例题3.我国在1984年4月8日成功发射了一 颗试验地球同步通讯卫星，1986年2月1日 又成功发射了一颗实用地球同步通讯卫星， 它们进入预定轨道后，这两颗人造卫星的
运行周期之比T1∶T2= 1:1 ，轨道半径 之比为R1∶R2=__1_:1_______。第一颗通讯
卫星绕地球公转的角速度1跟地球自转的
角速度2之比1∶2=__1_:_1______。
例题4.(2011·北京高考)由于通讯和广播等方面的
需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，这些 卫星的( A ) A.质量可以不同 B.轨道半径可以不同 C.轨道平面可以不同 D.速率可以不同
Mm
G（ R h）2
m
4π（2
T2
R
h）
“公转”天体共线模型——“相遇”问题
例题1.若人造卫星绕地球做匀速圆周运动，则下 列说法中正确的是（BD）
A．卫星的轨道半径越大，它的运行速度越大 B．卫星的轨道半径越大，它的运行速度越小 C．卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要 的向心力越大
D．卫星的质量一定时，轨道半径越大，它需要 的向心力越小
v
GM r
an
GM r2
例题2.(2011·天津高考)质量为m的探月航天器在接近月 球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动，已知 月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g， 引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的( )
2π ω
2π
R
，选项B错误，选项C正确.
g
同步地球卫星（通讯卫星）
特点：G（
Mm
R h）2
m
4π（2
T2
R
h）
①定高度（到地面的距离相同，即h=3.6×107m） ②定在赤道的正上方某点（相对于地球静止） ③定线速度大小（约为V=3.1 × 103m/s） ④定周期（频率）（与地球自转的周期相同T=24h） ⑤定角速度（环绕方向）
A. mv2 GN
B. mv4 GN
C. Nv2 Gm
D. Nv4 Gm
解答本题时应明确以下两点：
(1)行星表面附近做匀速圆周运动物体轨道半径约等于 行星半径. (2)万有引力约等于重力,其提供向心力.
解：由N=mg，得 g N ， m
据G
Mm R2
mg和G
Mm R2
m
v2 R
得M mv4 , GN
答案:B
（三）、中心天体的质量与密度计算：
G
Mm r2
mv2 r
m 2 r
m
4 2
T2
r
若环绕天体的周期已知：M
4 2r3
GT 2
若环绕半径已知：
M V
3 r3
GT 2R3
天体半径和卫星轨道半径
G
Mm r2
mv2 r
m2r
4 2
m T2
r
远地点圆周轨道
M V
3 r3
GT 2R3
近地点圆周轨道
M 3
例4：如登陆舱和探测飞船在某时刻相距最近（它 们与地球球心在同一直线上），则至少经过多长时 间，他们再一次相距最近？
G
Mm r2
m
r
2
T
2
T 2
r3 GM
2 t 2 t 2
T1 T2
t T2T1 T2 -T1
问：则至少经过多长时间，他们再 一次相距最远？
2 t 2 t
T1 T2
t
T2T1 （2 T2 -T1）
机械能的变化:除重力和系统内弹力 以外的力对物体或系统所做的功等于 系统机械能的变化.
W外＝E末-E初
例7.“神舟六号”顺利发射升空后，在离地面345km的圆 轨道上运行了108圈。运行中需要进行多次“轨道维持”。 所谓“轨道维持”就是通过控制飞船上发动机的点火时 间和推力的大小方向，使飞船能保持在预定轨道上稳定 运行。如果不进行轨道维持，由于飞船受轨道上稀薄空 气的摩擦阻力，轨道高度会逐渐降低，在这种情况下飞
G
Mm r2
mv2 r
m 2 r
m
4 2
T2
r
若环绕天体的周期已知：
M
4 2r3
GT 2
例题5.（2012·福建高考)一卫星绕某一行星 表面附近做匀速圆周运动,其线速度大小为v. 假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测 量一质量为m的物体重力,物体静止时,弹簧测 力计的示数为N.已知引力常量为G,则这颗行 星的质量为( )
课程简介
一、环绕天体的运动学参量 二、中心天体的质量与密度计算 三、卫星的能量问题
（一）、环绕天体的运动学参量：
G Mm mv2 m2r m 4 2 r
r2
r
T2
v GM （r越大，v越小） r
越
GM （r越大，ω越小） 高
r3
m为人造卫星：
T
4 2r3 （r越大，T越大）
越
GM
an
A．天体A、B的质量一定不相等
B．两颗卫星的线速度一定相等
C．天体A、B表面的重力加速度之比等于它们的半径之比 D．天体A、B的密度一定相等
典型模型的总结
“公转”天体模型 研究方法：抓住两条思路
①利用被绕天体的万有引力提供所需的向心力
G
Mm r2
m v2 r
m 2r
m( 2
T
)2 r
mv
G
Mm R2
船的动能、重力势能和机械能变化情况将会是（ D ）
Ａ.动能、重力势能和机械能都逐渐减小 Ｂ.重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能不变 Ｃ.重力势能逐渐增大，动能逐渐减小，机械能不变 Ｄ.重力势能逐渐减小，动能逐渐增大，机械能逐渐减小
解答:由于阻力很小，轨道高度的变化很慢，卫星运 行的每一圈仍可认为是匀速圆周运动。由于摩擦阻力 做负功所以卫星的机械能减小；由于重力做正功所以 重力势能减小；由上述规律可知卫星动能将增大(说 明重力做的功大于克服阻力做的功，外力做的总功为 正)。
扩展：如果去掉“至少” ，“再一次”这两个词 上面两问题的答案？
2 t 2 t n2
T1 T2
2 t 2 t n
T1 T2 t （2（n2 T12）-TT1）2T1
t nT2T1 T2 -T1
n=1.2.3.4…
2 t 2 t （2n 1）
T1 T2
n=1.2.3.4…
（二）、中心天体的质量与密度计算：
mg
②利用“黄金代换”。物体在
天体表面的重力大小等于天体
对物体的万有引力。（不考虑
天体自转因素的影响）
（三）、卫星的能量问题：
卫星由低轨道运行变到高轨道运行: 速度减小,动能减小，卫星的动能可计算得到
v
GM r
EK
GMm 2r
重力加速度g随高度增大而减小，重力势能
不能再用Ek=mgh计算，而用公式
计算,重力势能增大.
EP
- GMm r
总机械能为 E - GMm
2r 所以,同样质量的卫星,轨道半径越大,即离地面越 高,卫星具有的机械能越大，发射需要的总能量越 多,就越困难。 以卫星和地球为系统，如果航天器不工作那么机 械能就守恒。 但是如果航天器加速那么系统的 机械能就要增加。
机械能守恒：对某一系统,物体间只 有动能和势能相互转化既只有重力 作功和系统内弹力作功,则系统机械 能守恒.
A.线速度 v GM B.角速度 ω gR
R
C.运行周期 T 2π
R g
D.向心加速度
a
Gm R2
【解析】
G
Mm R2
v2 m
R
mω2 R
ma
则探月航天器的线速度为 v GM 选项A正确.
其加速度
a
GM R2
,
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
R
Mm
选项D错误.又知，在月球附近满足 G R2
mg
mω2R，
ω
g，其周期为 T R
V GT 2
例6.“探路者”号宇宙飞船在宇宙深处飞行过程中，发
现A、B两颗均匀球形天体，两天体各有一颗靠近其表面
飞行的卫星，测得两颗卫星的周期相等，以下判断正确 的是 ( )
A．天体A、B的质量一定不相等
B．两颗卫星的线速度一定相等
C．天体A、B表面的重力加速度之比等于它们的半径
之比
D．天体A、B的密度一定相等
GM r2
（r越大，an越小）
慢
黄金代换公式：
G
Mm R2
mg
GM
gR2
第一宇宙速度：(最大的环绕速度)
GM gR 7.9km / s
R 在地球表面上的物体所受的万有引力大小 可以认为和重力大小相等（万有引力的另一 个分力是使物体随地球自转所需的向心力， 最多只占万有引力的0.3%，计算中可以忽 略