∴
RT R V p V T RT = = = 1 2 p R V T p pV V
例6
求下列各函数在指定点的偏导数：
xy x2 + y2 0
2
( x 2 + y 2 ≠ 0)
(1)f(x,y)=
在点O(0,0)处；
( x 2 + y 2 = 0)
π (2) z = sin( xy ) cos ( xy )在点P0 (0, )处; 2
= 2 x( x 2 + 2 y ) x 1
例4 求 r = x + y + z 的偏导数. 解：把y和z都看作常量，对x求导, 得
r 1 = 2x = x 2 x 2 + y 2 + z 2 x x2 + y2 + z 2
x = r
2
2
2
由于所给函数关于自变量是对称的，所以
r = y
r = z
= [ f ( x0 , y )]'| y = y
L
M
0
固定 x = x0 得交线 :
L： z = f ( x, y) x = x0 z = f ( x0 , y ) 即 x = x0
由一元函数导数的几何意义：
z y
x= x 0 x= y 0
= [ f ( x 0 , y )]' = tan β
z = x y ln x. y
∴
x y 1 1 y = yx + x ln x y ln x
= xy + xy = 2x y
= 2z
例3 解
z = ( x 2 + 2 y ) x , ( y > 0) z = ( x + 2 y)
2 x
z z 求 ， x y
=e
ln( x 2 + 2 y ) x
=e
Δx 0
(Δx + 0) + 0 = lim Δx Δx → 0
2
2
0
0 = lim = lim 0 = 0 Δx → 0 Δx → 0 Δx
f (x,y)=
xy x2 + y2 0
( x 2 + y 2 ≠ 0)
在点O(0,0)处；
( x 2 + y 2 = 0)
f (0,0 + Δy ) f (0,0) f y (0,0) = lim Δy Δy → 0
(3) z = e
1 1 ( + ) x y
在点P0 (1,1)处.
(1) f(x,y)=
xy x2 + y2 0
( x 2 + y 2 ≠ 0)
在点O(0,0)处；
( x 2 + y 2 = 0)
解
根据偏导数的定义，有
f (0 + Δx,0) f (0,0) f x (0,0) = lim Δx Δx → 0
2
y=
2
=0
π (2) z = sin( xy ) cos ( xy )在点P0 (0, )处; 2
2
π π ' z 2 另解： x | x = 0 = [sin( x 2 ) cos ( x 2 )] |x =0 π
y= 2
= [cos = 1
πx π
2 2
2
2cos
πx
2
( sin
f ( x0 , y0 + Δy ) f ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) = lim Δy Δy → 0
(2)
注
f ( x0 + Δx, y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) = lim Δx Δx → 0
[ f ( x, y0 )] |' x = x =
0
由一元函数导数的几何意义：
z x
x= x 0 x= y 0
= [ f ( x , y 0 )]'
= tan α
x
( x0 , y0 )
y
α
. .
z 同理， y
x= x 0 y= y 0
=?
偏导数的几何意义
z = f ( x, y)
z y
x= x0 y= y 0
z Ty
0
Tx
曲面z = f (x,y)
x ln( x 2 + 2 y )
∴
z x ln( x 2 + 2 y ) 2 =e [ x ln( x + 2 y )]' x x
2 x] [1 ln( x + 2 y ) + x 2 x + 2y 2 + 2 y) 2x2 = e x ln( x [ln( x 2 + 2 y ) + ] x2 + 2 y
偏导数的几何意义
z = f ( x, y)
z x
x= x 0 y= y 0
复习一元函数导数
z
Tx
L
= [ f ( x , y0 )]'| x = x
曲面z = f (x,y)
0
M
平面 y =y0
固定 y =y0 得交线
z = f ( x , y０) z = f ( x, y) 即 L： y = y0 y = y0
0
f ( x0 , y0 + Δy ) f ( x0 , y0 ) f y ( x0 , y0 ) = lim Δy Δy → 0
[ f ( x0 , y )] |' y = y =
0
如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点都有对x的偏 导数，那么这个偏导数仍是x、y的函数，称为z=f(x,y) 对x的偏导函数，记为
πx π
) ] 2 2 |x =0
π
0 =
π
2
' z 2 | x = 0 = [sin(0 y ) cos (0 y )] | π y= y π
y=
2
2
=
(1) ' |
y=
π
2
= 0
(3) z = e
解
1 1 ( + ) x y
在点P0 (1,1)处.
]' x = e
1 1 ( + ) x y
z = [e x
1 1 ( + ) x y
=e
1 1 ( + ) x y
1 1 [( + )]' x x y
1
x2
1 1 ( + ) x y
z = [e y
1 1 ( + ) x y
]' y = e
1 1 [( + )]' y x y
=e
1 1 ( + ) x y
1
y2
z ∴ | x = 1 = [e x y =1
1 1 ( + ) x y
1
x
] | x = 1 2
y =1
=1
z ∴ | x = 1 = [e y y =1
1 1 ( + ) x y
1
y2
] | x = 1
y =1
=1
需要注意的是：“一元函数在其可导点上一定连 续”这个结论，对于多元函数是不成立的.这是因为各 偏导数存在只能保证当P(x,y)沿着平行坐标轴的方向 趋近P0 (x0,y0)时,函数值f(x,y)趋近于f (x0 ,y0)，但不能 保证当P(x,y)以任意方式趋近P0(x0 ,y0)时，f(x,y)都趋 近于f (x0 ,y0). 反例 ： 例6 (1)
(1)
同样，函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数为
f ( x0 , y0 + Δy ) f ( x0 , y0 ) lim Δy Δy → 0
记作 即
z f |x = x , |x = x , z y|x = x 或 f y ( x0 ,y0 ) 0 0 0 y y
y= y0 y= y0 y= y0
x
y
( x0 , y0 )
α
.
平面 x=x0
.
β
二、高阶偏导数
一般说来，函数f(x,y)的偏导数 f ( x, y ) f ( x, y ) , zy = zx = x y 还是x、y的二元函数.如果这两个函数对自变量x和y 的偏导数也存在，则称这些偏导数为f(x ，z yy
存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的 偏导数，记作 f z |x = x ， |x = x ， z x| 或 f x ( x0 ,y0 ) x = x0 x y = y0 x y = y0
0 0 y = y0
即
f ( x0 + Δx, y0 ) f ( x0 , y0 ) f x ( x0 , y0 ) = lim Δx Δx → 0
z z = ( ) 2 x x x 2 z z ( ) = yx x y
第二节
偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,
f ( x 0 + Δx , y 0 ) f ( x 0 , y 0 )
当y固定在y0而x在x0处有增量△x时，相应地函数有增量
如果极限
f ( x0 + Δx, y0 ) f ( x0 , y0 ) lim Δx Δx → 0
y y2 + x2 + z 2
z z 2 + y2 + x2
y = r z = r
例5 已知理想气体的状态方程pV=RT(R为常量)， 求证： p V T = 1. V T p 证: