中考数学
二次函数在闭区间上的最值-轴变区间定
一、 知识要点：
一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。

一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况.
设f x a x b xc a ()()=++≠2
0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。

分析：将f x ()配方，得顶点为--⎛⎝ ⎫⎭⎪b a
a c
b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值：
（1）当[]
-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a a c b a f x -⎛⎝ ⎫⎭⎪=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。

（2）当[]-∉b a
m n 2，时 若-<b a
m 2，由f x ()在[]m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a
<-2，由f x ()在[]
m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。

【例题分析归类】----正向型
是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。

对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。

此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。

3、轴变区间定
二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

例4. 已知x 21≤，且a -≥20，求函数f x x a x ()=++2
3的最值。

解：由已知有-≤≤≥112x a ，，于是函数f x ()是定义在区间[]
-11，上的二次函数，
将f x ()配方得：f x x a a ()=+⎛⎝ ⎫⎭⎪+-23422 二次函数f x ()的对称轴方程是x a =-2顶点坐标为--⎛⎝ ⎫⎭⎪a a 2
342，，图象开口向上 由a ≥2可得x a =-≤-2
1，显然其顶点横坐标在区间[]
-11，的左侧或左端点上。

函数的最小值是f a ()-=-14，最大值是f a ()14=+。

图3
例5. (1) 求2
f (x )x 2ax 1=++在区间[-1,2]上的最大值。

(2) 求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值。

解：(1)二次函数的对称轴方程为x a =-， 当1a 2-<即1a 2>-
时，max f (x )f (2)4a 5==+； 当1a 2-≥即1a 2≤-时，max f (x )f (1)2a 2=-=+。

综上所述：max 12a 2,a 2f (x )14a 5,a 2
⎧-+≤-⎪⎪=⎨⎪+>-⎪⎩。

(2)函数4)2(22a a x y +--=图象的对称轴方程为2a x =，应分12
1≤≤-a ，12-<a ，12>a 即22≤≤-a ，2-<a 和2>a 这三种情形讨论，下列三图分别为
（1）2-<a ；由图可知max ()(1)f x f =-
（2）a ≤-22≤；由图可知max ()()2
a f x f =
（3） 2>a 时；由图可知max ()(1)f x f =
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤≤--<-=2,)1(22,)2(2,)1(a f a a f a f y 最大；即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<+-=2
,122,42,)1(2a a a a a a y 最大。