八年级华师大版数学（下）第16章分式§ 16.1分式及基本性质一、分式的概念1、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子-B 叫做分式。

2、对于分式概念的理解，应把握以下几点：（1）分式是两个整式相除的商。

其中分子是被除式，分母是除式，分数线起除号和括号的作用；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母一定要含有字母才是分式；（3）分母不能为零。

3、分式有意义、无意义的条件（1）分式有意义的条件：分式的分母不等于0；（2）分式无意义的条件：分式的分母等于0。

4、分式的值为0的条件：当分式的分子等于0,而分母不等于0时，分式的值为0。

即，使-=0的条B件是：A=0, B M 0。

5、有理式整式和分式统称为有理式。

整式分为单项式和多项式。

整式单项式分类：有理式整式多项项分式 -单项式：由数与字母的乘积组成的代数式；多项式：由几个单项式的和组成的代数式。

二、分式的基本性质1、分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变用式子表示为：B = B -M = A ^M ，其中M （ M 工0）为整式2、通分：利用分式的基本性质，使分子和分母都乘以适当的整式，不改变 分式的值，把几个异分母分式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通 分。

通分的关键是：确定几个分式的最简公分母。

确定最简公分母的一般方法是:（1）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数、相同 字母的最高次幕、所有不同字母及指数的积。

（2）如果各分母中有多项式，就先 把分母是多项式的分解因式，再参照单项式求最简公分母的方法，从系数、相同 因式、不同因式三个方面去确定。

3、约分：根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变 分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。

在约分时要注意：（1）如果分子、分母都是单项式，那么可直接约去分子、 分母的公因式，即约去分子、分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幕；（2） 如果分子、分母中至少有一个多项式就应先分解因式，然后找出它们的公因式再 约分；（3）约分一定要把公因式约完。

三、分式的符号法则：§ 16.2分式的运算一、分式的乘除法1、法则:（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积 的分母。

（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）。

a c ac—?— --用式子表示：b d bd(1) a a -b = — b ； -a b ; (3) -a -b（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被 除式相乘。

a c a d ad用式子表示：b d b?c 忑2、应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；（2）当 分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。

二、分式的乘方1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分 母分别乘方，然后再相除。

2、注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一个算式中同 时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先因式分解, 再约分；（3）最后结果要化到最简三、分式的加减法（一）同分母分式的加减法1、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减用式子表示： b bC 即b b b2、注意事项：（1） “分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分 子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能 省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。

（二）异分母分式的加减法1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。

用a c ad be ad be式子表示：b d bd bd bd 。

2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分 母分式的加减法变成同分母分式的加减法。

（2）若分式加减运算中含有整式，应 视其分母为1，然后进用式子表示:b n （其中n 为正整数，a z 0）行通分。

（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。

四、分式的混合运算1、运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减。

遇到括号时，要先算括号里面的。

2、注意事项：（1）分式的混合运算关键是弄清运算顺序；（2）有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换律、结合律和分配律；（3）分式运算结果必须化到最简，能约分的要约分，保证运算结果是最简分式或整式。

§ 16.3可化为一元一次方程的分式方程—、分式方程基本概念1、定义：方程中含有分式，并且分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2、理解分式方程要明确两点：（1）方程中含有分式；（2）分式的分母含有未知数。

分式方程与整式方程最大区别就在于分母中是否含有未知数。

二、分式方程的解法1、解分式方程的基本思想：化分式方程为整式方程。

途径：“去分母”。

分式方程去分母转分整式方程方法是：方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程求解。

2、解分式方程的一般步骤：（1）去分母。

即在方程两边都乘以各分式的最简公分母，约去分母，把原分式方程化为整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根。

验根方法：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于0的根是原分式方程的根，使最简公分母为0的根是原分式方程的增根，必须舍去。

这种验根方法不能检查解方程过程中出现的计算错误，还可以采用另一种验根方法，即把求得的未知数的值代入原方程进行检验，这种方法可以发现解方程过程中有无计算错误。

3、分式方程的增根。

意义是：把分式方程化为整式方程后，解出的整式方程的根有时只是这个整式的方程的根而不是原分式方程的根，这种根就是增根，因此，解分式方程必须验根。

三、分式方程的应用1、意义：分式方程的应用就是列分式方程解应用题，它和列一元一次方程解应用题的方法、步骤、解题思路基本相同，不同的是，因为有了分式概念，所列代数式的关系不再受整式的限制，列出的方程含有分式，且分母含有未知数，解出方程的解后还要进行检验。

2、列分式方程解应用题的一般步骤如下：（1）审题。

理解题意，弄清已知条件和未知量；（2）设未知数。

合理的设未知数表示某一个未知量，有直接设法和间接设法两种；（3）找出题目中的等量关系，写出等式；（4）用含已知量和未知数的代数式来表示等式两边的语句，列出方程；（5）解方程。

求出未知数的值；（6）检验。

不仅要检验所求未知数的值是否为原方程的根，还要检验未知数的值是否符合题目的实际意。

“双重验根”。

§ 16.4零指数幕与负整数指数幕一、零指数幕1、定义：任何不等于零的实数的零次幕都等于1,即a0=1 （a z 0）。

2、特别注意：零的零次幕无意义。

即00无意义。

若问当x= ______________ 时，(x-2)°有意义。

答案是：x工2。

(2)按照定义分为：二、负整数指数幕1、定义：任何不等于的数的-n (n为正整数)次幕，都等于这个数的n次幕的倒数，即a-n二丄(a z 0, n为正整数)a2、注意事项：(1 )负整数指数幕成立的条件是底数不为0;(2)正整数指数幕的所有运算法则均适用于负整式指数幕，即指数幕的运算可以扩大到整数指数幕范围；(3)要避免像5-2=-2X5=-10的错误，正确算法是：。

52 4 丄5225三、用科学计数法表示绝对值小于1的数1、规则：绝对值小于1的数，利用10的负整式指数幕，把它表示成a x 10-n (n为正整数)，其中1w|a|v 10。

2、注意事项：(1)n为该数左边第一个非零数字前所有0的个数(包括小数点前的那个零)。

如-0.00021=-2.1X 10-4(2)注意数的符号的变化，在数前面有负号的，其结果也要写符号。

(3)写科学记数法的关键的是确定10n的指数n的值。

第17章函数及其图象§ 17.1变量与函数一、变量与常量1、变量：在某一变化过程中，可以取不同的数值，级数值发生变化的量，叫做变量。

常量：在某一变化过程中，取值(数值)始终保持不变的量，叫做常量。

2、注意事项：（1）常量和变量是相对的，在不同的研究过程中有些是可以相互转化的；（2）离开具体的过程抽象地说一个量是常量还是变量是不允许的；（3）在各种关于变量、常量的例子中，变量之间有一定的依赖关系。

如三角形的面积，当底边一定时，高与面积之间是有关联的，不是各自随意变化。

二、函数概念1、定义：在某个变化过程中，如果有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么，我们就说y是x的函数, 其中x叫做自变量，y叫做因变量。

2、对函数概念的理解，主要抓住三点：（1）有两个变量；（2）一个变量的数值随另一个变量的数值的变化而变化；（3）自变量每确定一个值，因变量就有一个并且只有一个值与其对应。

三、函数的表示法：（1）列表法；（2）图象法；（3）解析法。

四、求函数自变量的取值范围1.实际问题中的自变量取值范围按照实际问题是否有意义的要求来求。

2.用数学式子表示的函数的自变量取值范围例1.求下列函数中自变量x的取值范围（1）解析式为整式的，x取全体实数；（2）解析式为分式的，分母必须不等于0式子才有意义；（3）解析式的是二次根式的被开方数必须是非负数式子才有意义；（4）解析式是三次方根的，自变量的取值范围是全体实数。

3.函数值：指自变量取一个数值代入解析式求出的数值，称为函数值；实际上就是以前学的求代数式的值。

§ 17.2函数的图象、平面直角坐标系1、定义：平面内画两条互相垂直且有公共原点的数轴，就组成了平面直角 坐标系。

其中水平的数轴叫做横轴（或 x 轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫 做纵轴（y 轴），取向上为正方向；两轴的交点 0叫做原点。

在平面内，原点的 右边为正，左边为负，原点的上边为正，下边为负。

2、坐标平面内被x 轴、y 轴分割成四个部分，按照“逆时针方向”分别为第 一象限、第二象限、第三象限、第四象限注意：x 轴、y 轴原点不属于任何象限。

3、平面直角坐标系中的点分别向x 轴、y 轴作垂线段, 在x 轴上垂足所显示的数称为该点的横坐标， 在y 轴上垂足 所显示的数称为该点的纵坐标。

点的坐标反映的是一个点在 平面内的位置。

写坐标的规则：横坐标在前，纵坐标在后，中间用“，”隔开，全部用小括 号括起来。

如P （3，2）横坐标为3,纵坐标为2。

特别注意坐标的顺序不同，表示的就是不同位置的点。