高考数学（指数、对数、幂函数）知识点总结2
整理人：沈兴灿 审核人：沈兴灿
一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果a x n
=，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *． ◆ 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。

当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)
0()
0(||a a a a a a n n
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
)
1,,,0(*>∈>=n N n m a a a
n m n
m
，
)1,,,0(1
1*>∈>=
=
-
n N n m a a a
a
n
m
n
m n
m
◆ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质(1) (0,,)r
s
r s
a a a
a r s R +⋅=>∈.
(2)()(0,,)r s
rs
a a a r s R =>∈.(3)()(0,0,)r
r r
ab a b a b r R =>>∈. （二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x
且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1． 2、指数函数的图象和性质
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x
≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [； （2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈； （3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x
≠>=且，总有a )1(f =；
二、对数函数 （一）对数
1．对数的概念：一般地，如果N a x
=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式） 说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ；
○
2 x N N a a x
=⇔=log ；规律：底数a 保持不变 3注意对数的书写格式．
两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ；
○
2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 指数式与对数式的互化。

规律：底数a 保持不变
幂值 真数
（二）对数的运算性质
(1)负数和零没有对数；
(2)1的对数是0，即01log =a (a ＞0,且a ≠1)；特殊地：ln10= (3)底的对数是1，即1log =a a (a ＞0,且a ≠1)；特别地：ln 1e = （三）对数运算法则。

若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则
(1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M
M N N
=-; (3)log log ()n
a a M n M n R =∈. (4)N n
N a n a log 1log =
（5）对数的换底公式
log log log m a m N
N a
=
(0a >,且1a ≠,0m >,且1m ≠, 0N >).
推论 log log m n
a a n
b b m =(0a >,且1a >,,0m n >,且1m ≠,1n ≠, 0N >).
a b b a log 1
log = (a ＞0,且 b ＞0).
（6）指数恒等式：a
N
a N
l o g = （由②N log b ①N a a b
==，,将②代入①得a N a N
l o g =）
（7） 对数恒等式：log log ()n
a a a n a n n R ==∈
（四）对数值的正负判断规律：
对数N a log 的底数a 与真数N 同属于区间(0,1)或（1，+∞）时log 0a N > 例：0.33log 0.80;log 20>> 对数N a log 的底数a 与真数N 分别属于区间(0,1)或（1，+∞）时log 0a N <
例：0.3 1.6log 80;log 0.70<<
（五）对数函数
1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

如：x y 2log 2=，
5
log 5
x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
○2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．
3、对数函数的性质： ,则0>a ，且0<∆;则0>a ，且0≥∆.单独检验.
4．几个特殊值为底数的函数图象：
三、幂函数
1定义：形如
)(R x y ∈=αα
的函数称为幂函数，其中x 是自变量，α是常数。

注意：幂函数与指数函数有何不同？
【提示】 本质区别在于自变量的位置不同，幂函数的自变量在底数位置，而指数函数的自变量在指数位置．
2．由具体幂函数的图像和性质：
y x =
2
y x =
3
y x =
12
y x =
1y x -=
图像
定义域 R R
R (0,)+∞
(,0)(0,)-∞+∞ 值域 R [0,)+∞
R [0,)+∞
(,0)(0,)-∞+∞
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
在R 上增
在R 上增
[0,)+∞上增
(0,)+∞上减
(,0)-∞也是减
公共点
恒过（1，1）
归纳：幂函数在第一象限的性质：
0>α，图像过定点（0,0）（1,1），在区间(0,)+∞上单调递增。

0<α，图像过定点（1,1），在区间(0,)+∞上单调递减。

附：拓展探究*(有余力的同学可以思考)： 整数m,n 的奇偶与幂函数n
m
x y =),,,(互质且n m Z n m ∈的定义域以及奇偶性有什么关
系？（先转化为根式再判断）
结果：形如
n
m
x
y=)
,
,
,
(互质
且n
m
Z
n
m∈的幂函数的奇偶性（1）当m，n都为奇数时，f（x）
为奇函数，图象关于原点对称；
（2）当m为奇数n为偶数时，f（x）为偶函数，图象关于y轴对称；
（3）当m为偶数n为奇数时，f（x）是非奇非偶函数，图象只在第一象限内.。