高考指数函数和对数函数一.基础知识（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *．负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n 。

当n 是奇数时，a a n n =，当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a nn2．分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm )1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质（1）r a ·sr r a a += ),,0(R s r a ∈>；（2）rs s r a a =)( ),,0(R s r a ∈>；（3）s r r a a ab =)( ),,0(R s r a ∈>． （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ．注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在[a ，b]上，)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [；（2）若0x ≠，则1)x (f ≠；)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈；（3）对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且，总有a )1(f =； 二、对数函数 （一）对数1．对数的概念：一般地，如果N a x =)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =（a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式）说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○2 x N N a ax=⇔=log ； ○3 注意对数的书写格式． 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对数N lg ； ○2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ．指数式与对数式的互化幂值 真数对数 （二）对数的运算性质如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：○1M a (log ·=)N M a log ＋N a log ；○2 =NMa log M a log －N a log ；○3 n aM log n =M a log )(R n ∈．注意：换底公式abb c c a log log log =（0>a ，且1≠a ；0>c ，且1≠c ；0>b ）． 利用换底公式推导下面的结论（1）b mnb a n a mlog log =；（2）a b b a log 1log =．（二）对数函数1、对数函数的概念：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

如：x y 2log 2=，5log 5x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．○2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ．1、指数函数与对数函数1、（2009湖南文）2log ）A ．BC ．12- D ． 122、（2012安徽文）23log 9log 4⨯=（ ） A ．14B ．12C ．2D ．43、（2009全国Ⅱ文）设2lg ,(lg ),a e b e c === ( )A.a b c >>B.a c b >>C.c a b >>D.c b a >>4、（2009广东理）若函数()y f x =是函数(0,1)xy a a a =>≠且的反函数，其图像经过点)a ，则()f x =（ ）A. 2log xB. 12log x C.12x D. 2x 5、（2009四川文）函数)(21R x y x ∈=+的反函数是（ ）A. )0(log 12>+=x x yB. )1)(1(log 2>-=x x yC. )0(log 12>+-=x x yD. )1)(1(log 2->+=x x y6、（2009全国Ⅱ理）设323log ,log log a b c π=== ）A. a b c >>B. a c b >>C. b a c >>D. b c a >>7、设3.02131)21(,3log ,2log ===c b a ，则（ ）A.c b a <<B. b c a <<C. a c b << D .c a b << 【考点定位】本试题考查了对数函数和指数函数的性质运用，考查了基本的运算能力。

8、若2log a ＜0，1()2b＞1，则 ( )A ．a ＞1,b ＞0B ．a ＞1,b ＜0 C. 0＜a ＜1, b ＞0 D. 0＜a ＜1, b ＜0 9、（2009江苏）已知集合{}2log 2,(,)A x x B a =≤=-∞，若A B ⊆则实数a 的取值范围是(,)c +∞，其中c =【解析】 考查集合的子集的概念及利用对数的性质解不等式。

10、设25a b m ==，且112a b+=，则m =（ ）11、（2010全国文）函数)1)(1ln(1>-+=x x y 的反函数是( )A.y=1x e +-1(x>0)B. y=1x e -+1(x>0)C. y=1x e +-1(x ∈R)D.y=1x e -+1 (x ∈R) 12、方程03241=--+x x的解是_________ .13、（2011四川理）计算21100)25lg 41(lg -÷-_______ ．14、函数)12(log )(5+=x x f 的单调增区间是__________ 。

15、已知函数()lg f x x =,若()1f ab =,22()()f a f b +=_________ .【考点定位】本小题考查的是对数函数,要求学生会利用对数的运算公式进行化简,同时也要求学生对于基础的对数运算比较熟悉.16、7）设232555322555a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是A.a ＞c ＞bB.a ＞b ＞cC.c ＞a ＞bD.b ＞c ＞a 【方法总结】根据幂函数与指数函数的单调性直接可以判断出来. 17、（2010四川理）=+25.0log 10log 255（ ）A.0B.1C. 2D.418、（2010天津文）设554a log 4b log c log ===25，（3），，则（ ） A ．b c a << B.a c b << C.c b a << D.c a b << 【温馨提示】比较对数值的大小时，通常利用0，1进行，本题也可以利用对数函数的图像进行比较。

19、（2011四川文）函数1)21(+=xy 的图象关于直线y=x 对称的图象像大致是（ ）20、（2012四川文）函数(0,1)xy a a a a =->≠的图象可能是（ ）【点评】函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易用.21、(2009广东文) 若函数()y f x =是函数1xy a a a =>≠（0，且）的反函数，且(2)1f =，则()f x =（ ）A ．x 2logB ．x 21 C ．x 21log D ．22-x 【解析】函数1xy a a a =>≠（0，且）的反函数是()log a f x x =,又(2)1f =,即log 21a =,所以,2a =,故2()log f x x =,选A. 22、（2009北京理）为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点（ ）A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度23、（2009全国Ⅱ文）函数22log 2xy x-=+的图像（ ） 24、 A. 关于原点对称 B.关于直线y x =-对称 C.关于y 轴对称 D.关于直线y x =对称【解析】本题考查对数函数及对称知识，由于定义域为)2,2(-关于原点对称，又)()(x f x f =-，故函数为奇函数，图像关于原点对称，选A 。

24、（2009辽宁文）已知函数()f x 满足：x ≥4,则()f x ＝1()2x；当x ＜4时()f x ＝(1)f x +，则2(2log 3)f +＝( )A.124 B.112C.18D.38 25、（2010天津理）若函数)(x f =212log ,0,log (),0x x x x >⎧⎪⎨-<⎪⎩,若)()(a f a f ->,则实数a 的取值范围是（ ）A.（-1，0）∪（0，1）B.（-∞，-1）∪（1,+∞）C.（-1，0）∪（1,+∞）D.（-∞，-1）∪（0,1）【温馨提示】分类函数不等式一般通过分类讨论的方式求解，解对数不等式既要注意真数大于0，同事要注意底数在（0，1）上时，不等号的方向不要写错。

26、（2010湖北文）已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f =（ ）A.4B.14C.-4 D-1427、（2011安徽文）若点),(b a 在x y lg = 图像上，1≠a ,则下列点也在此图像上的是（ ）A.),1b a （ B. )1,10(b a - C.)1,10(+b aD.)2,(2b a 【解析】由题意lg b a =，lg lg b a a 22=2=，即()2,2a b 也在函数lg y x = 图像上.【命题意图】本题考查对数函数的基本运算，考查对数函数的图像与对应点的关系.28、（2011辽宁理）设函数⎩⎨⎧>-≤=-1,log 11,2)(21x x x x f x ，则满足2)(≤x f 的x 的取值范围是 ( )A ．]2,1[-B ．]2,0[C ．),1[+∞[1，+∞]D ．),0[+∞29、（2012重庆文）设函数2()43,()32,xf x x xg x =-+=-集{|(())0},M x R f g x =∈>{|()2},N x R g x =∈<则M N 为（ ）A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(-1,1)D ．(,1)-∞【考点定位】本题考查了利用直接代入法求解函数的解析式以及指数不等式的解法.本题以函数为载体,考查复合函数,关键是函数解析式的确定. 30、函数224log ([2,4])log y x x x=+∈的最大值是______ .31、 若实数,,满足,，则的最大是 .32、已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22xg x =-.若,()0x R f x ∀∈<或()0g x <, 则m 的取值范围是________ .【考点定位】 本题考查学生函数的综合能力,涉及到二次函数的图像的开口,根的大小,涉及到指数函数,还涉及到简易逻辑中的“或”,还考查了分类讨论的思想,对m 进行讨论. 33、已知函数)1lg()(+=x x f .(1)若1)()21(0<--<x f x f ,求x 的取值范围;(2)若)(x g 是以2为周期的偶函数,且当10≤≤x 时,有)()(x f x g =,求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.2、函数的零点部分1、函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数是（ ）A.4B.3C.2D.1 2、函数12log )(2-+=x x x f 的零点必落在区间（ ）A.⎪⎭⎫ ⎝⎛41,81B.⎪⎭⎫⎝⎛21,41C.⎪⎭⎫⎝⎛1,21 D.(1,2)3、数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25， 则()f x 可以是（ ）A. ()41f x x =-B. ()2(1)f x x =-C. ()1x f x e =-D.)21ln()(-=x x f4．（10上海理）若0x 是方程31)21(x x =的解，则0x 属于区间（ ）A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,32 .B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛32,21 .C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,31D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛31,05．（10上海文）若0x 是方程式lg 2x x +=的解，则0x 属于区间（ ）A ．（0，1）.B ．（1，1.25）.C ．（1.25，1.75）D ．（1.75，2） 6．（10天津理）函数()x x f x 32+=的零点所在的一个区间是（ ）A ．()1,2--B ．()0,1-C ．()1,0D ．()2,1 7．函数()2-+=x e x f x 的零点所在的一个区间是（ ）A ．()1,2--B ．()0,1-C ．()1,0D ．()2,1 8．设函数,)12sin(4)(x x x f -+=则在下列区间中函数)(x f 不存在零点的是（ ）A ．[]2,4--B ．[]0,2-C ．[]2,0D ．[]4,2 9、浙江文）已知0x 是函数()xx f x -+=112的一个零点，若()01,1x x ∈，()+∞∈,02x x ，则（ ）A ．()01<x f ，()02<x fB ．()01<x f ，()02>x fC ．()01>x f ，()02<x fD ．()01>x f ，()02>x f10．函数2441()431x x f x x x x -⎧=⎨-+>⎩， ≤，，的图象和函数2()log g x x =的图象的交点个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．111．若函数()f x 的零点与()422x g x x =+-的零点之差的绝对值不超过0.25，则()f x 可以是（ ）A .()41f x x =-B .()2(1)f x x =-C .()1x f x e =-D .()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21ln x x f12．（09重庆理）已知以4T =为周期的函数(1,1]()12,(1,3]x f x x x ⎧∈-⎪=⎨--∈⎪⎩，其中0m >。