞→++++++++n n n 解：先求和再求极限 （1） )112171513(lim 2222+++++++++∞→n n n n n n 222222[3(21)]1357(21)22lim lim lim lim 111111n n n n n n n n n n n n n n→∞→∞→∞→∞+++++++++=====++++（2）11212[()]1242212(21)33lim()lim lim lim 011139331(31)123n n nnn n n n n n n n n--→∞→∞→∞→∞-++++--====++++--- 8． 公比绝对值小于1的无穷等比数列前n 项和的极限公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和.设无穷等比数列 ,,,,,112111-n qa q a q a a 的公比q 的绝对值小于1，则其各项的和S 为qa S -=11)1(<q （1） 求无穷等比数列， ， ，… 各项的和.解：， ， ，…的首项10.3a =，公比0.1q =所以 s=+ + +…=0.3110.13=-（2）将无限循环小数。

92.0化为分数.解：0.290.290.00290.000029=+++＝224621111291029()29110101099110+++==- 练习：如图，在边长为l 的等边ABC ∆中，圆1O 为ABC ∆的内切圆，圆2O 与圆1O 外切，且与,AB BC 相切，…，圆1n O +与圆n O 外切，且与,AB BC 相切，如此无限继续下去，记圆n O 的面积为*()n a n N ∈.(Ⅰ)证明{}n a 是等比数列； （Ⅱ）求12lim()n n a a a →∞+++的值.。