1. 求图1所示系统中均匀刚性杆AB在A点对坐标x的 等效质量。杆的质量为m，A端弹簧的刚度为k。 铰C点到A点的距离为al（0<a<1），试求C点铰支 座放置何处时系统的固有频率达到最大值。
图1
解：取x为广义坐标，根据等效系统与原系统的动能相
等得：
1 2
me x2

1 2
ml2

12

m( l 2
令
n
k m
48020 4.9 2000ra Nhomakorabea / s
d n
1 2
n2

(C ) 2m

4.92 ( 1960 )2 4.875 2 2000
rad / s
代入得tm=0.3 s，最大振幅为：
xmax

x0
d
entm
sin dtm
应注意最大振幅并不发生在 sin
解：取广义坐标θ 如图，系统的振动微 分 方程为：
I0 [k (k1 k2 )l2 ] k2la sin t
共振频率为：
02

k
(k1 k2 )l2 I0
故：
K

I
2
00
(k1 k2 )l 2
图3
控制板的固有圆频率为：
n
k I0
02

取m1, m2, K1, K2处的竖向位移为广义坐标，如何等效？
方法（2）：定义法 设使系统绕A点产生单位角加速度需要施加弯矩M，则在m1、 m2上产生绕A点的M惯性m1矩a12 ：1 m2a42 1
Ie M m1a12 m2a42
设使系统产生单位转角需要施加弯矩M，则在K1、K2处将产生

al
)2


x al
2
故
me

m(1
1 a

1 3a2
)
由于固有频率与质量的平方根成反比，欲得到最高固有 频率，必须使me为极小：
dme da

3a 2 3a3
0
得：
a2 3
代入：
d2me d2a

2(1 a) a4
0
是为极小值，故铰链应放在离A端
2 3
l
处。

1 2
Ie 2
得转动惯量：
Ie m1a12 m2a42
根据等效前后势能相等：
U

1 2
K1(a2 )2

1 2
K2 (a3 )2

1 2
Ke 2
等效转动刚度：
Ke K1a12 K2a32
固有频率为：
n
Ke Ie
a22K1 a32K2 a12m1 a42m2
(k1
k2 )l 2 I0
1.求图1所示系统的固有频率。AB为刚性杆，杆本
身质量忽略不计。
Ie Ke
me Ke
图1
图b
解：方法（1）：能量法
取广义坐标θ 如图，利用等效质量和等效刚度的概念，可 把原系统等效成为图b所示等效系统。
根据等效前后动能相等：
T

1 2
m1(a1 )2

1 2
m2 (a4 )2
0.529
dt 1
cm
，即
t

2d
时，此时：
x x0 en /(2d ) 0.526 cm
d
3.求图3所示系统在支撑运动为ys=y0 sinωt时的振动微 分方程。AB为刚性杆。
y
图3
解： 方法（1）按原系统列振动微分方程。 设θ为AB杆的相对转角，y为m上下运动时的绝对位
响应为：
x

x0ent
(cos d t

n d
sin
d t )
(1)
图2
式中：d n 1 2
对（1）式取一次导数：
x

x0ent
n2 d
sin d t
(2)
最大振幅应发生在 x 0 时，由（2）式可知：
tm 0
时质量m振幅最大，代入（1）式得：
xmax
弹性恢复力，对支点取矩：
M K1 a2 1 a2 K2 a3 1 a3
Ke M K1a22 K2a32
固有频率为：
n
Ke Ie
a22K1 a32K2 a12m1 a42m2
2.一质量m =2000 kg，以匀速度v =3 cm/s运动，与弹 簧K、阻尼器C相撞后一起作自由振动，如图所示。 已知K=48020 N/m，C=1960 N-s/m。问质量m在相 撞后多少时间达到最大振幅？最大振幅是多大？
O点，另有一相当于扭簧kθ的联动装置控制其转动。已知 控制板绕O点的转动惯量为I O 。为计算控制板系统的固有 频率，用图示试验方法测定kθ 。将升降舵固定，而在控制 板的自由端联接两个弹簧k1 ，k2 。使k2的一端有简谐支承 运动y=asinω。调节激振频率至系统共振，测定共振频率 为ω0 。试计算kθ及控制板的固有频率。
图3 ① 控制板；② 升降舵
当我们需要操纵飞机抬头或低头时，水平尾翼中的升降舵就会发生 作用。升降舵是水平尾翼中可操纵的翼面部分，其作用是对飞机进 行俯仰操纵。
图1
图2
图3
红线表示气流方向(也就是飞机机头方向吹过来的风的方向），黑线表示平尾，蓝 线表示升降舵舵面。 图1--飞机起飞时升降舵舵面的情况，飞机往前飞，气流就往后吹，气流遇到升降 舵上翘的舵面产生阻力，阻力产生压力，压力把升降舵舵面往下压，飞机机头就 会自然向上了，飞机就往上飞。 图2----飞机下降时候升降舵舵面的情况。图3---------飞机就是平飞状态。
2. 一弹簧k与阻尼器c并联于无质量的水平板上。今 将一质量m轻放在板上后立即松手，系统即作衰 减振动。问质量m的最大振幅是多少？发生在何 时？最大速度是多少？发生在何时？设阻尼比
0<ζ<1。
解：系统自由振动的微分方程为：
mx cx kx 0
在t=0，x=x0 ，x 0 的初始条件下的

x0
mg k
最大速度发生在 x 0 时，由（2）式可得：
cos d tm

n d
sin dtm

0
或
tgd tm

d n
时速度最大，代入（2）式得：
xmax
g entm
n
应注意最大速度并不发生在质量m过静平衡位置时，这 是和无阻尼自由振动不同之处。
3. 一飞机升降舵的控制板铰接于升降舵的轴上，如图3所示
图2
解： 系统自由振动的微分方程为：
mx Cx Kx 0
在t=0,x=0, x x0 的初始条件下的响应为：
x

x0
d
ent
sin dt
x

x0
d
ent (d
cos d t
n
sin dt)
由 x 0 ，得最大振幅发生在
tm

1 d
tg1 d n