f
(t)

1
2


F
(
)e
j
t
d
2、拉普拉斯变换是将时间函数f (t)分解为无
穷多项复指数信号e st之和。其中s = +j
s称为复频率。
f
(t)

1
2j


F (s)e st ds
3、拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广。
4、复平面( s平面)
以复频率 s = +j 的实部 和虚部 j 为
t
所以其收敛域为s 平
面上 a 的部分.
四、一些常用函数的拉氏变换
设 f (t)为有始函数，讨论单边拉氏变换
1、阶跃函数
L
u(t)


0
estd t
即 u(t ) 1

est


s 0
( 0)
1 s
2、指数函数
s
L eat eatestd t
f
(t)

1
2


F
(
)e
j
t
d
2、当函数不满足绝对可积条件时
将f(t)乘以衰减因子e-t ( 为 一实常数 ) ，恰当 地选取 的值 就有可以使 f(t) e-t 变得绝对可
积，即 其中 e t称为收敛因子
F f (t)e t

F1( )


f
(t )e t e j t dt
Lt 1 s2
L t2

2 s3
L tn

n! s n1
4、冲激函数 (t)
L (t)


0

(t
)e
st
d
t
1
同理 L (t t0 ) est0
5、正弦函数
sin t 1 (e j t e j t )
2j
Lsin t 1 ( L e j t L e j t ) 2j
坐标
3、指数阶函数
凡是满足
lim f (t)e t 0
t
( 0 )
的函数 f (t) 称为指数阶函数。
4、几个简单函数的收敛区
（1） 能量有限信号
能量信号在时间轴上有始有终，其能量是 有限的。
对 0 没有要求，收敛域为整个 s 平面。
（2） 单位阶跃信号u(t)
对于 > 0 的任何值，都有

0
f (t )estdt
f
(t)

1
2
j
jF (s)e s t ds
j
记作： F(s) L[ f (t)]
f (t) L1[F(s)]
本课程主要讨论单边拉普拉斯变换
拉氏变换与傅氏变换的关系：
1、傅立叶变换是将时间函数f (t)分解为 无穷多项虚指数信号e jt 之和。
§4.2 拉普拉斯变换的定义、 收敛域
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换 二、拉普拉斯变换定义 三、拉普拉斯变换的收敛 四、一些常用函数的拉氏变换
§4.2 拉普拉斯变换的定义、 收敛域
一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1、傅立叶变换定义
当函数 f (t) 满足狄里赫利条件时
F( )



f
(t )e j tdt
二、拉普拉斯变换定义
1、双边拉普拉斯变换
Fb (s)
f (t)estdt

(1)
f
(t)

1
2j
j
j
Fb
(
s
)e
s
t
ds
(2)
s 称复频率，Fb(s) 称信号的复频谱
2、单边拉普拉斯变换
f (t)为有始函数，即 t <0 时，f (t) = 0
F
( s)

)e
jt
d
两边同乘 et
f (t)
1
2


Fb
(
s
)e
t
e
j
t
d
令 s = +j，因 为常数，所以 d = 1/j ds，
且当 时，s j 进行积分换元
f (t) 1
2 j
j
F j b
(s)e
s
t
ds
前面的两个公式为双边拉普拉斯变换对
f (t )e( j )t dt 令s=+j
f (t )estdt
因为上式中t 为积分变量,故积分结果必为s的函数
Fb (s)


f (t )estdt
用傅立叶反变换的定义方法求拉氏反变换
f (t )e t

1
2

Fb
(
s
0
即 eat
1
as

e(as)t
as
( a)


0
1 a
s
3、 t n （n为正整数）
L tn t nestd t 0
| t n est
s

0
est 0 s
nt n1d t

n s
0
t
n1e
st dt
L t n n L t n1 s
§4.1 引 言
傅立叶分析工具在研究信号和线性时不变系 统的很多问题时，是极为有用的。但傅立叶变 换有不足之处。
1、要求信号f(t)绝对可积。而有些常用信 号不满足该条件。 2、有些重要函数如 eat (a>0) 的傅立叶变换 不存在，无法用傅立叶分析方法处理。
而拉氏变换作为傅氏变换的推广，解决了上述 不足。
1( 1 1 )
2 j s j s j
s2 2
即
L sin

t
s2
2
同理 Lcos t s
s2 2
§4.3 拉氏变换的基本性质
一、线性（叠加） 六、尺度变换 二、原函数微分 七、初值
相互垂直的坐标轴而构成的平面.
j
当s = +j 确定时，
左
右
半
半
指数函数 est 也确定了
e st e t e j t
开
开
平 0平
面
面
反映指数函数 est 的幅度变化速度 >0, 幅度发散 <0, 幅度收敛
反映指数函数 est 的因子ejt 作周期变化的频率
lim u(t )e t 0
t
所以其收敛域为 s 平面的右半面。
（3） 线性增长信号 t n
对于 >0 的任何值，都有
lim t ne t 0
t
所以其收敛域为 s 平面的右半面。
（4） 指数函数 e at
只有当 a 时，才有
lim ea t e t 0
三、拉普拉斯变换的收敛域
1、定义
把使 f (t) e- t 满足绝对可积条件的
的取值范围称为拉氏变换的收敛域。
2、单边拉பைடு நூலகம்变换的收敛条件
若 f (t)为有始函数，存在下列关系
j
lim
t
f (t)e t
0
(
0)
则收敛条件为 0
0称为收敛坐标
收敛区
0 0

收敛