学习过程一、复习预习考纲要求：1．理解导数和切线方程的概念。

2．能在具体的数学环境中，会求导，会求切线方程。

3．特别是没有具体点处的切线方程，如何去设点，如何利用点线式建立直线方程。

4．灵活应用建立切线方程与其它数学知识之间的内在联系。

5. 灵活应用导数研究函数的单调性问题二、知识讲解1.导数的计算公式和运算法则几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '=； 1(log )log a a x e x '=，()x x e e '= ； ()ln x x a a a '=求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'．法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '=法则3： '2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭复合函数的导数：设函数()u x ϕ=在点x 处有导数()x u x ϕ'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ϕ=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或(())()()x f x f u x ϕϕ'='⋅' 2.求直线斜率的方法（高中范围内三种）(1) tan k α=（α为倾斜角）； (2) 1212()()f x f x k x x -=-，两点1122(,()),(,())x f x x f x ； (3)0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）；3.求切线的方程的步骤：（三步走）（1）求函数()f x 的导函数()f x '；（2）0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）；（3）点斜式求切线方程00()()y f x k x x -=-；4.用导数求函数的单调性：（1）求函数()f x 的导函数()f x '；（2）()0f x '>，求单调递增区间；（3）()0f x '<，求单调递减区间；（4）()0f x '=，是极值点。

考点一 函数的在区间上的最值【例题1】：求曲线29623-+-=x x x y 在)5,2(上的最值 。

【答案】：最大值为18，最小值为-2.【解析】:∵根据题意09123'2=+-=x x y ，∴3,121==x x ,由函数的单调性，当11=x ，2=y ，取得极大值；当32=x ，2-=y ，取得极小值；当5=x ，18=y 。

所以最大值为18，最小值为-2.【例题2】:求曲线3231y x x =-+在)5,2(-上的最值范围 。

【答案】:)51,19(-【解析】:由2,0,063)(212===-='x x x x x f ，该函数在),2()0,(+∞-∞ 上单增，在)2,0(上单减，当1,0==y x ；3,2-==y x ；19,2-=-=y x ；51,5==y x 。

曲线3231y x x =-+在)5,2(-上的最值范围为)51,19(-。

考点二 用导数研究函数的单调性【例题3】：已知函数5)(23-+-=x x ax x f 在R 上是单调递增函数，求a 的取值范围。

【答案】：31≥a 【解析】：123)(2+-='x ax x f ，因为)(x f 在R 上单调递增，所以，0)(≥'x f ，即：01232≥+-x ax 在R 上恒成立，即：⎩⎨⎧≤∆>00a ，所以，⎩⎨⎧<->01240a a 所以，31≥a 。

【例题4】：设函数()(0)kx f x xe k =≠．求函数()f x 的单调区间；【答案】：若0k <，则当1,x k ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减。

【解析】：由()()'10kx f x kx e =+=，得()10x k k =-≠， 若0k >，则当1,x k ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减， 当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，若0k <，则当1,x k ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()'0f x >，函数()f x 单调递增，当1,,x k ⎛⎫∈-+∞ ⎪⎝⎭时，()'0f x <，函数()f x 单调递减。

考点三 用导数证明不等式【例题5】：设函数()1x f x e -=-，证明：当x ＞-1时，()1x f x x ≥+ 【答案】：如下【证明】：当1->x 时，1)(+≥x x x f 当且仅当,令1x g x e x =--（），则 1.x g x e =-，（）当0≥x 时0g x '≥（），）（x g 在[)∞+.0是增函数：当0≤x 时()0g x '≤，)(x g 在(]0.∞-是减函数，于是)(x g 在0=x 处达到最小值，因而当R x ∈时，)0()(g x g ≥，即1,x e x ≥+所以当1->x 时，.1)(+≥x x x f 【例题6】：设函数2()ln(1)2x f x x x =+-+，证明：当x ＞0时，()f x ＞0； 【答案】：如下【证明】：22212(2)2()0,(1)1(2)(1)(2)x x x f x x x x x x +-'=-=≥>-++++，（仅当0x =时()0f x '=） 故函数()f x 在(1,)-+∞单调递增，当0x =时，()0f x =，故当0)(,0>>x f x 。

考点四 函数中含参数的问题【例题7】：设21)(ax e x f x+=，其中a 为正实数，若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围 【答案】：.10≤<a【解析】：对)(x f 求导得.)1(1)(222ax ax ax e x f x+-+=' ①若)(x f 为R 上的单调函数，则)(x f '在R 上不变号，结合①与条件a>0，知0122≥+-ax ax ，在R 上恒成立，因此,0)1(4442≤-=-=∆a a a a由此并结合0>a ，知.10≤<a【例题8】：已知点P 在曲线41x y e =+上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是 【答案】：34παπ≤≤ 【解析】：因为'2441(1)2x x x x e y e e e --==≥-+++，即0tan 1α>≥-,所以34παπ≤≤。

考点五 导数的综合问题【例题9】：设0a >，讨论函数2()ln (1)2(1)f x x a a x a x =+---的单调性．【答案】：如下【解析】：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，212(1)2(1)1()2(1)2(1)a a x a x f x a a x a x x---+'=+---= 令2()2(1)2(1)1g x a a x a x =---+，224(1)8(1)121644(31)(1)a a a a a a a ∆=---=-+=--① 当103a <<时，0∆>，令()0f x '=，解得x =则当0x <<或x >时，()0f x '>x <<()0f x '<则()f x 在，)+∞上单调递增，在上单调递减 ② 当113a ≤≤时，0∆≤，()0f x '≥，则()f x 在(0,)+∞上单调递增③ 当1a >时，0∆>，令()0f x '=，解得x =∵0x >，∴x =，则当0x <<时，()0f x '>当x >时，()0f x '<，则()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减 【例题10】：设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）求所有实数a ，使2)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立．【答案】：()f x 的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞【解析】：（1）因为22()ln .0f x a x x ax x =-+>其中，所以2()(2)()2a x a x a f x x a x x -+'=-+=- 由于0a >，所以()f x 的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞（Ⅱ）证明：由题意得，(1)11,f a c a c =-≥-≥即，由（Ⅰ）知()[1,]f x e 在内单调递增，要使21()[1,]e f x e x e -≤≤∈对恒成立，只要222(1)11,()f a e f e a e ae e =-≥-⎧⎨=-+≤⎩，解得.a e =四、课堂练习【基础型】1若不等式x 4﹣4x 3＞2﹣a 对任意实数x 都成立，则实数a 的取值范围答案：),29(+∞解析：记F （x ）=x 4﹣4x 3∵x 4﹣4x 3＞2﹣a 对任意实数x 都成立，∴F （x ）在R 上的最小值大于2﹣a 求导：F ′（x ）=4x 3﹣12x 2=4x 2（x ﹣3），当x ∈（﹣∞，3）时，F ′（x ）＜0，故F （x ）在（﹣∞，3）上是减函数；当x ∈（3，+∞）时，F ′（x ）＞0，故F （x ）在（3，+∞）上是增函数．∴当x=3时，函数F （x ）有极小值，这个极小值即为函数F （x ）在R 上的最小值即[F （x ）]min =F （3）=﹣27，因此当2﹣a ＜﹣27，即a ＞29时，等式x 4﹣4x 3＞2﹣a 对任意实数x 都成立，故答案为：（29，+∞）2若不等式 2x －1>m(x 2-1)对满足－2≤m ≤2的所有m 都成立，求x 的取值范围。