导数的概念、几何意义及其运算常见基本初等函数的导数公式和常用导数运算公式 ：+-∈==N n nx x C C n n ,)(;)(01''为常数；;sin )(cos ;cos )(sin ''x x x x -== a a a e e xx x x ln )(;)(''==；e x x x x a a log 1)(log ;1)(ln ''==法则1： )()()]()(['''x v x u x v x u ±=± 法则2： )()()()()]()(['''x v x u x v x u x v x u +=法则3： )0)(()()()()()(])()([2'''≠-=x v x v x v x u x v x u x v x u （一）基础知识回顾：1.导数的定义：函数)(x f y =在0x 处的瞬时变化率xx f x x f x y o x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim 000称为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0/x f 或0/x x y =，即xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim)(0000/ 如果函数)(x f y =在开区间),(b a 内的每点处都有导数，此时对于每一个),(b a x ∈，都对应着一个确定的导数)(/x f ，从而构成了一个新的函数)(/x f 。

称这个函数)(/x f 为函数)(x f y =在开区间内的导函数，简称导数，也可记作/y ，即)(/x f ＝/y ＝xx f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim0 导数与导函数都称为导数，这要加以区分：求一个函数的导数，就是求导函数；求函数)(x f y =在0x 处的导数0/x x y =，就是导函数)(/x f 在0x 处的函数值，即0/x x y =＝)(0/x f 。

2. 由导数的定义求函数)(x f y =的导数的一般方法是: (1).求函数的改变量)()(f x f x x f -∆+=∆;（2）.求平均变化率x x f x x f x ∆-∆+=∆∆)()(f ; （3）.取极限，得导数/y ＝xx ∆∆→∆f lim 0。

3.导数的几何意义：函数)(x f y =在0x 处的导数是曲线)(x f y =上点()(,00x f x )处的切线的斜率。

基础练习：1.曲线324y x x =-+在点(13)，处的切线的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．120°2.设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ） A ．1B ．12C ．12-D ．1-3.设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，则点P 横坐标的取值范围为（ ）A ．112⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，B ．[]10-，C ．[]01，D ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 4.直线12y x b =+是曲线()ln 0y x x =>的一条切线，则实数b ＝ ． 5.设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ）A ．2B ．12C ．12- D ．2-6.曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）Ａ．294eＢ．22eＣ．2eＤ．22e7.曲线313y x x =+在点413⎛⎫⎪⎝⎭，处的切线与坐标轴围成的三角形面积为（ ） Ａ．19Ｂ．29 Ｃ．13Ｄ．238．过点（－1，0）作抛物线21y x x =++的切线，则其中一条切线为（A ）220x y ++= （B ）330x y -+= （C ）10x y ++= （D ）10x y -+= 9、如果质点A 按规律S=2t 3运动，则在 t=2秒时的瞬时速度为 ( ) (A) 6 (B) 8 (C) 16 (D)2410、（2005重庆理科）曲线)0)(,(33≠=a a a x y 在点处的切线与x 轴、直线a x =所围成的三角形的面积为a 则,61= 11、（2008北京理）如图，函数()f x 的图象是折线段ABC ，其中的坐标分别为(04)(20)(64)，，，，，，则((0))f f = ； 0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆ ．（用数字作答） 12经过原点且与曲线y=lnx 相切的直线的方程是13(2008海南、宁夏文)设函数()b f x ax x=-，曲线()y fx =线方程为74120x y --=。

（1）求()y f x =的解析式；导数的概念、几何意义及其运算答案1.B2.A3.A4. ln2－15.D6. D7.（ A ）8．解：21y x '=+，设切点坐标为00(,)x y ，则切线的斜率为201x +，且20001y x x =++ 于是切线方程为200001(21)()y x x x x x ---=+-，因为点（－1，0）在切线上，可解得0x ＝0或－4，代入可验正D 正确。

选D 9、D ； 10 1± ；11 2 ， -2 ；12xey 1=；13、解：（Ⅰ）方程74120x y --=可化为734y x =-． 当2x =时，12y =． 又2()bf x a x '=+， 于是1222744b a b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，, 解得13.a b =⎧⎨=⎩， 故3()f x x x =-．函数的单调性、极值、最值与导数1、函数单调性的充分条件：函数()y f x =在某个区间(,)a b 内可导，若()f x '>0，则函数()y f x =在(,)a b 内单调递增；若()f x '<0，则在(,)a b 内单调递减. 2、函数单调性的必要条件：函数()y f x =在某个区间(,)a b 内可导，若()y f x =在(,)a b 内单调递增，则()f x '≥0；若在(,)a b 内单调递减，则()f x '≤0. 3、函数单调区间的求法：（注意单调区间的表达）首先，确定函数()y f x =的定义域；其次，求()f x '；最后，在定义域中解不等式()f x '>0得增区间，解不等式()f x '<0得减区间.1、极值的概念：设函数()y f x =在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有点，都有()()()(())f x f x f x f x <>00，我们就说()f x 0是函数()f x 的一个极大（小）值，记作()()()y f x y f x ==00极大值极小值，把x 0点叫做函数的极大（小）值点.特别地，若函数()y f x =可导，()f x '=00，而且在点x x =0附近的左侧()()()f x f x ''><00，右侧()()()f x f x ''<>00，则称()f x 0是函数()f x 的一个极大（小）值.2、求可导函数极值的步骤：① 确定函数的定义域；② 求导数()f x '；③ 解方程()f x '=0；④ 当()f x '=00时，（1）如果在x 0附近的左侧()f x '>0，右侧()f x '<0，那么()f x 0是极大值；（2）如果在x 0附近的左侧()f x '<0，右侧()f x '>0，那么()f x 0是极小值. 3、”()f x '=00” 是 ”x 0是函数极值点.” 的必要不充分条件. 4、函数最值的概念：函数()y f x =在[],a b 上所有点处最大（小）的函数值，称为()y f x =的最大（小）值. 5、函数最值的判断：① 求函数()y f x =在区间(),a b 内的极值；② 将()f x 的各极值与端点处的函数值()()f a f b 、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.6、极值与最值的区别与联系：（1）函数极值是局部性质，最值是整体性质；（2）函数在定义区间上最大、最小值最多各有一个，但极值可能不止一个，也可能不存在； （3）当函数在某区间上的图像连续，并有且仅有一个极值时，该极值必为函数的最值.基础练习：1．(2008广东文)设R a ∈，若函数ax e y x+=，R x ∈有大于零的极值点，则（ ）A ．1-<a B. 1->a C. ea 1-> D. ea 1-< 2．(2008福建文)如果函数()y f x =的图像如右图,那么导函数,()y f x =的图像可能是（ ）3．（2004全国卷Ⅱ理科）函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数（ ）（A ）(2π，23π) （B ）(π，2π) （C ）(23π，25π) （D ）(2π，3π)4．( 2007广东文)函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是 ．5．（2007江苏）已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -= .6、已知函数.93)(23a x x x x f +++-=（Ⅰ）求)(x f 的单调减区间； （Ⅱ）若)(x f 在区间[－2，2].上的最大值为20，求它在该区间上的最小值.7、已知函数32()f x x ax bx c =+++在23x =-与1x =时都取得极值． （1）求a b ，的值及函数()f x 的单调区间；（2）若对[12]x ∈-，，不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围．8.（2008北京文）已知函数32()3(0),()()2f x x ax bx c b g x f x =+++≠=-且是奇函数.（Ⅰ）求a ,c 的值； （Ⅱ）求函数f (x )的单调区间.9．（2004浙江文）已知a 为实数，))(4()(2a x x x f --=（Ⅰ）求导数)(x f '；（Ⅱ）若0)1(=-'f ，求)(x f 在[-2，2] 上的最大值和最小值；（Ⅲ）若)(x f 在（-∞，-2]和[2，+∞）上都是递增的，求a 的取值范围。

10．（2005全国卷II 文科）设a 为实数，函数32()f x x x x a =--+．（I ）求()f x 的极值；（II ）当a 在什么范围内取值时，曲线()y f x =与x 轴仅有一个交点．函数的单调性、极值、最值与导数（答案）1．A ； 2．A ； 3．B ； 4．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1e ；5． 32 .6、解：（I ）.963)(2++-='x x x f 令0)(<'x f ，解得,31>-<x x 或所以函数)(x f 的单调递减区间为).,3(),1,(+∞--∞（II ）因为,218128)2(a a f +=+-+=- ,2218128)2(a a f +=+++-=所以).2()2(->f f 因为在（－1，3）上0)(>'x f ，所以)(x f 在[－1，2]上单调递增，又由于)(x f 在[－2，－1]上单调递减，因此)2(f 和)1(-f 分别是)(x f 在区间[－2，2]上的最大值和最小值.于是有2022=+a ，解得.2-=a故.293)(23-++-=x x x x f 因此,72931)1(-=--+=-f 即函数)(x f 在区间[－2，2]上的最小值为－7. 7、解：（1）f （x ）＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，f ¢（x ）＝3x 2＋2ax ＋b由f ¢（23－）＝124a b 093－＋＝，f ¢（1）＝3＋2a ＋b ＝0得a ＝12－，b ＝－2 f 2所以函数f （x ）的递增区间是（－¥，－3）与（1，＋¥）。