习题十一、选择题1．用分子质量m ，总分子数N ，分子速率v 和速率分布函数()f v 表示的分子平动动能平均值为 [ ]（A ）0()Nf v dv ∞⎰； （B ）201()2mv f v dv ∞⎰；（C ）201()2mv Nf v dv ∞⎰；（D ）01()2mvf v dv ∞⎰。

答案：B解：根据速率分布函数()f v 的统计意义即可得出。

()f v 表示速率以v 为中心的单位速率区间内的气体分子数占总分子数的比例，而dv v Nf )(表示速率以v 为中心的dv 速率区间内的气体分子数，故本题答案为B 。

2．下列对最概然速率p v 的表述中，不正确的是 [ ]（A ）p v 是气体分子可能具有的最大速率；（B ）就单位速率区间而言，分子速率取p v 的概率最大； （C ）分子速率分布函数()f v 取极大值时所对应的速率就是p v ；（D ）在相同速率间隔条件下分子处在p v 所在的那个间隔内的分子数最多。

答案：A解：根据()f v 的统计意义和p v 的定义知，后面三个选项的说法都是对的，而只有A 不正确，气体分子可能具有的最大速率不是p v ，而可能是趋于无穷大，所以答案A 正确。

3．有两个容器，一个盛氢气，另一个盛氧气，如果两种气体分子的方均根速率相等，那么由此可以得出下列结论，正确的是 [ ]（A ）氧气的温度比氢气的高； （B ）氢气的温度比氧气的高；（C ）两种气体的温度相同； （D ）两种气体的压强相同。

答案：Arms v =222222221,16H O H H H O O O T T T M M M T M ===，所以答案A 正确。

4．如下图所示，若在某个过程中，一定量的理想气体的热力学能（内能）U 随压强p 的变化关系为一直线（其 延长线过U —p 图的原点），则该过程为[ ]（A ）等温过程； （B ）等压过程； （C ）等容过程； （D ）绝热过程。

答案：C解：由图知内能U kp =，k 为曲线斜率，而022m i iU RT pV M ==，因此，V 为常数，所以本题答案为C 。

5．有A 、B 两种容积不同的容器，A 中装有单原子理想气体，B 中装有双原子理想气体，若两种气体的压强相同，则这两种气体的单位体积的热力学能（内能）A U V ⎛⎫ ⎪⎝⎭和BU V ⎛⎫⎪⎝⎭的关系为 [ ]（A ）A B U U V V ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（B ）A B U U V V ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（C ）A BU U V V ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（D ）无法判断。

答案：A解：理想气体状态方程PV RT ν=，内能2iU RT ν=(0m Mν=)。

由两式得2U i P V =，A 、B 两种容积两种气体的压强相同，A 中，3i =；B 中，5i =，所以答案A 正确。

二、填空题1．用分子质量m ，总分子数N ，分子速率v 和速率分布函数()f v 表示下列各量：1）速率大于100m/s 的分子数 ；2）分子平动动能的平均值 ；3）多次观察某一分子速率，发现其速率大于100m/s 的概率 ；答案： 100()f v Ndv ∞⎰；201()2mv f v dv ∞⎰； 100()f v dv ∞⎰。

解：根据速率分布函数()f v 的统计意义，()f v 表示速率以v 为中心的单位速率区间内的气体分子数占总分子数的比例，而dv v Nf )(表示速率以v 为中心的dv 速率区间内的气体分子数，12()v v f v Ndv ⎰表示速率在1v 到2v 之间的分子数，21()v v f v NdvN⎰表示速率在1v 到2v 之间的分子数占总分子数的比例，也即某一分子速率在1v 到2v 的概率。

2．氢气在不同温度下的速率分布曲线如图所示， 则其中曲线1所示温度1T 与曲线2所示温度2T 的高低 有1T 2T （填 “大于”、“小于” 或“等于”答案：小于。

解：根据最概然速率p v =曲线1和曲线2都表示氢气的速率分布曲线，而曲线2所示的最概然速率大于曲线1所示的最概然速率，因此曲线2所示的温度高于曲线1所示的温度。

3．温度为T 的热平衡态下，物质分子的每个自由度都具有的平均动能为 ；温度为T 的热平衡态下，每个分子的平均总能量 ；温度为T 的热平衡态下，νmol(0/m M ν=为摩尔数)分子的平均总能量 ；温度为T 的热平衡态下，每个分子的平均平动动能 。

答案：12kT ；2i kT ；2i RT ν；kT 23。

4．质量为50.0g 、温度为18.0o C 的氦气装在容积为10.0升的封闭容器内，容器以200v =m/s 的速率做匀速直线运动。

若容器突然停止，定向运动的动能全部转化为分子热运动的动能，则平衡后氦气的温度将增加 K ；压强将增加 Pa 。

答案：6.42K ；50.6710Pa ⨯。

解：气体定向运动的动能全部转化为气体分子的热运动动能（此处即为热力学能），即200122m i m v U R T M =∆=∆（m 0为气体总质量，M 为摩尔质量。

） 由上式，得 322410(200) 6.42K 38.31Mv T iR -⨯⨯∆===⨯ 333505010 6.420.6710Pa 4108.311010m R T p MV ---∆⨯⨯∆==⨯⨯⨯=⨯⨯5．一定量的理想气体，在温度不变的情况下，当压强降低时，分子的平均碰撞次数Z 的变化情况是z （填“减小”、“增大”或“不变”），平均自由程λ的变化情况是λ （填“减小”、“增大”或“不变”）。

答案：减小；增大。

解：分子的平均碰撞次数2z d nv ，平均自由程λ=，式中v =根据题意，理想气体温度不变，因此v 不变。

根据p nkT =，根据题意，理想气体压强降低，n 减小，所以分子的平均碰撞次数Z 减小，平均自由程λ增大。

三、计算题1．设想每秒有2310个氧分子（质量为32原子质量单位）以-1500m s ⋅的速度沿着与器壁法线成45o 角的方向撞在面积为43210m -⨯的器壁上，求这群分子作用在器壁上的压强。

答案：41.8810Pa p =⨯解：如图所示，Fp S=所有分子对器壁的冲量为： 2c o s F t N m v θ∆=⋅ 式中2310N =。

取1s t ∆= 则2cos F N mv θ=⋅42cos 45 1.8810Pa oF N mv P S S⋅===⨯2．设氢气的温度为300℃。

求速度大小在3000m/s 到3010m/s 之间的分子数N 1与速度大小在p v 到10+p v m/s 之间的分子数N 2之比。

答案：120.78N N =。

解：23222()4()e 2mv kT m f v v kTππ-=，2182 m/s pv== 11()N Nf v v =∆，22()p N Nf v v =∆2222()2221122222()()e e 0.78()()e p p mv M v v kT RTmv p p p p kT pN f v v f v v vN f v v f v v v ----∆=====∆3．导体中自由电子的运动可以看成类似于气体分子的运动，所以常常称导体中的电子为电子气，设导体中共有N 个自由电子，电子气中电子的最大速率为f v （称做费米速率），电子的速率分布函数为：24,0()0,ff Av v v f v v v π⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩式中A 为常量，求：（1）用N 和f v 确定常数A ；（2）电子气中一个自由电子的平均动能。

答案：（1）334f A v π=；（2）2310k e f m v ε=。

解：（1）由速率分布函数的归一化条件0()1f v dv ∞=⎰，有2401ffv v Av dv dv π∞+=⎰⎰，得3413fAv π=，所以常数 334fA v π=； （2）电子气中一个自由电子的平均动能为222521233()4225105ffv v e k e e f e ff m m v f v dv v Av dv Am v m v εππε==⋅===⎰⎰其中312f e f m v ε=，称做费米能级。

4．将1mol 温度为T 的水蒸气分解为同温度的氢气和氧气，试求氢气和氧气的热力学能（内能）之和比水蒸气的热力学能增加了多少？（所有气体分子均视为刚性分子）。

答案：34U RT ∆=。

解：1mol 理想气体的内能为2iU RT =，分解前水蒸气的内能为 16322i U RT RT RT ===1mol 的水蒸气可以分解为1mol 的氢气和0.5mol 的氧气，因为温度没有改变，所以分解后，氢气和氧气所具有的内能分别为2522i U RT RT == 和 31552224i U R T R T RT ν==⨯= 所以分解前后内能的增量为231553()()3244U U U U RT RT RT RT ∆=+-=+-=5．在半径为R 的球形容器里贮有分子有效直径为d 的气体，试求该容器中最多可以容纳多少个分子，才能使气体分子间不至于相碰？答案：220.47R N d==。

解：为使气体分子不相碰，则必须使得分子的平均自由程不小于容器的直径，即满足2R λ≥由分子的平均自由程λ=， 可得n =≤上式表明，为了使分子之间不相碰，容器中可容许的最大分子数密度为max n =因此在容积343V R π=的容器中，最多可容纳的分子数N 为23max 240.473R N n V R d π=⋅===。