高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】
考试日期：2009年
1、求曲线222222239
3x y z z x y
⎧++=⎪⎨=+⎪⎩在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程．
2、求由曲面2222z
x y =+及226z x y =--所围成的立体体积．
3、判定级数
1
1
(1)
ln
n
n n n
∞
=+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4．设(,)sin x
z f xy y y
=+，其中f
具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y
∂∂∂∂∂． 5. 计算曲面积分
,dS z ∑
⎰⎰其中∑是球面2
222x
y z a ++=被平面(0)z h h a =<<截出的顶部．
6. 抛物面22z
x y =+被平面1x y z ++=截成一椭圆，求这椭圆上的点到原点的距离的最大值与最小值．
7. 计算曲面积分332223(1)I
x dydz y dzdx z dxdy ∑
=++-⎰⎰，其中∑为曲面221(0)z x y z =--≥的上侧
8. 设
()
f x 为连续函数，
(0)f a
=，
222()[()]t
F t z f x y z dv
Ω=+++⎰⎰⎰，其中
t
Ω是由曲
面
z =
与
z =所围成的闭区域，求
3
()
lim t F t t +
→．
高等数学A(下册)期末考试试题【A 卷】
参考解答与评分标准 2009年6月
1、解：方程两边对x 求导，得323dy
dz y z x dx dx
dy dz y z x
dx
dx ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩， 从而54dy x dx y =-
，
74dz x
dx z
=…………..【4】 该曲线在
()1,1,2-处的切向量为571
(1,,)(8,10,7).488T == (5)
故所求的切线方程为
112
8107
x y z -+-==………………..【6】 法平面方程为
()()()81101720x y z -+++-= 即 810712x y z ++= (7)
２、解：22
22
226z x y z x y
⎧=+⇒⎨=--⎩222x y +=，该立体Ω在xOy 面上的投影区域为22
:2xy D x y +≤． (2)
故所求的体积为
V dv Ω
=
⎰⎰⎰22
2620
20
2(63)6d d dz d πρρ
θρπρρπ-==-=⎰⎰
(7)
３、解：由11lim lim ln(1)lim ln(1)10n
n n n n n u n n n →∞→∞→∞=+=+=>，知级数1
n
n u ∞
=∑发散 (3)
又111||ln(1)ln(1)||1n
n u u n n +=+>+=+,1lim ||lim ln(1)0n n n u n
→∞→∞=+=.故所给级数收敛且条件收敛．【7】
４、解：
121211
()0z f y f yf f x y y
∂''''=⋅+⋅+=+∂， …………………………………【3】 2111
122212222211[()][()]z x x
f y f x f f f x f x y y y y y ∂''''''''''=+⋅+⋅--+⋅+⋅-∂∂111222231.x f xyf f f y y
''''''=+--【7】 ５、解：
∑
的方程为z =∑在xOy 面上的投影区域为2222{(,)|}xy D x y x y a h =+≤-．
=…..………【３】
故
22222200xy
D dS adxdy d a d z a x y a πρρθρ∑==---⎰⎰⎰⎰⎰
220
12ln()2ln
2a
a a a h
πρπ⎡=--=⎢⎥⎣⎦..【7】 6. 解：设(,,)M x y z 为该椭圆上的任一点，则点M
到原点的距离为d =【1】
令22222(,
,)()(1)L x y z x y z z x y x y z λμ=+++--+++-，
则由22220220201x y z L x x L y y L z z x y
x y z λμλμλμ=-+=⎧⎪=-+=⎪⎪=++=⎨⎪=+⎪
++=⎪⎩
，解得12x y -±==
，23z =．于是得到两个可能极值点
12M M + (7)
又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得．
故
max 2min 1||||d OM d OM ==== (9)
7. 解：取
1
∑为
220(1)
z x y =+≤的下侧，记
∑
与
1
∑所围成的空间闭区域为
Ω
，则由高斯公式，有
()()1
33222222316I x dydz y dzdx z dxdy x y z dv ∑+∑Ω
=
++-=++⎰⎰
⎰⎰⎰ (5)
()221
12
00
62d d z dz πρθρρ
ρπ-=+=⎰⎰⎰
(7)
而()()221
1
33221
1
2231313
3x y I x dydz y dzdx z dxdy z dxdy dxdy π
∑∑+≤=++-=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰
(9)
2123.I I I πππ∴=-=-=- (10)
8. 解：()()22
2400
0sin cos t
F
t d d r f r r dr ππ
θϕϕϕ⎡⎤=+⎣
⎦⎰⎰
⎰….… 【2】 ()32244
00002sin cos sin t t d r dr d f r r dr ππ
πϕϕϕϕϕ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦
⎰⎰⎰⎰
(()4
22
028
t
t r f r dr π⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦
⎰….… 【4】 故(
)(
3222320002()222lim
lim lim ().333
t t t t t f t F t f t a t t π+++→→→⎡⎤+-⎢⎥
--⎣⎦=== 【6】。