【步步高】高三文科数学总复习讲义
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集
符号
N
N*(或 N＋)
Z
有理数集 Q
实数集 R
答案 (1)C (2)0 或98
解析 (1)∵2－3 x∈Z，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，
又∵x∈Z，∴x 值分别为 5,3,1，－1，
故集合 A 中的元素个数为 4.
(2)若 a＝0，则 A＝23，符合题意； 若 a≠0，则由题意得 Δ＝9－8a＝0，解得 a＝98.
综上，a 的值为 0 或98. 思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数
2.集合间的基本关系 关系
子集
自然语言
集合 A 中所有元素都在集合 B 中(即 若 x∈A，则 x∈B)
符号语言 A⊆B(或 B⊇A)
Venn 图
真子集 集合相等
集合 A 是集合 B 的子集，且集合 B 中至少有一个元素不在集合 A 中
集合 A，B 中的元素相同或集合 A，B 互为子集
A B(或 B A) A＝B
A．{－1,1,5}
B．{－1,5}
C．{1,5}
D．{－1}
答案 A
解析 ∵A＝{－1,5}，B＝{－1,1}，
∴A∪B＝{－1,1,5}．
3．已知集合 A＝{x|x2－x－2≤0}，集合 B 为整数集，则 A∩B 等于( )
A．{－1,0,1,2}
B．{－2，－1,0,1}
C．{0,1}
D．{－1,0}
答案 (1)C (2)2
解析 (1)∵k∈Z，∴k2∈Z，∴3k2－1∈A.
2
(2)因为{1，a＋b，a}＝0，ba，b，a≠0， 所以 a＋b＝0，得ba＝－1， 所以 a＝－1，b＝1，所以 b－a＝2. 题型二 集合的基本关系
【步步高】高三文科数学总复习讲义
例 2 (1)(2019·唐山一模)设 A，B 是全集 I＝{1,2,3,4}的子集，A＝{1,2}，则满足 A⊆B 的 B 的个数是( ) A．5 B．4 C．3 D．2 (2)已知集合 A＝{x|x2－2 017x＋2 016<0}，B＝{x|x<a}，若 A⊆B，则实数 a 的取值范围是__________________． 答案 (1)B (2)[2 016，＋∞) 解析 (1)∵{1,2}⊆B，I＝{1,2,3,4}， ∴满足条件的集合 B 有{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}，共 4 个． (2)由 x2－2 017x＋2 016<0，解得 1<x<2 016， 故 A＝{x|1<x<2 016}， 又 B＝{x|x<a}，A⊆B，如图所示，
Venn 图
【知识拓展】 1．若有限集 A 中有 n 个元素，则集合 A 的子集个数为 2n，真子集的个数为 2n－1. 2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B. 3．A∩∁UA＝∅；A∪∁UA＝U；∁U(∁UA)＝A.
【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( × ) (2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( × ) (3)若{x2,1}＝{0,1}，则 x＝0,1.( × ) (4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( √ ) (5)对于任意两个集合 A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( √ ) (6)若 A∩B＝A∩C，则 B＝C.( × )
答案 A
解析 因为 A＝{x|x2－x－2≤0}＝{x|－1≤x≤2}，又因为集合 B 为整数集，所以集合 A∩B＝{－1,0,1,2}，故选 A.
4．(2019·天津)已知集合 A＝{1,2,3,4}，B＝{y|y＝3x－2，x∈A}，则 A∩B 等于( )
A．{1} B．{4} C．{1,3} D．{1,4}
1
【步步高】高三文科数学总复习讲义
1．(教材改编)若集合 A＝{x∈N|x≤ 10}，a＝2 2，则下列结论正确的是( )
A．{a}⊆A B．a⊆A C．{a}∈A D．a∉A
答案 D
解析 由题意知 A＝{0,1,2,3}，由 a＝2 2，知 a∉A.
2．(教材改编)设 A＝{x|x2－4x－5＝0}，B＝{x|x2＝1}，则 A∪B 等于( )
答案 D
解析 因为集合 B 中，x∈A，所以当 x＝1 时，y＝3－2＝1；
当 x＝2 时，y＝3×2－2＝4；
当 x＝3 时，y＝3×3－2＝7；
当 x＝4 时，y＝3×4－2＝10；
即 B＝{1,4,7,10}．
又因为 A＝{1,2,3,4}，所以 A∩B＝{1,4}．故选 D.
5．已知集合 A＝{1,3，m}，B＝{3,4}，A∪B＝{1,2,3,4}，则 m＝________.
集、点集还是其他类型的集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常
用于解决集合问题．
(1)(2019·临沂模拟)已知 A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是( )
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ－1∉A
B．－11∈A
C．3k2－1∈A(k∈Z)
D．－34∉A
(2)设 a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝0，ba，b，则 b－a＝________.
答案 2
解析 ∵A∪B＝{1,3，m}∪{3,4}＝{1,2,3,4}，
∴2∈{1,3，m}，∴m＝2.
题型一 集合的含义
例 1 (1)(2017·石家庄调研)已知集合 A＝{x|x∈Z，且2－3 x∈Z}，则集合 A 中的元素个数为(
)
A．2 B．3 C．4 D．5
(2)若集合 A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则 a＝________.
3.集合的基本运算 运算 交集
并集
补集
自然语言 由属于集合 A 且属于集合 B 的 所有元素组成的集合
由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合
由全集 U 中不属于集合 A 的所 有元素组成的集合
符号语言 A∩B＝{x|x∈A 且 x∈B} A∪B＝{x|x∈A 或 x∈B}
∁UA＝{x|x∈U 且 x∉A}