导数中恒成立问题（最值问题）恒成立问题是高考函数题中的重点问题， 也是高中数学非常重要的一个模块， 不管是小题，还 是大题，常常以压轴题的形式出现。
知识储备（我个人喜欢将参数放左边，函数放右边）先来简单的（也是最本质的）如分离变量后， a f （x ）恒成立，则有a f （X ）max2. 对于双变量的恒成立问题f(x) min g(x)min今天呢，我会花很多时间来讲解一道二次函数，因为二次函数是最本质的， （甚至我提出这样一个观点，所有导数的题目95%3根结底就是带参数二次函数在已知定义域上根的讨论，3%是ax b 与ax 3 b 这种形式根的讨论，2%!观察法得到零点，零点通常是1,-,e 之类），所以如果 e我们真正弄清楚了二次函数，那么对于千变万化的导数题，我们还会畏惧吗。
那么我们先从一道练习题说起一•二次函数型（通常方法是讨论对称轴，根据图像求最值） 例题1.已知f （x ） ■ 2x2 2ax a 1定义域为R ，求a 的取值围 思考：①引入定义域（非R ）② 参数在二次项，就需考虑是否为01③ 引入高次（3次，4次，—，I nx , e x 等等）x④ 引入a 2, a 3等项（导致不能分离变量）f （x ）恒成立，则有a f ( x) min（若是存在性问题，那么最大变最小, 最小变最大） 如：化简后我们分析得到,a,b ， f (x) 0恒成立，那么只需f ( x)mina,b ，使得 f(x)0,那么只需f （X ）max 0如：化简后我们分析得到, X i ,X 2 a,b ， f(xjg(X 2)，那么只需 f (X)min g ( X) max如：化简后我们分析得到,X ia,b ， x 2c, d 使f （xj gg ），那么只需如：化简后我们分析得到,X i a,b ，X 2 C,d 使 f (X i )g(X 2),那么只需 f (X)max g(x)min还有一些情况了，这里不一一列举， 一个变量，再处理另一个变量）3.对于带绝对值的恒成立问题，成立问题（2014.03锡常镇一模那题特别典型）总之一句话 （双变量的存在性与恒成立问题，都是先处理 我们往往先根据函数的单调性，去掉绝对值，再转变成恒方法：1. 一次函数，二次函数直接根据图像讨论最值 （二次函数也可以分离变量）2. 对于高次或者特殊函数，一般分离变量求最值（分离变量后对函数求导，确定导函 数的正负情况，确定单调性，从而确定在已知定义域上的最值）3. 对于不能分离变量的，只能直接求导，对参数讨论，从而确定单调性，确定最值 变式:①已知 f(x) ax b ，若对任意的x （m, n ），均有f （x ） 0，求 ca 的取值围 ②已知 f(x) 2ax2x 5，若对任意的x （ 3,2），均有f （x ），求 丈a 的取值围③已知 f(x) 2ax 2(a 21）x 5，若对任意的x （ 3,2），均有f (x) 0,求a 的取值围④已知 f(x)3ax 2(a 1）x 5,若对任意的x （ 3,2），均有 f(x) 0求a 的取值围⑤已知f(x) 3ax 2(a 29）x 5，若对任意的x （ 3,2），均有 f (x)0求a 的取值围例题2.（改编）已知函数f x ax 2 2x 1在1,3上的最大值为M a ，最小值为ma ，又已 知函数g a M a m a ，（1）求g a 的表达式；（2）指出g a 的单调区间，并求出变式：1.对称轴不动（①定义域不动 ②定义域动（含参数））2. 对称轴动（含参），定义域不动（考试最喜欢考）3. 对称轴动（含参），定义域动（含参） 但是参数还是同一个参数 方法：找出对称轴 与定义域边界及定义域中值的临界点讨论即可4. 对称轴动（含参），定义域动（含参）①参数不一样，那么或许可以看看题目中参数的围，是否可以直接根据单调性求 ②参数不一样，参数也没围，那么真不能做了g a 的最小值答案：根据对a 是否为0以及对称轴的讨论，易知M (a)9a9a 5,a1 1m(a) 1,- a 3 a 1,a，所以易知1g（a ）1 8a 4, a31 c 1 a 2, a a 3 1 19a 6, a 1 a 2 8a 4,a 11 1,-）单调递减，在（-， 2 2点评：本题考察的主要是二次函数带参数在已知定义域上的最值问题的讨论所以g （a ）在（ ）单调递增，所以当1 1評，f （X ）有最小值-1(13)在平面直角坐标系xOy 中，设定点A(a , a), P 是函数y — (x >o)图象上一动点.若点XP , A 之间的最短距离为2农，则满足条件的实数a 的所有值为 _____________ . 综上a 1或a . 1o点评：本题综合性较高，考查了带参数的二次函数在已知定义域上的最值问题(高一下学期必 须学会)，同时考查了换元思想，分类讨论的思想 是一道非常漂亮的题目 二.三次函数及特殊函数型(通常是求导后对二次函数的零点进行讨论，从而求最值) 先来几个比较特殊的题目，平时稍微长点心眼，多记记，就记住了 1.(原创)已知函数f (X ) o 且Xf (X ) f (X ) o ,对所有满足条件的函数f (X )，始终有f(2) (a 3 2a 3)f(1)成立，求a 的取值围答案：由题可知x o 时，o f (o )o 与题目f(x) o 矛盾，所以显然有x o 所以由条件易知 丄凶 单调递增，由题可知 也 a 3 2a 3f(1)始终成立，即X22詈 a32a 3恒成立，因为 他单调递增，又 迪是满足条件的所有函数， f (1) 2 X X1所以爰的最小值总大于1,所以有『2a 3 1，知a 的围是a — 5或丄2 a 1 f(1) 2' 2 21点评：对于某些题中既有f(x)又有f (x)'的这种题型，我们不妨去联想它的原函数 2.(原创)已知函数f(x) log 2(1 x) x 2 ax ;若对于任意a 1,-，总存在x °- 1，使22'得不等式f(x 。
)m 成立，则m 的取值围是 __________________________ 答案：分析知log 2(1+x)单解：设PX o ,X o,X o则PAX o2X oX o1~2 X o2a X o+— +2a 2=X o1 X o + X o-2 a1 X o + - X o2a 2 2令X o1 Xo则 PA 2=f(t)=t 22at2a 2 对称轴t1. a2. a 2PA 2minf(2) 2a 2 4a 22PA 2min f(a) a 2 2 8a ,10(舍去)(舍去)2时, 2时, a 2 22a 2 4a 8增，又分析知x2 ax在x 1时取最大值，所以f (x o)的最大值为f(1)，1所以有m f(1)恒成立，分离变量易知m 123. f (x)=x3+ax2 a2x m(a 0)若对任意a 3,6 ，f (x) 1 在x 2,2 上恒成立，求m 围解答：先看成是a的二次函数，对称轴为- 1,1，所以最大值不是在3处就是在6处，所以23 2亠x 3x 9x m 1 “ c c L—「、、口”—有32对x 2,2恒成立，易知m 87x 6x 36x m 1点评：对于一些双变量的函数最值问题，我们难以处理时，往往可以去看看本身的定义域，从而确定原函数的单调性，确定最值4. 对满足p 2所有实数p，求使不等式x2 px 1 p 2x恒成立的x的取值围解答：看成是p的一次函数点评：对哪个参数恒成立，就看成是哪个参数的函数2 15. 已知巴—0对x 4恒成立，求m的取值围mx 1解答：法1:看成乘积小于0恒成立，转变成二次函数恒成立法2:必须有一正一负恒成立变式：m x 1 o对m 4恒成立，求x的取值围mx 1解答：如果看成是m的函数，乘积后就变成关于m的三次函数，所以我们可以转变思维，转变成两个式子同正或同负6.若对于满足1 t 3的一切实数t，不等式x2(t2t 3)x t2(t 3) 0恒成立，则x的取值围为解答：分解因式易知(x t2) x (t 3) 0 所以必须有同正或同负恒成立点评：通过这几个题目的对比，所以我们发现虽然我们常说对哪个参数恒成立就看成是哪个参数的函数，但是有时候也需要转变思维，不能太死板3x x 77. 已知f(x) J ---------------- 3a 4，若对任意的x 1,3 , f(x) 0恒成立，求a 的取值围x 5类题：(10.) •将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是 梯形，记S (梯形的周长)2 ,则S 的最小值是梯形的面积-------------点评：二次比二次型的值域问题，一定要熟练掌握，先分离常数，转变成一次比二次，设一次 为t ，转变成关于t 的对勾函数，解决值域另外一次比一次型的其实只是对称中心改变而已，可以直接画图，建议跟学生讲明白 8. f (x) mx 28x —n 的最大值是9，最小值是1，求m 与n 的值x 1解答：整理成关于x 的二次函数，由题意知二次函数一定有解，所以有 0恒成立，转变成 关于y 的一个二次函数恒成立，易知5和9是它的两个根，容易把 m,n 求出来 点评：此题比较特殊，只要讲过，那么以后碰到这类题，就不再那么无从下手了9. (08)已知 f(x) ax 3 3x 1 对于 x 1,1 总有 f(x) 0成立，则 a = ____________________ 解：f(x)' 3ax 3法1:分离变量，求最值 法2:直接求导10. 若不等式|ax 3 lnx | > 1对任意x (0,1］都成立，则实数a 取值围是 ______________ .点评：当遇到恒成立问题，有参数时，或许可以看看定义域，先适当的压缩一下围，或许可以 避免一些不必要的讨论解析：显然x 1 时，有 |a| 1,a 1,or,a 1。
令 g(x)ax 3 lnx, g(x) 3ax 2 1 心x x①当a1 时，对任意 x (0,1］， g (x)3ax 3 1 x0，g(x)在(0,1］上递减,g(x)ming(1) a1，此时 g(x) [a,)，| g(x) |的最小值为0，不适合题意。
②当a 1时，对任意 x (0,1]， g(x)坐」xg(x)的最小值为 1 1 g (33a )11§ln(3a) > 1,解得: 2e。
故所求a3 2e 。
311. 设常数 a 0 ,函数 f(x) x In 2 x 2a lnx 1 (x (0,)).(I) 令g(x) xf (x) (x 0)，求g(x)的最小值，并比较g(x)的最小值与零的大小; (II )求证：当 x 1 时，恒有 x ln 2x 2al nx 1 . 解(I)v f(x) x(In x)(ln x) 2a In x 1 , x (0,) • f (x),r 1 , “ 、1、 2a . 2ln x 2a 1 [ In x (Inx)-] , 1 -x x x x x •- g(x) xf (x) x 2ln x 2a , x (0, ) •- g (x)1 2 x2-,令 g(x)0,得x 2 ,x x易知f (x)在(0,2) 上单调递减， 在(2, )单调递增••• g(x)在x 2处取得极小值g(2) 2 2In2 2a ,即 g(x)的最小值为 g(2)2 2In2 2a .g(2)2(1 In 2) 2a ,v In 2 1 ,二 1 In2 0 ,又 a 0 ,二 g(2)0 . 证明(U)由(I)知，g(x)的最小值是正数， 二对一切 x (0,)，恒有 g(x) xf (x) 0 ,从而当x 0时，恒有f (x) 0 ,故f (x)在(0, p 上是增函数. •••当 x 1 时，f(x) f(1), f(1) 1 In 21 2aIn1 1• f (x)0，即 x 1 In x 2a I nx 0 , • x In x 2a I nx 1故当x 1时，恒有x In 2 x 2aIn x 1 .点评：此题又是有那么一点点特殊，当我们难以处理导函数的正负情况时，我们或许可以想想是什么导致了我们难以处理，是否可以通过判断 xf'(x)的正负来确定导函数的正负，但是本题 由于题目一步步的提示你怎么做，所以就缺少了应有的美感点评：分离变量时不一定要分离成单个变量，要知道整体分离也是一样的，不能太死板 当然此题也可以转变成二次函数带参数在已知定义域上的最值讨论13. f(x) x a , g(x) 2 x 4a , F (x)丄凶 g(x)若 F(x) 2 . 7 恒成立，求 a 的围 x 4 x a 解答：F(x) 4^^ (丄】)x 2x a 4法一：易知这题为：系数之积为正，肯定是对勾函数，系数之积为负，直接单调 所以只需对a 的临界点进行讨论即可 法二：求导，转变成二次函数根的讨论2x 3 7 14. f (x) -2 , g (x) x 3 ax ，若对捲 x 18g(X 2) f(xj 成立，求正整数a 的最小值解答：分析题目易知f (x)值域为g(x)值域的子集，转变成求g(x)的最值g '(x) 3x 2 3a12. f(x) x 2 1 ,对 x3,f (―) 4m 2f (x) m f (x 1) 4f (m)恒成立，求m 的取值围 解答：化简易得d 4mjmx 2 2x 32x丄1 2,2,使得15.函数f (x) x —，不等式f(x) 2b w 0在x (0,)上有解，数b的取值围。