二次函数在闭区间上的最值问题湖北省荆州中学 鄢先进二次函数在闭区间上的最值问题是高中数学的重点和热点问题，频繁出现在函数试题中，很受命题者亲睐。

影响二次函数在闭区间上最值问题的主要因素是二次函数图像的开口方向与所给区间和对称轴的位置关系。

本文介绍有关二次函数在闭区间上最值问题的常见类型及解题策略，供同学们参考。

类型一 定轴定区间例1．已知函数2()2f x x x =-，求()f x 的最小值. 解：22()2(1)1f x x x x =-=-- 由图像可知，当1x =时，min ()1f x =-变式1．已知函数2()2f x x x =-，[2,4]x ∈，求()f x 的最小值。

分析：由图像可知，函数)(x f 在[2,4]为增函数，min ()(2)0f x f ∴==变式2．已知函数2()2f x x x =-，[0,3]x ∈，求()f x 的最大值.分析：由图像可知函数()f x 在[0,1]上递减，在[1,3]上递增，且3离对称轴的距离大于0离对称轴的距离。

max ()(3)3f x f ∴==例2．已知二次函数f x ax ax a ()=++-2241在区间[]-41，上的最大值为5，求实数a 的值。

解：将二次函数配方得f x a x a a ()()=++--24122，函数图像对称轴方程为x =-2，顶点坐标为()---2412，a a ，图像开口方向由a 决定。

很明显，其顶点横坐标在区间[]-41，内。

x①若a <0，函数图像开口向下，如下图1所示。

当x =-2时，函数()f x 取得最大值5 即f a a ()-=--=24152，解得a =±210 故a a =-=+210210()舍去图1 图2②若a >0，函数图像开口向上，如上图2所示，当x =1时，函数()f x 取得最大值5 即f a a ()15152=+-=，解得a a ==-16或，故a a ==-16()舍去综上可知：函数f x ()在区间[]-41，上取得最大值5时，a a =-=2101或 点拨：求解有关二次函数在闭区间上的最值问题，应先配方，作出函数图像，然后结合其图像研究，要特别注意开口方向、对称轴和区间的相对位置。

在例1中，二次函数图像的开口，对称轴和区间都是固定的，需引起同学们注意的是，当函数的最值的取得在区间两个端点都有可能的时候，要比较端点与对称轴距离的大小。

在例2中，二次函数图像的对称轴和区间是固定的，但图像开口方向是随参数a 变化的，要注意讨论。

小结：二次函数2()()f x a x k h =-+(0)a >在区间[,]m n 最值问题。

①若[,]k m n ∈，则min ()()f x f k h ==，max ()max{()()}f x f m f n =⋅ ②若[,]k m n ∉，当k m <时，min ()()f x f m =，max ()()f x f n =当k n >时，min ()()f x f n =，max ()()f x f m =当0a <时，仿此讨论 类型二 定轴动区间例3．已知函数22,[2,]y x x x a =-∈-，求函数的最小值().g a分析：由于函数图像的对称轴为1x =，区间左端点固定，区间右端点的位置不能确定，所以需分两类进行讨论，即①对称轴在区间[2,]a -内，②对称轴在区间[2,]a -右侧。

解：函数222(1)1y x x x =-=--①当21a -<<时，函数在[2,]a -上单调递减，则当x a =时，2min 2y a a =- ②当1a ≥时，函数在[2,1]-上单调递减，在[1,]a 上单调递增，则当1x =时，mi n 1y =-。

综上可知：22()1a a g a ⎧-=⎨-⎩211a a -<<≥例4．已知函数2()62x f x x =-++在区间[,]m n 上的值域是[22,22]m n --，求,m n 的值.分析：由于函数图像的对称轴为1x =，而区间左右端点值均含有参数，所以要分三类进行讨论，即①对称轴在区间右侧②对称轴在区间内③对称轴在区间左侧解：22113()6(1)222x f x x x =-++=--+①若1m n <≤，则max ()()2 2.f x f n n ==- m i n ()()2 2.f x f m m ==-经验证无解。

②若1.m n <<则()f x 在区间[,1]m 单调递增，在[1,]n 上单调递减，因此max ()(1)2 2.f x f n ==-()f x 在x m =或x n =处取最小值22m -。

故13222n -=得17.4n = 由于21171339220.().(1)024232m f n -<=--+=>故()f x 在x m =处取最小值2 2.m -即2113(1)2222m m --+=-解得1m =-③若1.m n ≤<则max ()()2 2.f x f m n ==-min ()()2 2.f x f n m ==- 解得2, 4.m n ==综上可知1174m n ⎧=-⎪⎨=⎪⎩或24m n =⎧⎨=⎩.点拨：当二次函数解析式确定，但自变量取值区间变化时，需根据对称轴和区间的位置关系，对区间参数进行讨论。

类型三 动轴定区间例5．求2()21f x x ax =--在区间[0,2]上的最大值和最小值。

分析：因为有自变量有限制条件，要求函数最值，最好是先作出函数图像，作二次函数图像时先看开口方向，再看对称轴的位置，因为此函数图像对称轴.x a =位置不定，并且在不同的位置产生的结果也不同，所以要以对称轴的位置进行分类讨论。

解：22()()1f x x a a =---，对称轴为.x a =①当0a <时，由图①可知，min ()(0)1f x f ==-，max ()(2)34.f x f a ==- ②当01a ≤<时，由图②可知，2min ()()1,f x f a a ==--max ()(2)34.f x f a ==- ③当12a ≤≤时，由图③可知，2min ()()1,f x f a a ==--max ()(0) 1.f x f ==- ④当2a >时，由图④可知，min ()(2)34,f x f a ==-max ()(0) 1.f x f ==-点拨：当二次函数开口方向和给定区间固定，对称轴位置不确定时，只要讨论对称轴和给定区间的位置关系即可，结合图像需分两种或三种情况讨论。

例6．已知二次函数2()21f x x ax a =-++-在[01]，上有最大值2，求a 的值． 解：22()()1f x x a a a =--+-+．①当0a <时，max ()(0)2f x f ==，得1a =-． ②当01a ≤≤时，max ()()2f x f a ==，解得1[01]2a ±=∉，，故该方程在[01]，上①②③④无解．③当1a >时，max ()(1)2f x f ==，得2a =． 综上可知：1a =-或2a =．点拨：求解二次函数在闭区间上的最值问题，关键是抓住“三点一轴”，“三点”即区间端点与区间中点，“一轴”即二次函数的对称轴，合理进行讨论。

类型四 动轴动区间例7．设a 是正实数，2ax y +=(0,0).x y ≥≥若2132y x x +-的最大值是().M a 求()M a 的表达式.分析：该题是二元函数求最大值，应先由2ax y +=解出y 代入，消元，转化为关于x 的二次函数，再求最大值。

解：设21()32f x y x x =+-由2ax y +=得2y ax =-222111()(2)3[(3)](3) 2.222f x ax x x x a a ∴=-+-=---+-+0y ≥ 20ax ∴-≥.又0,0a x >≥，2[0,].x a∴∈①当203(0)a a a<-<>即01a <<或23a <<时21()(3)(3) 2.2M a f a a ∴=-=-+②当23(0)a a a -≥>即12a ≤≤时∴2226()()M a f a a a ==-+③当30a -≤即3a ≥时∴()(0)2M a f ==综上可知：221(3)2226()2a M a a a ⎧-+⎪⎪⎪=-+⎨⎪⎪⎪⎩(0123)(12)(3)a a a a <<<<≤≤≥或点拨：当二次函数对称轴和区间都不固定时，还是应先配方，理清函数对称轴和区间的位置关系，然后对参数进行讨论。

通过前面二次函数在闭区间上的最值问题的四类题型，我们可以发现二次函数的最值总是在对称轴或区间端点处取得，要是同学们理解了这一点，解决问题还会有意想不到的效果。

例8 ．已知函数2()(21)3f x ax a x =+--(0)a ≠在区间3[,2]2-上最大值为1，求实数a 的值.分析：若按常规方法从求函数最大值直接入手，则需作如下分类讨论：①当a <0时，分三种情况讨论最大值， ②当a >0时，分两种情况讨论最大值。

一共有五种情形，过程繁琐。

若从整体角度分析，注意到函数()f x 的最大值只可能产生在二次函数的顶点或端点处，这样可以先求函数()f x 在顶点和端点的函数值，再逐一验证参数的正确性即可。

解：函数()f x 的最大值只能在132x =-，或22x =，或3122ax a-=处取得．①令3()12f -=，解得103a =-，此时01223322202a x a -⎡⎤==-∈-⎢⎥⎣⎦，．故()f x 的最大值不可能在1x 处取得．（103a =-，抛物线开口向下） ②令(2)1f =，解得34a =，此时0321212232a x a -+-==-<．故max ()(2)f x f =，得34a =，符合题意． ③令1212a f a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得32a -±=．要使()f x 在0122a x a -=处取得最大值，必须且只须0a <且03[,2]2x ∈-，经检验，只有a =综上可知：34a =或32a +=-点拨：本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法。

其实二次函数在闭区间上最值问题的本质就是讨论函数在区间内的单调性，在解决有关二次函数的最值问题时，我们要充分利用二次函数图像来分析问题，结合开口方向，对称轴和所给区间的位置关系，合理的进行分类讨论，有时采用逆向思维，还会有事半功倍的效果。