matlab实现牛顿迭代法求解非线性方程组
已知非线性方程组如下
3*x1-cos(x2*x3)-1/2=0
x1^2-81*(x2+0.1)^2+sin(x3)+1.06=0
exp(-x1*x2)+20*x3+(10*pi-3)/3=0
求解要求精度达到0.00001 ————————————————————————————————
首先建立函数fun
储存方程组编程如下将fun.m保存到工作路径中:
function f=fun(x);
%定义非线性方程组如下
%变量x1 x2 x3
%函数f1 f2 f3
syms x1 x2 x3
f1=3*x1-cos(x2*x3)-1/2;
f2=x1^2-81*(x2+0.1)^2+sin(x3)+1.06;
f3=exp(-x1*x2)+20*x3+(10*pi-3)/3;
f=[f1 f2 f3]; ————————————————————————————————
建立函数dfun
用来求方程组的雅克比矩阵将dfun.m保存到工作路径中:
function df=dfun(x);
%用来求解方程组的雅克比矩阵储存在dfun中
f=fun(x);
df=[diff(f,'x1');diff(f,'x2');diff(f,'x3')];
df=conj(df'); ————————————————————————————————
编程牛顿法求解非线性方程组将newton.m保存到工作路径中:
function x=newton(x0,eps,N);
con=0;
%其中x0为迭代初值eps为精度要求N为最大迭代步数con用来记录结果是否收敛for i=1:N;
f=subs(fun(x0),{'x1' 'x2' 'x3'},{x0(1) x0(2) x0(3)});
df=subs(dfun(x0),{'x1' 'x2' 'x3'},{x0(1) x0(2) x0(3)});
x=x0-f/df;
for j=1: length(x0);
il(i,j)=x(j);
end
if norm(x-x0)<eps
con=1;
break;
end
x0=x;
end
%以下是将迭代过程写入txt文档文件名为iteration.txt
fid=fopen('iteration.txt','w');
fprintf(fid,'iteration');
for j=1:length(x0)
fprintf(fid,' x%d',j);
end
for j=1:i
fprintf(fid,'\n%6d ',j);
for k=1:length(x0)
fprintf(fid,' %10.6f',il(j,k));
end
end
if con==1
fprintf(fid,'\n计算结果收敛！');
end
if con==0
fprintf(fid,'\n迭代步数过多可能不收敛！');
end
fclose(fid); ————————————————————————————————
运行程序在matlab中输入以下内容
newton([0.1 0.1 -0.1],0.00001,20) ————————————————————————————————
输出结果
——————————————————————————————————————————在iteration中查看迭代过程 iteration x1 x2 x3
.mulStablePoint用不动点迭代法求非线性方程组的一个根
function [r,n]=mulStablePoint(F,x0,eps)
%非线性方程组：f
%初始解：a
%解的精度：eps
%求得的一组解：r
%迭代步数：n
if nargin==2
eps=1.0e-6;
end
x0 = transpose(x0);
n=1;
tol=1;
while tol>eps
r= subs(F,findsym(F),x0); %迭代公式
tol=norm(r-x0); %注意矩阵的误差求法，
norm为矩阵的欧几里德范数
n=n+1;
x0=r;
if(n>100000) %迭代步数控制
disp('迭代步数太多，可能不收敛！');
return;
end
end
x0=[0 0 0];
[r,n,data]=budong(x0);
disp('不动点计算结果为')
x1=[1 1 1];
x2=[2 2 2];
[x,n,data]=new_ton(x0);
disp(’初始值为0，牛顿法计算结果为：’)
[x,n,data]=new_ton(x1);
disp('初始值为1，牛顿法计算结果为：')
[x,n,data]=new_ton(x2);
disp ('初始值为2，牛顿法计算结果为：')
budong.m
function[r,n,data]=budong(x0, tol)
if nargin=-1
tol=1e-3：
end
x1=budong fun(x0)；
n=1;
while(norm(x1-x0))tol)&(n500)
x0=x1;
x1=budong_fun(x0)；
n=n+1：
data(:,n)=x1；
end
r=x1：
new_ton.m
function [x,n,data]=new_ton(x0, tol)
if nargin=-1
tol=1e-8；
end
x1=x0-budong_fun(x0)/df1(x0);
n=1;
while (norm(x1-x0))tol)
x0=x1;
x1=x0-budong_fun(x0)/df1(x0);
n=n+1;
data(:,n)=x1;
end
x=x1;
budong_fun.m
function f=budong_fun(x)
f(1)=3* x(1)-cos(x(2)*x(3))-1/2;
f(2)=x(1)^2-81*(x(2)+0.1)^2+sin(x(3))+1.06; f(3)=exp(-x(1)*x(2))+20* x(3)+10* pi/3-1;
f=[f(1)*f(2)*f(3)]；
df1.m
function f=df1(x)
f=[3sin(x(2)*x(3))*x(3) sin(x(2)*x(3))*x(2) 2* x(1)-162*(x(2)+0.1)cos(x(3))
exp(-x(1)*x(2))*(-x(2))exp(-x(1)*x(2))*(-x(1))20]; 结果：
不动点计算结果为
r=
1.0e+012*
NaN -Inf 5.6541
初始值为0，牛顿法计算结果为：
x=
0.5000 -0.0000 -0.5236
初始值为1，牛顿法计算结果为：
x=
0.5000 0.0000 -0.5236
初始值为2，牛顿法计算结果为：
x=
0.5000 0.0000 -0.5236。