傅里叶变换是以复指数函数中的特例，即以 e jt
和 e j为n 基底分解信号的。对于更一般的复指数函
数 e和st ，也z n理应能以此为基底对信号进行分解。
*拉普拉斯变换法的几个显著优点；
f (t)
1.它简化了函数.
2.它简化了运算. 3.它不需要确定常数.
t
f (t)
4.有效地利用了阶跃和冲激响应.
F1()
f (t)e( j )t dt
0
F (s) f (t)estdt 0
原函数
逆LT
f (t) 1 jF (s)est ds
2j j
FT: 实频率 是振荡频率 LT: 复频率S 是振荡频率， 控制衰减速度
拉氏变换已考虑了初始条件
LT f (t) F(s)
LT
df (t dt
T e(sa)t dt 1 [1 e(sa)T ]
0
sa
有极点 s a
考查零点，令 e(sa)T 1
得 s a j 2 k
T
显然 在 s 也 有a一阶零点，由于零极点相抵
消，致使在整个S平面上无极点。 例2. x(t ) eb t
x(t) ebtu(t) ebtu(t)
ebtu(t) 1 , sb
若1 ， 0则
x(t)e1t dt T
x(t)e0te(10 )t dt T
e(10 )T x(t)e0t dt T
表明 也1 在收敛域内。
5. 左边信号的ROC是S平面内的一条平行于 j
轴的直线的左边。
若 x(t是) 左边信号，定义于 (,T , 0在
ROC 内，1 0，则
拉氏变换的收敛域
lim
t
f (t)et
0
0
指数阶函数
*几种信号的收敛情况
a.对于t< t0(t0=0)为零的右边信号,其收敛域在收敛轴 的右边.
j
u (t )
1
1
1
lim u(t)et 0
t
1 0
2 1
lim e e -(t1) t 0
t
b.对于t>t0为零的左边信号,收敛域在收敛轴的左边.
若乘一衰减因子 et
为任意实数，则
f (t ).et 收敛， 满足狄里赫利条件
u (t )e t
eat .et ( a)
et cos1t
F( j) f (t)e jt dt.......1
F[et f (t)] f (t)et e jt dt f (t)e( j)t dt
0
0
F ( j) f (t)e( j) dt.....2
.拉普拉斯变换的应用
t
1.简化线性微分方程的求解, 也
f (t)
即简化电路分析的时域求解。
t
2.利用H(s)的零极点分析系统的
f (t)
时域频域及稳定性等。
t
一、拉氏变换的定义 1、从傅氏变换到拉氏变换
有几种情况不满足狄 里赫利条件：
• u(t) • 增长信号 eat (a 0)
• 周期信号 cos1t
Re[s] b
j
b
b
ebtu(t) 1 , Re[s] b
sb
当 b 0 时，上述ROC有公共部分，
X (s) 1 1
b Re[s] b
sb sb
当b 0 时，上述 ROC 无公共部分，表明 X (s)
不存在。
当 X (s是) 有理函数时，其ROC总是由 X (s)的极 点分割的。ROC必然满足下列规律：
0
et f (t)
1
F( j)e jt d
2
f (t)
1
F ( j )e( j )d
2
if .s j, then, d ds
j
单边
F (s) f (t)e st dt
0
f (t)
1
F (s)e st ds
2j
2.傅立叶,单边拉氏变换是双边拉氏变
换的特殊情况
1. 右边信号的ROC一定位于 X (s) 最右边极点 的右边。
2. 左边信号的ROC一定位于 X (s) 最左边极点 的左边。
3. 双边信号的ROC可以是任意两相邻极点之 间的带状区域。
例.
X
(s)
s2
1 3s
2
1 1 s 1 s 2
j
2 1
可以形成三种 ROC：
1) ROC： Re[s] 1 此时x(t)是右边信号。 2) ROC：Re[s] 2 此时x(t)是左边信号。 3) ROC：2 Re[s] 1 此时 x(t)是双边信号。
第五章 连续系统的s域分析
• 本章要点： • 拉氏变换的定义、收敛域、主要性质和
反变换； • 响应的复频域分析和s域元件模型 • 拉氏变换与傅氏变换的关系
§5.1 拉普拉斯变换
傅里叶分析方法之所以在信号与LTI系统分析中如 此有用，很大程度上是因为相当广泛的信号都可以 表示成复指数信号的线性组合，而复指数函数是一 切 LTI 系统的特征函数。
)
SF (s)
f
(o )
0
f ' (t)est dt
f (t)est
0
0
f (t)(est )' dt
f ()es f (0) SF(s)
终值
初值，若有跳变则为f (o )
二、 拉氏变换的收敛域
The Region of Convergence for Laplace Transforms • 可以归纳出ROC的以下性质：
0
付氏变换
s j
f (t)( t )
双边拉氏变换
s j
f (t)( t )
L[ f (t)] F[ f (t)et ] if ,t 0, f (t) 0
t 0
f (t) 0
单边拉氏变换
s j
f (t)(0 t )
因果
f1(t) f (t)et
s j
象函数 正LT
1. ROC是 S 平面上平行于 j 轴的带状区域。
2. 在ROC内无任何极点。 3. 时限信号的ROC是整个 S 平面。
4. 右边信号的ROC是 S 平面内某一条平行于 j
轴的直线的右边。
若 x(t是) 右边信号, T , t在 ROC内0 ， 则有 x(t)e绝0对t 可积，即：
x(t)e0t dt T
T x(t)e1t dt T x(t)e0te(10 )t dt
e(10 )T T x(t)e0t dt
表明 也1 在收敛域内。
6. 双边信号的ROC如果存在，一定是 S 平面内
平行于 j 轴的带形区域。
例1. x(t) eat 0
其它
X (s) T eatest dt 0
limetet 0...... 1 t
et
2 1
c.对于双边信号,其收敛域在
σ1