浙江海洋学院 2010 - 2011学年第 二 学期
《高等数学A2》课程期末考试卷A
一、单项选择题（每小题3分，共计18分） 1．函数
),(y x f z =在点),(00y x 处连续是它在该点偏导数存在的（ ）
A ．必要非充分条件
B ．充分非必要条件
C ．充分必要条件
D ．无关条件 2．已知||2=a
，||2=b ，且2⋅=a b ，则|⨯a b |=（ ）
A ．2
B ．22
C ．
2
2 D ．1
3．设
),(y x f 是连续函数，则0
(,a
x
dx f x y dy =⎰⎰）（ ）
A ．
(,a
y dy f x y dx ⎰
⎰） B ．0(,a a
y
dy f x y dx ⎰⎰）
C ．
(,a
y a
dy f x y dx ⎰
⎰） D ．0
(,a a
x
dx f x y dy ⎰⎰）
4. 设曲线积分
()(
)
⎰-++-L
p p dy y y x dx xy x
4214
564与路径无关，则p =（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
5. 函数6
3
x Cx y +
=（其中C 是任意常数）对微分方程
x dx y
d =2
2而言，（ ） A ．是通解 B ．是特解 C ．是解，但既非通解也非特解 D ．不是解
6．设
()2
1,01,0x f x x x ππ
--<≤⎧=⎨+<≤⎩，则该函数以2
π
为周期的傅里叶级数在点
x π=处收敛于（ ）
A ．2
1π+ B ．2
12
π
+ C ．
2π D ．2
2
π
二、填空题（每小题3分，共计18分）
1. 设y x e z 2
=，则=dz ．
2. 微分方程0584=-'-''y y y 的通解为 ．
3. 曲面32=+-xy z e z
在点)0,1,2(处的法线方程为 ．
4．幂级数
()∑
∞
=-1
2
1n n n x 的收敛域为 ．
5. 设L 是沿抛物线x y =2上从点)1,1(-到点)1,1(的一段弧，则曲线积分⎰L
ydx
= ．
6. 设c z b y a x ≤≤≤≤≤≤
Ω0,0,0:，则三重积分=⎰⎰⎰Ω
xyzdv ．
三、计算题（每小题8分，共计56分） 1．求过点()302,-，M 且与直线2470
35210
x y z x y z -+-=⎧⎨
+-+=⎩垂直的平面方程.
2．设t uv z sin +=，而t e u =，t v cos =，求
dt
dz
．
3．设区域D 为422≤+y x ，求σ
d e y x
⎰⎰+D
2
2
.
4．计算
⎰⎰
∑
++zdxdy ydzdx xdydz ，其中∑为半球面2
22y x R z --=的上侧.
２
5．判断级数()∑∞
=--111
1n n n
的敛散性，若收敛，请指出是绝对收敛还是条件收敛.
6．求幂级数∑∞
=1
1
-n n nx
的收敛域及和函数()x S
，并求∑∞
=1
2
n n n 的和.
7．求一曲线方程，这曲线过原点，并且它的任一点()y x ,处切线斜率为y x +2.
四、解答题（8分）
求函数y x y x z 161222+-+=在有界闭域2522≤+y x 上的最大值和最小值．
浙江海洋学院 2010 - 2011学年第 二 学期
《高等数学A2》课程期末考试卷B
一、单项选择题（每小题3分，共计18分）
1．函数11sin sin ,0(,)0,,0x y xy y x f x y xy ⎧
+≠⎪=⎨⎪=⎩，则极限0
0lim (,)x y f x y →→=（ ）
A ．1
B ．2
C ．0
D ．不存在
2．两条直线1158:121x y z L --+==-与26:23
x y L y z -=⎧⎨+=⎩的夹角为（ ）
A ．6π
B ．4π
C ．2π
D ．3
π
3．设
),(y x f 是连续函数，则2
2
(,x dx f x y dy =⎰⎰
）（ ）
A ．4
20(,y dy f x y dx ⎰⎰
） B ．4
0(,y
dy f x y dx ⎰⎰
） C ．
24
2
(,x
dy f x y dx ⎰
⎰） D ．40
2
(,y
dy f x y dx ⎰⎰
）
4. 设曲线L 为圆周922
=+y x
，取顺时针方向，则()()=-+-⎰dy x x dx y xy L
4222 （ ）
A ．0
B ．π2
C ．π6
D ．π18 5. 微分方程
x y y cos =+''的一个特解*y 可设为（ ）
A ．x ax cos
B ．x b x ax sin cos +
C ．x b x a sin cos +
D ．)sin cos (x b x a x +
6．幂级数
()∑
∞
=-1
3n n n
x 的收敛域为（ ）
A ．
[]4,2 B ．()4,2 C ．[)4,2 D ．(]4,2
二、填空题（每小题3分，共计18分） 1. 设y x z
2sin 2=，则
=∂∂y
z
．
３
2. 微分方程02=+'+''y y y 的通解为 ．
3. 曲面22y xy x z +-=在点)7,2,3(处的切平面方程为 ． 4．设
()222,,z y x z y x f ++=，则()=-2,1,1gradf ．
5. 设平面曲线L 为下半圆周2
1x y --=，则曲线积分
()
⎰+L
ds y x
22
= ．
6. 级数
()∑
∞
=0
23ln n n
n 的和为 ．
三、计算题（每小题8分，共计56分） 1．求过点()420,，M ，且与两平面12=+z x 和23=-z y 平行的直线方程.
2．设v e z u sin =，而xy u =，y x v +=，求
x z ∂∂，y
z
∂∂． 3．计算
dxdy x ⎰⎰D
2，其中区域D ：4122≤+≤y x .
4．计算
⎰⎰∑
+-yzdxdy dzdx y xzdydz 2
4，其中∑是平面0=x ，0=y ，0=z ，1=x ， 1=y ，1=z 所围成的立方体的全表面的外侧．
5．判断级数()
∑∞
=+++-1
1
1
1sin
1n n n n ππ
的敛散性，若收敛，请指出是绝对收敛还是条件
收敛．
6．将函数()2
312
+-=x x x f 展成x 的幂级数，并指出其收敛区间.
7．设函数
()x y y =满足微分方程x e y y y 223=+'-''，且其图形在点()1,0的切线与曲线
12+-=x x y 在该点的切线重合，求函数()x y y =.
四、解答题（8分）
设有一圆板占有平面闭区域(){}1
|,22
≤+y x
y x ，该圆板被加热，以致在点()y x ,的温度是
x y x T -+=222，求该圆板的最热点和最冷点．。