模糊逻辑及不精确推理方法Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】3-3 模糊逻辑及不精确推理方法3-3-1 模糊逻辑3-3-1-1 模糊、概率和传统精确逻辑之间的关系传统逻辑：强调精确性、严格性。

概率事件的结局是：非此即彼。

模糊事件的结局是：亦此亦彼。

另外，处理概率问题和模糊问题的具体方法也不一样。

3-3-1-2 模糊逻辑的历史100多年前，Peirce指出了模糊性在思维中的重要作用；1923年Russel再次指出这一点；1937年美国哲学家Black首先对“模糊符号”进行了研究；1940年德国数学家Weyl开始研究模糊谓词；1951年法国数学家Menger第一个使用“模糊集”术语（但解释仅在概率意义上）；1965年Zadeh发表了着名的“模糊集”论文。

模糊术语或模糊现象：“年轻”、“派头大”“一般”“可接受”“舒服”等。

3-3-1-3 模糊集合论一. 引入传统集合论中，一个对象是否属于一个集合是界线分明的。

可以用其特征函数⎩⎨⎧∉∈=Ax Ax x C A ,0,1)(表示。

)(x C A 定义在某集合B 上，则称A 是B的一个分明子集。

在模糊集理论中，)(x C A 仍然定义在B 上，但取值是0到1之间的任何实数（包含0和1）。

此时，A 是模糊子集。

B 的元素x 可以：属于A （即)(x C A =1）； 或不属于A （即)(x C A =0）；或“在一定程度上”属于A （即0<)(x C A <1）。

一般，称模糊子集A 的特征函数)(x C A 为隶属函数，表示其在B 元素x 上的取值对A 的隶属度，用)(x A μ表示。

B 的模糊子集A 可表示为：}|))(,{(B x x x A A ∈=μ。

注：非空集合B 可以有无穷多个互不相同的模糊子集。

而空集只有一个模糊子集。

例子：各年龄阶段的人的集合。

则如果用B：表示各种年龄人的集合（实际上是一个小于人类最大岁数的整数集合）；青年集合A 是B 的一个子集。

则一个人属于青年的程度随其年龄而不同。

如1)20(=青年μ、0)90(=青年μ、8.0)30(=青年μ。

注：隶属度和概率是两个不同性质的量。

如30岁的人对青年概念的隶属度为表示其有80%的特性和青年人一样，而不是30岁的人占青年人的80%，也不能理解为30岁的人中，有80%是青年人！定义3-3-1-3-1 令}0)(,|{>∈=x B x x S A μ，则称S 为模糊子集A 的支持集，它包含所有隶属度大于0的元素。

令}))(,(|)(m ax {)(A x x x A h A A ∈=μμ，则)(A h 称为A 的高度，B 的元素称为A 的基元。

Zadeh 模糊子集表示法：为每个基元标上隶属度，然后用+号连接这些基元。

如青年概念的模糊集表示为：+++++++22/121/120/118/9.017/6.016/2.015/0...31/75.030/8.029/8.028/8.027/8.026/8.025/124/123/1+++++++++简洁表示为：...30~26/8.025~20/118/9.017/6.016/2.015~0/0++++++抽象地表示为：i i n i A u u /)(1∑=μ或i i i A u u /)(1∑∞=μ注：当隶属函数很有规律时，一般采用抽象表示法。

二. 模糊集合的基本运算(1) 空集判断。

设A 为B 的模糊子集，则0)(,=∈∀x B x A μ⇔A 为空集。

(2) 真模糊集判断。

设A 为B 的模糊子集，则1)(0,<<∈∃x B x A μ⇔A 为B的真模糊子集。

(3) 设A 为B 的真模糊子集，则⇔=∈∃1)(,x B x A μA 为B 的正规模糊子集。

(4) 设21,A A 均为B 的模糊子集，则⇔=∈∀)()(,21x x B x A A μμ1A 和2A 相等。

(5) 设21,A A 均为B 的模糊子集，则⇔≤∈∀)()(,21x x B x A A μμ称2A 包含1A ，记为12A A ⊇或21A A ⊆，或称2A 是1A 的强化，或1A 是2A 的弱化。

推广定义：2A 包含1A 也表示1A 是2A 的模糊子集。

则，前面模糊子集的定义是此定义的特例；新定义具有自反性和传递性，因此，可将模糊子集表示成对偶))(,(x x A μ之集。

因此，模糊集可用分明集表示。

(6) 设A 为模糊集，则A 的分明基A #定义为：}),(,|{#A x x A ∈∃=αα(7) 设B A ,为模糊集，则A 和B 的交集定义为：|)))(),(m in(,{(x x x B A B A μμ= }##B A x ∈(8) 设B A ,为模糊集，则A 和B 的差集定义为：}##|))(,{(B A x x x B A A -∈=-μ)}()(,##|))()(,{(x x B A x x x x A B B A μμμμ<∈- 。

(9) 设B A ,为模糊集，则A 和B 的并集定义为：}##|)))(),(m ax (,{(B A x x x x B A B A ∈=μμ }##|))(,{(B A x x x A -∈μ}##|))(,{(A B x x x B -∈μ 。

(10) 设A 为模糊集，则A 的余集B 定义为：}1)(,#|))(1,{(~<∈-==x A x x x A B A A μμ。

......三. 模糊集的性质设B A ,为任意模糊集，-φ为空模糊集，φ为空分明集，则： (1) --=φφA (2) A A =- φ (3) --=-φφA(4) A A =--φ (5) φφ=⇔=-B A B A ## (6) A B B B A ⊆⇔=(7) ......例：设 青年={(15,,(18,,(20,1),(25,1),(30,,(35,}中年={(30,,(35,,(40,1),(45,,(50,,(55,} 老年={(50,,(55,,(60,1)}选拔中青年科学家，则求并集。

如：15-55岁中30岁的人之隶属度为；如要求既是青年，又是中年，则求交集。

如：30岁的科学家之隶属度为；如单位分房时老中青要分开，则求差集。

如：“有资格分房的中年人”之模糊子集为{(35,,(40,1),(45,,(50,}；又如选拔干部时，规定老年人不能入选，则求补集。

所以，50和55岁虽部分属于老人，但仍有和的隶属度不属于老人。

......3-3-1-4 多值逻辑和模糊逻辑一. 引入经典逻辑：二值逻辑。

多值逻辑：真值数超过2个。

模糊逻辑：是一种特殊的多值逻辑。

Aristotle的波斯与雅典海战问题，除开用模态逻辑解决，还可以用多值逻辑解决。

20世纪20年代，Lukaciewicz和Post分别提出了自己的三值逻辑系统。

此后，也有人提出了其它方法。

其主要区别在于，如何处理第三个真值。

二. 三值逻辑系统1.Kleene三值逻辑系统出发点：用三值逻辑描述数学问题。

对第三个真值的理解：“不知道”，用U表示。

例如：素数有无穷多个（T）；9是素数（F）；任何大偶数必可表为两个素数之和（U）。

五个逻辑连接符及其真值表：分析：(1)排中律不再成立。

即“对任意的p ,T p p =∨~”是不成立的；(2) 矛盾律不再成立。

即“对任意的p ,F p p =∧~”是不成立的；(3) 其它成立的有：q p q p ∨≡→~;q p q p ~~)(~∨≡∧；q p q p ~~)(~∧≡∨；T p T ≡∨；p p F ≡∨；p p T ≡∧；F p F ≡∧(4) 恒等律不再成立：即“对任意的p ,p p →及p p ≡”是不成立的；如令U p =，则U U U ≡→)(不成立。

2. Lukaciewicz 三值逻辑系统对第三个真值的定义为：“无所谓真假”。

（可理解为“真”也行，“假”也行）。

例子：过直线外一点恰能作一条平行线。

在欧氏几何中是对的，在非欧氏几何中不对。

与Kleene系统的真值表有以下不同：即维持了恒等律，但矛盾律和排中律仍然不成立。

同时牺牲了等价式：q p q p →≡∨~。

3.Bochvar的三值逻辑系统对第三个真值的理解为：“既非真又非假”。

即真也不行，假也不行。

也即它表示一个含有内在矛盾的命题，又称悖论。

（即第三个真值理解为悖论或无意义）例子：(1)“本句所说的内容是错的”。

(2)“理发师为自己理发”。

（背景是：理发师说他只为那些不为自己理发的人理发！）注：Bochvar系统中，只要任何一个逻辑公式含有一项U，则整个公式等价于U。

即部分的无意义导致整体的无意义。

Bochvar逻辑系统的真值表：此系统中，排中律、矛盾律和恒等律无一成立。

4.Post三值逻辑系统第三个值的含义被理解为：“介于真和假两者之间”，即“半真半假”。

其“~”符号被理解为对真假程度的一种削弱。

即有==~,~。

T=~,UTUFF注1：这种“削弱”是循环的。

可用函数succ表示：即succ(T)=U，succ(U)=F，succ(F)=T。

注2：用v(p)表示命题公式p 的真值，则有：v(T)=T ，v(U)=U ，v(F)=F 。

则三个真值之间具有全序关系：v(T)>v(U)>v(F)。

Post 系统的真值表：Post 系统的真值计算规则示例：))(()(~,p v suc p v p =∀ ))(),(max()(,,q v p v q p v q p =∨∀))~(~(~)(q p v q p v ∨=∧ )(~)(q p v q p v ∨=→))()(()(p q q p v q p v →∧→=≡分析：排中律不成立，因为U U U =∨~； 矛盾律不成立，因为U U U =∧~；恒等律不成立，因为U U U =→，但T U U =≡)(； 零幂律不成立，因为p p ≠~~，而是p p =~~~ De Morgan 律只成立了一半，因为虽然有规则))~(~(~)(q p v q p v ∨=∧，但U F U v =∨)(，F F U =∧)~(~~。

以上这些现象发生的根本原因在于，它们是以真值的正负两极为基础的，而目前讨论的是三极逻辑系统，显然，在三极逻辑系统下，有关两极逻辑的基本定律和规则失去了存在的基础。

结论：三极逻辑系统三极化得越彻底，以前的定律失败得也应该越彻底。

因此，Post系统由于不再以U为中心，而是真值之间的定向循环，使得三极之间的作用和地位更加平等。

5.平等三值逻辑（略）三. 多值逻辑模糊化1.将多值逻辑推广到任意的n值逻辑分析表明：前面介绍的几种三值逻辑中，只有Lukaciewicz是构造模糊逻辑的最佳逻辑基础。