或 f(t)←→ F(s)
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四、常见函数的拉普拉斯变换
1、(t) ←→1，> -∞
2、(t)或1 ←→1/s ，> 0
3、指数函数e-s0t ←→ 1
s s0
> -Re[s0]
s
cos0t = (ej0t+ e-j0t )/2 ←→
s2
2 0
sin0t = (ej0t– e-j0t )/2j ←→
连续系统的s域分析
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§5.1 拉普拉斯变换
• 从傅里叶变换到拉普拉斯变换 • 收敛域 • (单边)拉普拉斯变换 • 常见函数的拉普拉斯变换 • 单边拉氏变换与傅里叶变换的关系
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一、从傅里叶变换到拉普拉斯变换
有些函数不满足绝对可积条件，求解傅里叶变换困难。 为此，可用一衰减因子e-t(为实常数）乘信号f(t) ，适 当选取的值，使乘积信号f(t) e-t当t∞时信号幅度趋 近于0 ，从而使f(t) e-t的傅里叶变换存在。
F(s) f(t)estdt 0
称为单边拉氏变换。简称拉氏变换。其收敛域一定是 Re[s]> ，可以省略。本课程主要讨论单边拉氏变换。
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三、单边拉氏变换
F(s)deff(t)estdt 0
f(t)def21j jj F(s)esd t s(t)
简记为F(s)=£ [f(t)] f(t)=£-1[F(s)]
f1[0.5(t-2)] ←→ 2F1(2s)e-2s f2(t) ←→ 2F1(2s)(1 –e-2s)
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例1 因果信号f1(t)= et (t) ，求拉氏变换。
解 F 1 b ( s ) 0 e te sd tt e ( s ( s ) t)0 ( s 1) [ 1 l t ie ( m ) te j t]
1
不s 定
, Re[s] ，
0
s2
2 0
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§5.2 拉普拉斯变换性质
• 线性性质 • 尺度变换 • 时移特性 • 复频移特性 • 时域微分 • 时域积分
• 卷积定理 • s域微分 • s域积分 • 初值定理 • 终值定理
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一、线性性质
若f1(t)←→F1(s) Re[s]>1 , f2(t)←→F2(s) Re[s]>2 则 a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s) Re[s]>max(1,2) 例1 f(t) = (t) + (t)←→1 + 1/s， > 0
解
11 f1(t)F 1(s)s3s2
Re[s]= > – 2
f2(t)F 2(s)s 13s 12 f3(t)F 3(s)s 13s 12
Re[s]= < – 3 –3<<–2
可见，象函数相同，但收敛域不同。双边拉氏变换必 须标出收敛域。
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通常遇到的信号都有初始时刻，不妨设其初始时刻为 坐标原点。这样，t<0时，f(t)=0。从而拉氏变换式写为
jω
仅当>时，其收敛域 为 <Re[s]<的一个带 状区域，如图所示。
α0
βσ
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例4 求下列信号的双边拉普拉斯变换。
f1(t)= e-3t (t) + e-2t (t) f2(t)= – e -3t (–t) – e-2t (–t) f3(t)= e -3t (t) – e-2t (– t)
例1:求如图信号的单边拉氏变换。
0
1t
解：f1(t) = (t) –(t-1)，f2(t) = (t+1) –(t-1)
f2(t)
F1(s)=
1 s
(1
es
)
1
-1 0
1t
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例2:已知f1(t) ←→ F1(s),求f2(t)←→ F2(s)
解： f2(t) = f1(0.5t) –f1[0.5(t-2)] f1(0.5t) ←→ 2F1(2s)
jω
无界 ，
0α
σ
可见，对于因果信号，仅当 Re[s]=>时，其拉氏变换存 在。 收敛域如图所示。
收敛边界
收敛域
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例2 反因果信号f2(t)= et(-t) ，求拉氏变换。
解F 2 b ( s ) 0 e te sd t t e ( s ( s ) t)0 ( s 1 ) [ 1 t l ie m ( ) te j t]
无界 , Re[s] .
不定
，
jω
1
(s )
，
可见，对于反因果信号，仅当
0
Re[s]=<时，其拉氏变换存在。
收敛域如图所示。
βσ
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例3 双边信号求其拉普拉斯变换。
f3(t)f1(t)f2(t) ee tt,,
t0 t0
求其拉普拉斯变换。
解 其双边拉普拉斯变换 Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)
Fb(+j)= ℱ[ f(t) e-t]=
f(t)e te jtd t f(t)e ( j )td t
相应的傅里叶逆变换 为
f(t) e-t= 21 Fb(j)ejtd
f(t)2 1 F b( j )e(j)td 令s = + j,d =ds/j，有
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定义
1 F(s) aa
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三、时移特性
若f(t) <----->F(s) , Re[s]>0, 且有实常数t0>0 , 则f(t-t0)(t-t0)<----->e-st0F(s) , Re[s]>0
与尺度变换相结合
f(at-t0)(at-tห้องสมุดไป่ตู้)←→
1
t0 s
ea
F
s
a
a
f1(t) 1
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二、尺度变换
若f(t) ←→ F(s) , Re[s]>0，且有实数a>0 ，
则f(at) ←→ 1 F ( s )
证明：
aa
Lf(a)tf(a)tesd t t 0
令τ a， t 则
Lf(a)t f(τ)easτdτ1
0
a a
sτ
f(τ)e a dτ
0
1 a
F
s a
Fb(s) f(t)estdt
f(t)21j jj Fb(s)estds
双边拉普拉斯变换对
Fb(s)称为f(t)的双边拉氏变换（或象函数）， f(t)称为Fb(s) 的双边拉氏逆变换（或原函数）。
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二、收敛域
只有选择适当的值才能使积分收敛，信号f(t)的双边 拉普拉斯变换存在。
使 f(t)拉氏变换存在的取值范围称为Fb(s)的收敛域。 下面举例说明Fb(s)收敛域的问题。