导数的基本概念及性质应用考点：1、掌握导数的基本概念及运算公式，并能灵活应用公式求解 2、能运用导数求解单调区间及极值、最值3、理解并掌握极值及单调性的实质，并能灵活应用其性质解题。
能力：数形结合 方法：讲练结合新授课：一、 知识点总结：导数的基本概念与运算公式１、导数的概念函数y =)(x f 的导数)(x f '，就是当Δx →0时，函数的增量Δy 与自变量的增量Δx 的比x Δ yΔ的极限，即)(x f '＝0x Δlim→xΔ yΔ＝x Δlim→xΔf(x)-x) Δ(+x f说明：分子和分母中间的变量必须保持一致 ２、导函数函数y =)(x f 在区间( a, b )内每一点的导数都存在，就说在区)(x f 间( a, b )内可导，其导数也是(a ,b )内的函数，叫做)(x f 的导函数，记作)(x f '或x y '，函数)(x f 的导函数)(x f '在0x x =时的函数值)(0x f '，就是)(x f 在0x 处的导数。
３、导数的几何意义设函数y =)(x f 在点0x 处可导，那么它在该点的导数等于函数所表示曲线在相应点),(00y x M 处的切线斜率。
４、求导数的方法 （１）基本求导公式0='c )()(1Q m mx x m m ∈='-x x cos )(sin =' x x sin )(cos -=' x x e e =')( a a a x x ln )(=' xx 1)(ln ='ax x a ln 1)(log ='（２）导数的四则运算v u v u '±'='±)( v u v u uv '+'=')()0()(2≠=''-'v v v u v u v u（３）复合函数的导数设)(x g u=在点x 处可导，y =在点)(x f 处可导，则复合函数)]([x g f 在点x 处可导，)()())(('''x u f x f x ϕϕ=导数性质：1、函数的单调性⑴设函数y ＝)(x f 在某个区间内可导，若)(x f '＞0，则)(x f 为增函数；若)(x f '＜0则为减函数。
⑵求可导函数单调区间的一般步聚和方法。
①确定函数)(x f 的定义区间②求)(x f '，令)(x f '＝0，解此方程，求出它在定义区间内的一切实根。
③把函数)(x f 的间断点（即)(x f 的无定义点）的横坐标和上面的各个实根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数)(x f 的定义区间分成若干个小区间。
④确定)(x f '在各小开区间内的符号，根据)(x f '的符号判定函数)(x f 在各个相应小开区间内的增减性。
说明：原函数单调性与导函数单调性无关，只与导函数正负号有关 2．可导函数的极值 ⑴极值的概念设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有)(x f ＜)(0x f （或 )(x f ＞)(0x f ），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值点。
称0x 为极大（小）值点。
⑵求可导函数极值的步骤。
①求导数)(x f ' ②求方程)(x f '＝0的根③检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得极小值。
说明：极值点的导数为0，导数为0的点不一定是极值点（隐含条件，说明某点是极值点，相当于给出了一个)(x f '＝0的方程3．函数的最大值与最小值⑴设y ＝)(x f 是定义在区间[a ,b ]上的函数，y ＝)(x f 在(a ,b )内有导数，求函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上的最大值与最小值，可分两步进行。
①求y ＝)(x f 在(a ,b )内的极值。
②将y ＝)(x f 在各极值点的极值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。
⑵若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调增加，则)(a f 为函数的最小值，)(b f 为函数的最大值；若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调减少，则)(a f 为函数的最大值，)(b f 为函数的最小值。
说明：极大值小于等于最大值，极小值大于等于最小值二、 例题讲解 题型一导数的概念【例1】设f(x)在点x 0处可导，a 为常数，则xx a x f x a x f x ∆∆--∆+→∆)()(lim000等于( )A.f /(x 0)B.2af /(x 0)C.af /(x 0)D.0【变式】设)(x f 在0x 处可导__lim )()(000=∆-∆-→∆x x f x x f x题型二导数的几何意义、物理意义【例2】（1）求曲线122+=x xy 在点（1，1）处的切线方程； （2）运动曲线方程为2221t tt S +-=，求t=3时的速度。
分析：根据导数的几何意义及导数的物理意义可知，函数y=f(x)在0x 处的导数就是曲线y=f(x)在点),(00y x p 处的切线的斜率。
瞬时速度是位移函数S(t)对时间的导数。
题型三利用导数求单调区间【例3】求下列函数单调区间（1）5221)(23+--==x x x x f y（2）xx y 12-=（3）x xk y +=2)0(>k（4）αln 22-=x y题型四：利用导数求函数的最（极）值【例4】求函数13)(3+-=x x x f 在闭区间[-3，0]上的极值、最大值、最小值题型五：原函数图像与导函数图像【例5】 1、设f '(x )是函数f (x )的导函数，y =f '(x )的图象如右图所示，则y =f (x )的图象最有可能的是(A)(B)(C) (D)2、函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 内的图象如图所示，则函数)(x f 在开区间),(b a 内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个题型六：利用极值的本质及单调性求解析式【例6】已知函数x bx ax x f 3)(23-+=在1±=x 处取得极值。
(I)讨论)1(f 和)1(-f 是函数)(x f 的极大值还是极小值； (II)过点)16,0(A 作曲线)(x f y =的切线，求此切线方程。
【例7】已知函数()32f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点（1，0），（2，0）如图所示.求： （1）0x 的值；（2）a 、b 、c 的值.xy yx yxyxO 1 2 O 1 2O 121 2a bxy)(x f y ?=O【例8】已知函数f （x ）=x 3+ax 2+bx +c ，当x =－1时，取得极大值7；当x =3时，取得极小值．求这个极小值及a 、b 、c 的值【例9】已知c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-（1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间题型七：含参数的讨论【例10】（1）如果函数f (x )=x 3+ax 的图象上各点处的切线斜率都为正数，则实数a 的取值范围是( )A.(0,+∞ )B.[0,+∞ )C.(3,+∞ )D.[3,+∞ )（2）如果函数f (x )=x 3+ax 的图象上有平行于x 轴的切线，则实数a 的取值范围是________________【例11】已知函数()322f x ax x bx =-++(),,0a b c R a ∈≠且在区间(),0-∞上都是增函数，在（0，4）上是减函数.（1）求b 的值； （2）求a 的取值范围题型八：综合应用【例12】平面向量11),(,22a b =-=rr，若存在不同时为0的实数k 和t ，使 2(3),,x a t b y ka tb =+-=-+r r r r r r 且x y ⊥r r ，试确定函数()k f t =的单调区间例题答案：【例1】解：)(2)()(lim )()(lim )()()()(lim )()(lim0/00000000000000x af x a x f x a x f a x a x f x a x f a xx a x f x f x f x a x f xx a x f x a x f x a x a x x =∆--∆-+∆-∆+=∆∆--+-∆+=∆∆--∆+→∆-→∆→∆→∆ 故选(C)【变式】：-1【例2】（1）222222)1(22)1(22)1(2'+-=+⋅-+=x x x x x x y ， 0422|'1=-==x y ，即曲线在点（1，1）处的切线斜率k=0 因此曲线122+=x xy 在（1，1）处的切线方程为y=1（2）)'2('1'22t t t S +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t t t t t t t t 4214)1(23242++-=+--= 2726111227291|'3=++-==t S 。
【例3】（1）232--='x x y )1)(23(-+=x x )32,(--∞∈x ),1(∞+Y 时0>'y)1,32(-∈x 0<'y ∴ )32,(--∞，),1(∞+↑ )1,32(-↓（2）221x x y +=' ∴ )0,(-∞，),0(∞+↑（3）221xk y -=∴ ),(k x --∞∈),(∞+k Y 0>'y ),0()0,(k k x Y -∈ 0<'y ∴ ),(k --∞，↑∞+),(k )0,(k -，),0(k ↓（4）xx x x y 14142-=-=' 定义域为),0(∞+)21,0(∈x 0<'y ↓ ),21(∞+∈x 0>'y ↑【例4】略，注意强调学生的步骤完整性 【例5】1、C 2、 A【例6】分析：（1）分析x =±1处的极值情况，关键是分析x =±1左右f '（x ）的符号.（2）要分清点A （0，16）是否在曲线上.解：（1）f '（x ）=3ax 2+2bx －3，依题意，f '（1）=f '（－1）=0，即⎩⎨⎧=--=-+.0323,0323b a b a解得a =1，b =0.∴f （x ）=x 3－3x ，f '（x ）=3x 2－3=3（x +1）（x －1）. 令f '（x ）=0，得x =－1，x =1.若x ∈（－∞，－1）∪（1，+∞），则f '（x ）＞0，故f （x ）在（－∞，－1）上是增函数，f （x ）在（1，+∞）上是增函数. 若x ∈（－1，1），则f '（x ）＜0，故f （x ）在（－1，1）上是减函数. 所以f （－1）=2是极大值，f （1）=－2是极小值.（2）曲线y =x 3－3x ，点A （0，16）不在曲线上，设切点M （x 0，y 0），则y 0=x 03－3x . ∵f '（x 0）=3x 02－3，∴切线方程为y －y 0=3（x 02－1）（x －x 0）.代入A （0，16）得16－x 03+3x 0=3（x 02－1）（0－x 0）. 解得x 0=－2，∴M （－2，－2），切线方程为9x －y +16=0.评述：过已知点求切线，当点不在曲线上时，求切点的坐标成了解题的关键 【例7】解：函数()f x 的增减变化如下表：（1）()f x 在x =1处由增变减，故()1f 为极大值，即0x =1. （2）由于()232f x ax bx c '=++，()()()103202201240915512f a b c a f a b c b f a b c c '=++==⎧⎧⎧⎪⎪⎪'=⇒++=⇒=-⎨⎨⎨⎪⎪⎪=++==⎩⎩⎩【例8】解：f ′（x ）=3x 2+2ax +b ．据题意，－1，3是方程3x 2+2ax +b =0的两个根，由韦达定理得∴a =－3，b =－9 ∴f （x ）=x 3－3x 2－9x +c ∵f （－1）=7，∴c =2极小值f （3）=33－3×32－9×3+2=－25 ∴极小值为－25，a =－3，b =－9，c =2【例9】解：（1）c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(0,1)，则1c =，'3'()42,(1)421,f x ax bx k f a b =+==+=切点为(1,1)-，则c bx ax x f ++=24)(的图象经过点(1,1)-⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⨯--=+-3313231b a得591,,22a b c a b ++=-==-得 4259()122f x x x =-+（2）'3()1090,0,f x x x x x =-><<>或单调递增区间为()+∞ 【例10】（1）A （2）(-∞ ，0］【例11】解：⑴由条件知0x =是函数()y f x =的极值点.∵()232f x ax x b '=-+，令()00f '=，得0b =.⑵已求0b =，∴()232f x ax x '=-.令()0f x '=，得20,3x a=.由条件知0x =为极大值点，则23x a =应为极小值点.又知曲线在区间（0，4）上是减函数.∴243a ≥，6103a a -⇒≤，得10,6a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【例12】解：由11),(,)22a b =-=r r 得0,2,1a b a b ===r r r rg 22222[(3)]()0,(3)(3)0a t b ka tb ka ta b k t a b t t b +--+=-+--+-=r r r rr r r r r r g g g33311430,(3),()(3)44k t t k t t f t t t -+-==-=-'233()0,1,144f t t t t =-><->得或；2330,1144t t -<-<<得所以增区间为(,1),(1,)-∞-+∞；减区间为(1,1)-。