高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识，基本技能；二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度，数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识，是数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、化归和转化思想．(一)函数与方程思想函数思想，就是用函数与变量去思考问题分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想．方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想．例1(1)若a>1，则双曲线x2a2－y2(a＋1)2＝1的离心率e的取值范围是________．(2)若将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是______________．思维升华函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．跟踪演练1(1)(2015·南京模拟)若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)<xf′(x)，则判断大小关系：2f(1)________f(2)(填“>”或“<”)．(2)如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，－π<φ<π)在一个周期内的图象，则此函数的解析式是______________．(二)数形结合思想数形结合思想包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数形之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质． 例2 (1)(2014·山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是________．(2)若实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则y x的最小值是____． 思维升华 数形结合思想在解题中的应用(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式．(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围．(3)构建解析几何模型求最值或范围．(4)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．跟踪演练2 (1)已知奇函数f (x )的定义域是{x |x ≠0，x ∈R }，且在(0，＋∞)上单调递增，若f (1)＝0，则满足x ·f (x )<0的x 的取值范围是________．(2)已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，P A 、PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A 、B 是切点，C 是圆心，则四边形P ACB 面积的最小值为________．(三)分类与整合思想分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合．例3 (1)(2015·山东改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是________．(2)设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点．已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1>PF 2，则PF 1PF 2的值为________． 思维升华 分类与整合思想在解题中的应用(1)由数学概念引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算和字母参数变化引起的分类．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．跟踪演练3 (1)(2014·课标全国Ⅱ改编)钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝________.(2)(2014·广东改编)设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为________．(四)转化与化归思想转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．例4 (1)定义运算：(a ⊕b )⊗x ＝ax 2＋bx ＋2，若关于x 的不等式(a ⊕b )⊗x <0的解集为{x |1<x <2}，则关于x 的不等式(b ⊕a )⊗x <0的解集为________．(2)已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x－1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意的x 1∈(0,2)，任意的x 2∈[1,2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数b 的取值范围是______________．思维升华 转化与化归思想在解题中的应用(1)在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等．(2)换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法．(3)在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化．(4)在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解．(5)在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、切线问题，转化为其导函数f ′(x )构成的方程、不等式问题求解．(6)在解决解析几何、立体几何问题时，常常在数与形之间进行转化．跟踪演练4 (1)(2014·安徽改编)设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝________.(2)已知函数f (x )＝a x a x ＋a(a >0且a ≠1)，则f ⎝⎛⎭⎫1100＋f ⎝⎛⎭⎫2100＋…＋f ⎝⎛⎭⎫99100的值为________． 提醒：完成作业 专题九二轮专题强化练专题九 数学思想方法A 组 专题通关1．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b (a ，b ∈R )的值域为[0，＋∞)，若关于x 的不等式f (x )<c 的解集为(m ，m ＋6)，则实数c 的值为________．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x >3，2x －3＋1，x ≤3满足f (a )＝3，则f (a －5)的值为________． 3．已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg2))等于________．4．(2015·无锡月考)方程log 12(a －2x )＝2＋x 有解，则a 的最小值为________．5．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a >0)的解的个数是________．6．(2015·天津改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x ＞2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R ，若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是________．7．已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k 等于________．8．等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是________．9．(2014·江西改编)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为________．10．已知正四棱锥S －ABCD 中，SA ＝23，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为________．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ |lg x |， 0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是__________．12．(2015·湖南)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．13．(2014·福建)要制作一个容积为4m 3，高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．B 组 能力提高14．(2015·苏州期中)定义在R 上的函数f (x )满足：f ′(x )>1－f (x )，f (0)＝6，f ′(x )是f (x )的导函数，则不等式e x f (x )>e x ＋5(其中e 为自然对数的底数)的解集为________．15．(2015·盐城模拟)已知关于x 的方程|cos x |x＝k 在(0，＋∞)有且仅有两根，记为α，β(α<β)，则下列的四个等式正确的是________．①sin2α＝2αcos 2α；②cos2α＝2αsin 2α；③sin2β＝－2βsin 2β；④cos2β＝－2βsin 2β.16．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a ，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *.(1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围．17．已知函数f (x )＝ln(1＋x )－x 1＋x. (1)求f (x )的极小值； (2)若a ，b >0，求证：ln a －ln b ≥1－b a.学生用书答案精析专题九 数学思想方法例1 (1)(2，5) (2)38π 解析 (1)e 2＝(c a )2＝a 2＋(a ＋1)2a 2 ＝1＋(1＋1a)2， 因为当a >1时，0<1a<1，所以2<e 2<5， 即2<e < 5.(2)f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π4)， 将f (x )＝2sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位， 得到y ＝2sin(2x ＋π4－2φ)的图象， 由所得图象关于y 轴对称，可知sin(π4－2φ)＝±1， 即sin(2φ－π4)＝±1， 故2φ－π4＝k π＋π2，k ∈Z ， 即φ＝k π2＋3π8，k ∈Z ， 又φ>0，所以φmin ＝3π8. 跟踪演练1 (1)< (2)y ＝2sin(2x ＋2π3) 解析 (1)由于f (x )<xf ′(x )，则(f (x )x )′＝f ′(x )x －f (x )x 2>0恒成立，因此f (x )x在R 上是单调递增函数，∴f (2)2>f (1)1， 即f (2)>2f (1)．(2)依函数图象，知y 的最大值为2，所以A ＝2.又T 2＝5π12－(－π12)＝π2， 所以T ＝π，又2πω＝π， 所以ω＝2，所以y ＝2sin(2x ＋φ)．将(－π12，2)代入可得sin(－π6＋φ)＝1， 故φ－π6＝π2＋2k π，k ∈Z ， 又－π<φ<π，所以φ＝2π3. 所以函数的解析式为y ＝2sin(2x ＋2π3)． 例2 答案 (1)(12，1) (2)2 解析 (1)先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图象，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为12，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的范围为(12，1)．(2)可行域如图所示．又y x的几何意义是可行域内的点与坐标原点连线的斜率k . 由图知，过点A 的直线OA 的斜率最小．联立⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得A (1,2)， 所以k OA ＝2－01－0＝2.所以y x 的最小值为2. 跟踪演练2 (1)(－1,0)∪(0,1) (2)2 2解析 (1)作出符合条件的一个函数图象草图即可，由图可知x ·f (x )<0的x 的取值范围是(－1,0)∪(0,1)．(2)如图，S Rt △P AC ＝12P A ·AC ＝12P A ，当CP ⊥l 时，PC ＝|3×1＋4×1＋8|32＋42＝3，∴此时P A min ＝PC 2－AC 2＝2 2. 所以(S 四边形P ACB )min ＝2(S △P AC )min ＝2 2. 例3 (1)⎣⎡⎭⎫23，＋∞ (2)2或72解析 (1)由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1. 当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0， ∴a ≥1.综上，a ≥23.(2)若∠PF 2F 1＝90°，则PF 21＝PF 22＋F 1F 22，∵PF 1＋PF 2＝6，F 1F 2＝25， 解得PF 1＝143，PF 2＝43，∴PF1PF 2＝72.若∠F 2PF 1＝90°，则F 1F 22＝PF 21＋PF 22＝PF 21＋(6－PF 1)2， 解得PF 1＝4，PF 2＝2，∴PF 1PF 2＝2. 综上所述，PF 1PF 2＝2或72.跟踪演练3 (1)5 (2)130解析 (1)∵S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B＝12×1×2sin B ＝12，∴sin B ＝22， ∴B ＝π4或3π4.当B ＝3π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋2＋2＝5，所以AC ＝5，此时△ABC 为钝角三角形，符合题意；当B ＝π4时，根据余弦定理有AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝1＋2－2＝1，所以AC ＝1，此时AB 2＋AC 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意．故AC ＝ 5.(2)在x 1，x 2，x 3，x 4，x 5这五个数中，因为x i ∈{－1,0,1}，i ＝1,2,3,4,5，所以满足条件1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3的可能情况有“①一个1(或－1)，四个0，有C 15×2种；②两个1(或－1)，三个0，有C 25×2种；③一个－1，一个1，三个0，有A 25种；④两个1(或－1)，一个－1(或1)，两个0，有C 25C 13×2种；⑤三个1(或－1)，两个0，有C 35×2种．故共有C 15×2＋C 25×2＋A 25＋C 25C 13×2＋C 35×2＝130(个)．例4 (1)⎝⎛⎭⎫－∞，－23∪(1，＋∞) (2)(－∞，142] 解析 (1)1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两实根，1＋2＝－b a ，1×2＝2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3，由(－3⊕1)⊗x ＝－3x 2＋x ＋2<0，得3x 2－x －2>0， 解得x <－23或x >1.(2)依题意，问题等价于f (x 1)min ≥g (x 2)max . f (x )＝ln x －14x ＋34x－1，所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x 2.由f ′(x )>0，解得1<x <3，故函数f (x )的单调递增区间是(1,3)，同理得f (x )的单调递减区间是(0,1)和(3，＋∞)，故在区间(0,2)上，x ＝1是函数f (x )的极小值点，这个极小值点是唯一的，所以f (x 1)min ＝f (1)＝－12.函数g (x 2)＝－x 22＋2bx 2－4，x 2∈[1,2]．当b <1时，g (x )max ＝g (1)＝2b －5； 当1≤b ≤2时，g (x 2)max ＝g (b )＝b 2－4； 当b >2时，g (x 2)max ＝g (2)＝4b －8.故问题等价于⎩⎪⎨⎪⎧ b <1，－12≥2b －5或⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤b ≤2，－12≥b 2－4或⎩⎪⎨⎪⎧b >2，－12≥4b －8.解第一个不等式组得b <1， 解第二个不等式组得1≤b ≤142， 第三个不等式组无解，综上所述，b 的取值范围是(－∞，142]． 跟踪演练4 (1)12 (2)992解析 (1)∵f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ， ∴f (x ＋2π)＝f (x ＋π)－sin x .∴f (x ＋2π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )． ∴f (x )是以2π为周期的周期函数． 又f (23π6)＝f (4π－π6)＝f (－π6)，f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6－12.∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12.(2)由于直接求解较困难，可探求一般规律，∵f (x )＋f (1－x )＝a x a x ＋a ＋a 1－x a 1－x ＋a ＝a x a x ＋a ＋a a ＋a x a＝a x a x ＋a ＋aa ＋a x ＝a ＋a x a x ＋a ＝1， ∴f ⎝⎛⎭⎫1100＋f ⎝⎛⎭⎫2100＋…＋f ⎝⎛⎭⎫99100 ＝⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫1100＋f ⎝⎛⎭⎫99100＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫2100＋f ⎝⎛⎭⎫98100＋…＋⎣⎡⎦⎤f ⎝⎛⎭⎫49100＋f ⎝⎛⎭⎫51100＋f ⎝⎛⎭⎫50100＝1×49＋12＝992.二轮专题强化练答案精析专题九 数学思想方法1．9解析 由题意知f (x )＝x 2＋ax ＋b ＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22＋b －a 24. ∵f (x )的值域为[0，＋∞)， ∴b －a 24＝0，即b ＝a 24.∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫x ＋a 22. 又∵f (x )<c .∴⎝⎛⎭⎫x ＋a22<c ， 即－a 2－c <x <－a2＋c .∴⎩⎨⎧－a2－c ＝m ， ①－a2＋c ＝m ＋6.②②－①，得2c ＝6，∴c ＝9.2.32解析 分两种情况分析，⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤3，2a －3＋1＝3①或者⎩⎪⎨⎪⎧a >3，log 2(a ＋1)＝3②，①无解，由②得，a ＝7，所以f (a －5)＝22－3＋1＝32.3．3解析 因为lg(log 210)＋lg(lg2) ＝lg(log 210×lg2) ＝lg(lg10lg2×lg2)＝lg1＝0，所以lg(lg2)＝－lg(log 210)． 设lg(log 210)＝t ，则lg(lg2)＝－t . 由条件可知f (t )＝5， 即f (t )＝at 3＋b sin t ＋4＝5，所以at 3＋b sin t ＝1， 所以f (－t )＝－at 3－b sin t ＋4 ＝－1＋4＝3. 4．1解析 由log 12(a －2x )＝2＋x 得a ＝2x ＋(12)2＋x ≥22x ×(12)2＋x ＝1，当且仅当x ＝－1时取等号．∴a 的最小值为1. 5．2解析 (数形结合法) ∵a >0，∴a 2＋1>1. 而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有2个交点． 6.⎝⎛⎭⎫74，2解析 记h (x )＝－f (2－x )在同一坐标系中作出f (x )与h (x )的图象如图， 直线AB ：y ＝x －4，设直线l ：y ＝x ＋b ′.当直线l ∥AB 且与f (x )的图象相切时，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ′，y ＝(x －2)2，解得b ′＝－94，－94－(－4)＝74，所以曲线h (x )向上平移74个单位后，所得图象与f (x )的图象有两个公共点，向上平移2个单位后，两图象有无数个公共点，因此，当74＜b ＜2时，f (x )与g (x )的图象有4个不同的交点，即y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点． 7．－12或0解析 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有直线y ＝kx ＋1与直线y ＝0垂直(如图①)或直线y ＝kx ＋1与直线y ＝2x 垂直(如图②)时，平面区域才是直角三角形．由图形可知斜率k 的值为0或－12.8．1或－12解析 当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求．当q ≠1时，a 1q 2＝7，a 1(1－q 3)1－q＝21，解得q ＝－12或q ＝1(舍去)．综上可知，q ＝1或－12.9.45π 解析 ∵∠AOB ＝90°，∴点O 在圆C 上． 设直线2x ＋y －4＝0与圆C 相切于点D ，则点C 与点O 间的距离等于它到直线2x ＋y －4＝0的距离，∴点C 在以O 为焦点，以直线2x ＋y －4＝0为准线的抛物线上，∴当且仅当O ，C ，D 共线时，圆的直径最小为OD . 又OD ＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C 的最小半径为25， ∴圆C 面积的最小值为π(25)2＝45π.10．2解析 设正四棱锥S －ABCD 的底面边长为a (a >0)，则高h ＝SA 2－(2a 2)2 ＝12－a 22，所以体积V ＝13a 2h ＝1312a 4－12a 6.设y ＝12a 4－12a 6(a >0)，则y ′＝48a 3－3a 5. 令y ′>0，得0<a <4； 令y ′<0，得a >4.故函数y 在(0,4]上单调递增，在[4，＋∞)上单调递减． 可知当a ＝4时，y 取得最大值，即体积V 取得最大值，此时h ＝12－a 22＝2.11．(10,12)解析 作出f (x )的大致图象．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a <b <c ， 则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6.∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1，∴abc ＝c . 由图知10<c <12，∴abc ∈(10,12)． 12．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析 函数g (x )有两个零点，即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根，则函数y ＝ f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点．①若a <0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当x >a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点．②若0≤a ≤1，则a 3≤a 2，函数f (x )在R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y ＝b 至多有一个公共点．③若a >1，则a 3>a 2，函数f (x )在R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点． 综上，a <0或a >1.13．160解析 设该长方体容器的长为x m ，则宽为4x m ．又设该容器的造价为y 元，则y ＝20×4＋2(x＋4x )×10，即y ＝80＋20(x ＋4x )(x >0)．因为x ＋4x ≥2x ·4x ＝4(当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取“＝”)，所以y min ＝80＋20×4＝160(元)． 14．(0，＋∞)解析 由题意可知不等式e x f (x )－e x －5>0， 设g (x )＝e x f (x )－e x －5.所以g ′(x )＝e x f (x )＋e x f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]>0，所以函数g (x )在定义域上单调递增， 又因为g (0)＝0，所以g (x )>0的解集为x >0. 15．③解析 由|cos x |x ＝k ，即得方程|cos x |＝kx 在(0，＋∞)上有两个不同的解，作出y ＝|cos x |的图象，由图知直线y ＝kx 与y ＝|cos x |与x ∈(π2，π)时相切，此时y ＝|cos x |＝－cos x ， y ′|x ＝β＝sin β＝k ， 又|cos β|＝kβ⇒k ＝－cos ββ，所以sin β＝－cos ββ⇒sin2β＝－2βsin 2β.16．解 (1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ， 由此得S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n )．即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝S 1－3＝a －3， 因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2[12(32)n －2＋a －3]，当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇒12(32)n －2＋a －3≥0⇒a ≥－9.又a 2＝a 1＋3>a 1.综上，所求的a 的取值范围是[－9，＋∞)． 17．(1)解 f ′(x )＝11＋x －1＋x －x (1＋x )2＝x(1＋x )2(x >－1)． 令f ′(x )＝0，得x ＝0.当x 变化时，f ′(x )和f (x )的变化情况 列表如下：由上表可知，x ＝0时f (x )取得极小值f (0)＝0.(2)证明 在x ＝0时，f (x )取得极小值，而且是最小值，于是f (x )≥f (0)＝0，从而ln(1＋x )≥x1＋x 在x >－1时恒成立，令1＋x ＝a b >0，则x 1＋x ＝1－1x ＋1＝1－ba ，∴ln a －ln b ＝ln a b ≥1－ba.因此ln a －ln b ≥1－ba 在a >0，b >0时成立．∴ln a －ln b ≥1－ba.。