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浙江省2008年1月高等教育自学考试
近世代数试题
课程代码：10025
一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

１.设m 是一个正整数，∀a ∈Z,作带余除法：
a=mq+r,0≤r<m,规定：f(a)=r.则f 是Z 的( ) A.满变换
B.单变换
C.一一变换
D.既不是满变换也不是单变换
2.有理数集Q 上的代数运算b a =b 3( )
A.既适合结合律又适合交换律
B.适合结合律但不适合交换律
C.不适合结合律但适合交换律
D.既不适合结合律又不适合交换律 3.剩余类加群Z 8的子群有( )
A.4个
B.5个
C.6个
D.7个 4.在3次对称群S 3中可以与(132)交换的所有元素为( )
A.(1)，(132)
B.(12)，(13)，(23)
C.(1)，(123)，(132)
D.S 3中的所有元素
5.M 2(R)=⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛为实数域R ,R b ,a 0b 0a 按矩阵的加法和乘法构成R 上的二阶方阵环,这个方阵环是( )
A.有单位元的交换环
B.无单位元的非交换环
C.无单位元的交换环
D.有单位元的非交换环
二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6.设A={a,b,c,d,e,f}，则A 的一一变换共有________个.
7.在非零实数乘法群R*中，阶为2的元有________个.
8.在4次对称群S 4中，(132)2(1234)-1=________.
9.模10的剩余类加群Z 10有________个生成元.
10.模P （素数）的剩余类环Zp 有________个可逆元.
2 11.模9的剩余类环Z 9的零因子为________.
12.设Z ［x ］是整系数多项式环，则Z ［x ］的理想(3,x)＝________．
13.主理想环与欧氏环的关系是________.
14.在5,2i+1,π中，________是有理数域Q 上的代数元. 15.21+在有理数域Q 上的极小多项式是________．
三、解答题（本大题共3小题，第１6小题10分,第17小题14分，第18小题6分,共30分）
16.设M 是一个非空集合，2M 是M 的幂集（M 的子集的全体称为M 的幂集），问2M 关于集合的交∩是否构成群？试说明理由.
17.找出模20的剩余类环Z 20的所有子环．并说明这些子环是否是Z 20的理想，为什么？
18.Z 3={［0］,［1］,［2］}，找出加群Z 3的所有自同构，再找出域Z 3的所有自同构.
四、证明题（本大题共3小题，第19小题6分,第20小题9分,第21小题10分,共25分）
19.设A=｛平面上所有直线｝，给定关系～：l 1～l 2⇔l 1∥l 2或l 1=l 2.
证明：关系～是A 元间的等价关系.
20.假定G 是一个循环群，N 是G 的一个子群，证明：G/N 也是循环群.
21.设R=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z b ,a b 0a 0关于矩阵的加法和乘法构成一个环，I=⎭
⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z x 00x 0， 证明：I 是R 的理想，问商环R/I 由哪些元素组成？。